T t
ω
vo
sin ω t................( e)
0 -yο y
yo cosω t
vo ω − vo ω
y T A
α ω• •
T t
0
ω
vo
sin ω t
0
t
α Asin ω t + ω
13
-A
三、结构的自振周期和频率
由式
y (t ) = A sin(ω t + α )
二、动力荷载分类
P(t )
按起变化规律及其作用特点可分为： 按起变化规律及其作用特点可分为：
周期荷载：随时间作周期性变化。（转动电机的偏心力） 。（转动电机的偏心力 1）周期荷载：随时间作周期性变化。（转动电机的偏心力） P
t 简谐荷载（按正余弦规律变化） 简谐荷载（按正余弦规律变化） 一般周期荷载
sin kπx —— 是根据边界约束条件选取 l
ϕ1(x),ϕ2(x),........ n (x) .ϕ
的函数，称为形状函数。 的函数，称为形状函数。
a1， a2，…….. an
y ( x , t ) = ∑ a kϕ k ( x )
k =1
ak(t) ——称广义座标，为一组待定 称广义座标，
参数，其个数即为自由度数， 参数，其个数即为自由度数，用此法可将 无限自由度体系简化为有限自由度体系。 无限自由度体系简化为有限自由度体系。
g ∆ st
T = 2π
∆ st m = 2π k g
频率 1.只与结构的质量与刚度有关，与外界干扰无关； 1.只与结构的质量与刚度有关 与外界干扰无关； 只与结构的质量与刚度有关， 和周 的平方根成正比， 成反比， 2.Ｔ与m的平方根成正比，与k成反比，据此可改变周期； 的平方根成正比 成反比 据此可改变周期； 期的 14 3.是结构动力特性的重要数量标志 是结构动力特性的重要数量标志。 讨论 3.是结构动力特性的重要数量标志。
9
一、运动微分方程的建立
方法： 方法：达朗伯尔原理 建立平衡方程。 力，建立平衡方程。 应用条件：微幅振动（线性微分方程） 应用条件：微幅振动（线性微分方程） 力学模型 刚度法： 1、 刚度法：研究作用于被隔离的质量上的 静平衡位置
k
S(t) m m W I(t)
重力
m 质量m在任一时刻的位移 y(t)=yj+yd W
y T A
α ω• •
及图可见位移方程是一个周期函数。 及图可见位移方程是一个周期函数。
0
t
-A
周期－ 周期 T =
2π
ω
,
工程频率－ 工程频率 f =
1 ω = ( Hz ), T 2π
园频率－ 园频率 ω = 2 π f =
2π T
计算频率和周期的几种形式
ω=
k = m
1 g = = mδ Wδ
x
n
y
7
四、动力计算的方法
动力平衡法（达朗伯尔原理） 动力平衡法（达朗伯尔原理）
m
P (t ) = m&&(t ) y
P(t)
− m&&(t ) ＝I(t) y
m
P (t ) = m&&(t ) y
改写成 设其中 …………..运动方程 运动方程 …………..平衡方程 平衡方程
P (t ) − m&&(t ) = 0 y
改写为
k && + ω y = 0 其中 ω = y m
2
2
它是二阶线性齐次微分方程，其一般解为： 它是二阶线性齐次微分方程，其一般解为：
y (t ) = C1 sin ωt + C2 cos ωt
积分常数C 积分常数 1，C2由初始条件确定
...............(d )
11
静平衡位置
m
. y (t ) = C sin ω t + C .
振幅 相位角
vo 2 A = yo + ω −1 yoω α = tg vo
.......... .......... .........( g )
12
y (t ) = yo cos ω t +
y y
ο
y (t ) = A sin(ω t + α )........................( f )
3.计算图示刚架的频率和周期 计算图示刚架的频率和周期。 例3.计算图示刚架的频率和周期。 m EI1=∞ I I h
10 由平衡位置计量。以位移为未知量的平衡方程式，引用了刚度系数，称刚度法。 由平衡位置计量。以位移为未知量的平衡方程式，引用了刚度系数，称刚度法。
柔度法：研究结构上质点的位移，建立位移协调方程。 2、 柔度法：研究结构上质点的位移，建立位移协调方程。 静平衡位置 m
. y (t ) = I (t )δ = −m&y&(t )δ .
