1/25
1/25
1/25 按具体情况确定
1/25 按具体情况确定
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10-2 经验累积频率曲线
经验累积频率曲线的绘制和延长问题
绘图不规范 外延任意性大
（图 10-2）
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10-3 理论累积频率曲线
频率密度曲线与累积频率曲线的关系
随机变量增量∆x，频率增量∆P，平均频率密度为∆P/∆x，则
年为1.9米。列表计算各个水位的频率和累积频率。
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10-1 基本概念
重现期——等量或超量平均多少年（次）可能
出现的次数。
定义式
T(x
xi )
1 P(x
xi )
（10-8）
T(x
xi
)
1
1 P(x
xi
)
（10-10）
安全率、破坏率和保证率
保证率Pk——n年内均能保证安全的机率。 若P(x≥xi)为破坏率，则安全率为1-P，保证率Pk=(1-P)n。 若P(x≥xi)为安全率，则破坏率为1-P，保证率Pk=Pn。
安全率。
桥涵设计洪水频率
表10-2
构造物名称
公路等级
高速公路 一
二
三
四
特大桥
1/300 1/300 1/100 1/100
1/100
大、中桥
1/100 1/100 1/100 1/50
1/50
小桥
涵洞及小型排水构造 物
路基
1/100 1/100 1/100
1/100 1/50 1/100 1/50 1/100 1/50
观属性。
定义式：
P( A) f0 ( A) n
（1验，事件出
现的次数与总的试验次数之比。
频率是经验值，有随机波动性。
定义式：
W ( A) f ( A) n
（10-5）
3
10-1 基本概念
机率特性
0≤P≤1
相加原理：若A、B不相容，则P(A+B)＝P(A)+P(B)
相乘原理：若A、B独立，则P(A×B)＝P(A)×P(B)
频率稳定性：当n→∞时，W（A）→P（A）
蒲丰和皮尔逊的掷币试验
表10-1
试验者
n
f(正面)
W(正面)
蒲丰(Buffon)
4040
2048
0.5080
皮尔逊 (K·Pearson)
12000
6019
0.5016
皮尔逊
24000
12012
0.5005
美国、澳大利亚、加拿大、新西兰、墨西哥
广义极值分布 极值Ⅱ、Ⅲ型分布
英国、法国、爱尔兰 英国、法国
两/三参数对数正态分布 极值Ⅰ型分布（耿贝尔）
K-M分布
日本 比利时、德国、瑞典、土耳其
前苏联
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10-3 理论累积频率曲线
皮尔逊（K.Pearson，1895）Ⅲ型曲线与我国洪水的实 际频率曲线吻合最好，是水利、交通、铁路等行业规 范推荐采用的曲线。
频率密度函数：
f (x) lim P x0 x
累积频率函数：
P(x xi ) xi f (x)dx
累积频率函数是相对于频率密度函数的分布函数，它们之 间是积分和导数的关系。
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10-3 理论累积频率曲线
常用密度函数
分布线型 皮尔逊Ⅲ型分布
对数皮尔逊Ⅲ型分布
国家
中国、奥地利、保加利亚、匈牙利、波兰、 罗马尼亚、瑞士、泰国
规范C30条文：5.2.4 理论频率曲线宜采用皮尔逊Ⅲ型 曲线，在特殊情况下，经分析论证，也可采用其他线 型。
皮尔逊Ⅲ型分布是英国生物学家皮尔逊根据统计分析 及频率密度曲线图形特征，于1895年建立的频率密度 曲线的数学模型，其微分方程表达式为：
dy dx
b0
(x d)y b1x b2 x2
（10-15）
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10-2 经验累积频率曲线
水文样本的基本要求
可靠性
实测洪水流量系列中为首的几项，应通过流域洪水分析、 比较或实地调查考证，审查其可靠性。
独立性
应选择同一洪水类型、符合独立随机条件的各年实测最大 洪水流量。
一致性
样本中的个体应属同类，收集的条件也要相同。
代表性
实测资料能反应总体的特性。
1
10-1 基本概念
随机变量：在样本空间的单值实值函数。
连续型随机变量 离散型随机变量
系列：有共同性质的许多随机变量组成的一组数值。 总体：随机试验的所有可能结果的全体；
样本——总体的一部分
2
10-1 基本概念
机率和频率
机率：事件出现的客观可能性
表示随机事件发生可能程度的理论值，是事件的客
4
10-1 基本概念
累积频率与重现期
累积频率——（在多次重复随机试验中），等
量或超量出现的次数（累积频数）与总观测次
数之比。
定义式：P(x
xi
)
m(x n
xi
)
或
Pm
f1 f2 f3 L L n
fi
m(x n
xi
)
（10-7）
n
例 某断面40年实测水位资料，从中每一年取一个
最高水位组成样本系列，其中有2年为4.0米，有10 年为3.5米，有16年为2.9米，有9年为2.5米，有3
10-1 基本概念
随机试验
可以在相同条件下重复进行的； 每次试验的可能结果不止一个，并且能事先明确试验
的所有可能结果； 进行一次试验之前不能确定哪一个结果会出现的试验。
样本空间：随机试验的所有可能结果组成的集合。 随机事件：随机试验的样本空间的子集。
必然事件：在每次试验中总是发生。 不可能事件：在每次试验中都不发生。
xi
（10-12、13）
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10-2 经验累积频率曲线
例：已知湘江某站1947~1976年实测洪峰水位资料， 求作频率曲线和累积频率曲线。
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10-2 经验累积频率曲线
经验累积频率曲线的实用计算式（维泊尔公式）
P( x
xi
)
m(x xi n 1
)
（10-14）
经验累积频率曲线的计算步骤
已知：n年实测数据系列，n个xi（年最大值法）
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10-2 经验累积频率曲线
频率、累积频率曲线特性
频率密度函数曲线特性
频率密度函数曲线一般 是“铃形”。
累积频率曲线是“S”形。
累积频率曲线特性 累积频率与频率密度的关系
（图10-1）
P dP W (x) lim f (x)
Vx0 x dx
P(x xi )
f (x)dx F(x)
将xi按大到小的顺序排列（不论年序）； 统计每一个xi对应的频数fi和累积频数mi； 根据维泊尔公式计算Pi； 在海森格率纸上点绘xi～Pi点据； 用光滑的曲线将xi～Pi点据连成经验累积频率曲线。
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10-2 经验累积频率曲线
设计频率标准（设计频率）——国家标准、规范
规定的各种等级工程的容许破坏率或要求达到的