三、动力计算中体系的自由度
确定体系上全部质量位置所需独立参数的个数称为体系的振动自由度。 确定体系上全部质量位置所需独立参数的个数称为体系的振动自由度。 体系的振动自由度 实际结构的质量都是连续分布的，严格地说来都是无限自由度体系。 实际结构的质量都是连续分布的，严格地说来都是无限自由度体系。计算 困难，常作简化如下： 困难，常作简化如下： 1、集中质量法 把连续分布的质量集中为几个质点， 把连续分布的质量集中为几个质点，将一个无限自由度的问题简化成有限 自由度问题。 自由度问题。
1
§10-1 动力计算的特点和动力自由度 10动力计算的特点、 一、动力计算的特点、目的和内容
特点：静力荷载与动力荷载的特点及其效应。 1、特点：静力荷载与动力荷载的特点及其效应。 静力荷载”是指其大小、方向和作用位置不随时间而变化的荷载。 “静力荷载”是指其大小、方向和作用位置不随时间而变化的荷载。这 类荷载对结构产生的惯性力可以忽略不计，由它所引起的内力和变形都是确定 类荷载对结构产生的惯性力可以忽略不计， 对结构产生的惯性力可以忽略不计 的。 动力荷载”是指其大小、方向和作用位置随时间而变化的荷载。 “动力荷载”是指其大小、方向和作用位置随时间而变化的荷载。这类 荷载对结构产生的惯性力不能忽略，因动力荷载将使结构产生相当大的加速度， 荷载对结构产生的惯性力不能忽略，因动力荷载将使结构产生相当大的加速度， 对结构产生的惯性力不能忽略 由它所引起的内力和变形都是时间的函数。 由它所引起的内力和变形都是时间的函数。 与静力计算的对比：两者都是建立平衡方程，但动力计算，利用动静法， 与静力计算的对比：两者都是建立平衡方程，但动力计算，利用动静法， 建立的是形式上的平衡方程。力系中包含了惯性力，考虑的是瞬间平衡， 建立的是形式上的平衡方程。力系中包含了惯性力，考虑的是瞬间平衡，荷 内力都是时间的函数。建立的平衡方程是微分方程 平衡方程是微分方程。 载、内力都是时间的函数。建立的平衡方程是微分方程。 2、目的和内容 计算结构的动力反应：内力、位移、速度与加速度， 计算结构的动力反应：内力、位移、速度与加速度，使结构在动内力与静 内力共同作用下满足强度和变形的要求。 内力共同作用下满足强度和变形的要求。
t
3
冲击荷载：短时内剧增或剧减。（如爆炸荷载） 。（如爆炸荷载 2）冲击荷载：短时内剧增或剧减。（如爆炸荷载） P P tr t P(t ) P tr t
随机荷载： 非确定性荷载) 荷载在将来任一时刻的数值无法事先确定。 3）随机荷载：(非确定性荷载) 荷载在将来任一时刻的数值无法事先确定。 如地震荷载、风荷载） （如地震荷载、风荷载）
静平衡位置
m获得初位移yο 获得初位移
m获得初速度 yo 获得初速度 &
研究单自由度体系的自由振动重要性在于： 研究单自由度体系的自由振动重要性在于： 1、它代表了许多实际工程问题，如水塔、单层厂房等。 它代表了许多实际工程问题，如水塔、单层厂房等。 2、它是分析多自由度体系的基础，包含了许多基本概念。 它是分析多自由度体系的基础，包含了许多基本概念。 自由振动反映了体系的固有动力特性。 自由振动反映了体系的固有动力特性。 要解决的问题包括： 要解决的问题包括： 建立运动方程、计算自振频率、周期和阻尼 建立运动方程、计算自振频率、周期和阻尼………. .
1
2
cos ω t .....( d )
C2 = yo v C1 = o ω
I(t) （d）式可以写成 式可以写成
设 t=0 时
y ( 0) = y o & y (0) = vo
y (t ) = yo cos ω t +
由式可知， 由式可知，位移是由初位移yο引起的余弦运动和由初速度vο引起的正弦 运动的合成，为了便于研究合成运动, 运动的合成，为了便于研究合成运动, 令 (e)式改写成 式改写成
多自由度体系
6
m ( x)
无限自由度体系 x
y(x,t)
广义座标法： 2、广义座标法： 如简支梁的变形曲线可用三角级数来表示
y ( x, t ) = ∑ ak (t ) sin
k =1
n
k πx l
x y(x,t)
用几条函数曲线来描述体系的振动曲 线就称它是几个自由度体系， 线就称它是几个自由度体系，其中
m&&(t )δ + y = 0 y
可得与 (b) 相同的方程
.......... .( c )
I(t)
1 Qδ = k
刚度法常用于刚架类结构，柔度法常用于梁式结构。 刚度法常用于刚架类结构，柔度法常用于梁式结构。 二、自由振动微分方程的解
m&& + ky = 0 y k && + y = 0 y m ....................................(b)