()sin 15201012zz e zi =+⎰A ）0 （B ）班 级 学 号 姓 名5. 级数1(1)11nn n a i n n ∞=⎡⎤-⎛⎫++⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦∑（其中a 为实常数）【 A 】 （A ）发散 （B ）收敛性与a 的取值有关 （C ）条件收敛 （D ）绝对收敛6.0z =是函数21cos z z z-的【 B 】（A ）可去奇点 （B ）一级极点 （C ）二级极点 （D ）本性奇点7. 1011Re ,0z e s z ⎡⎤-=⎢⎥⎣⎦【 C 】直接展开成洛朗级数找出对应的负一次项（A ）0 （B ）199! （C ）1100! （D ）1101!8. 函数2,1()0,1t f t t ⎧≤⎪=⎨>⎪⎩ 的傅里叶变换等于【 D 】（A ）2cos ωω（B ）2sin ωω（C ）4cos ωω（D ）4sin ωω9. 若函数()f t 的拉普拉斯变换[]()()L f t F s =存在，则下列等式中正确的是【 C 】 （A ）[]112()()2L F s f t -=（B ）[]1()()L sF s tf t -= （C ）01()()t L f t dt F s s ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦⎰ （D ）[]()sin()()L f t at F s a =-（其中a 为常数）10.函数11,0()0,0t f t t >⎧=⎨<⎩与21,10()0,10t f t t t -<<⎧=⎨≤-≥⎩或在傅里叶变换意义下的卷积12()*()f t f t 等于【 D 】（A ）0 （B ）0,0,0t t t ≤⎧⎨>⎩ （C ）0,11,1t t t ≤-⎧⎨+>-⎩ （D ）0,11,101,0t t t t ≤-⎧⎪+-<≤⎨⎪>⎩二、填空题(每题3分,共15分)11．函数2()()(2)f z x y i x y =-++在其可导点处的导数值等于 2i + ；12．设函数()2223()f z d z ζζζζ=+=-⎰（其中圆周2ζ=取逆时针方向），则(0)f '= 4i π ；13．函数cos ()sin z e zf z z=在 01z i =+ 处的泰勒展开式的收敛半径R = ___ ____；14．函数()sin(2)f t t t =的拉普拉斯变换为 224(4)ss + ； 15．在拉普拉斯变换意义下，卷积 1*cos t sin t .三、解答题（共6个题，共55分，要求：写出必要的解题步骤）16.计算复积分：Re()CI z z dz =⎰，其中C 为由原点 O 到 12i - 的直线段。

（7分）解：由条件，得曲线C 的参数方程为:,:012x tC t y t=⎧→⎨=-⎩……（2分），则2(12)z t ti i t =-=-，从而11220Re()(12)(12)(12)CI z z dz i t td i t i t dt ==--=-⎰⎰⎰……（4分）12230(12)(12)41333i i ti --===--……（6分）解：由拉普拉斯变换的定义，得[]()30()()2sttt st L f t f t e dt ee e dt +∞+∞---==+⎰⎰……（2分）(3)(1)(3)(1)02231s t s t s ts te e e e dt s s +∞-+--+∞-+--⎡⎤=+=--⎣⎦+-⎰……（5分）(3)(1)21212lim 313131s t s t s e e s s s s s s -+--→+∞⎡⎤⎡⎤=-+++=+⎢⎥⎢⎥+-+-+-⎣⎦⎣⎦（Re(3)0s +>且Re(1)0s ->） ……（7分）故[]312()231t tL f t L e e s s -⎡⎤=+=+⎣⎦+-（Re()1s >） ……（8分）（1）1z <<+∞； （2）011z <-<。

解：（1）因为1z <<+∞，所以11z<，从而 23111()1(1)1f z z z z z==---……（2分）3300111nn n n z z z∞∞+==⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭∑∑……（5分）（2）因为011z <-<，所以2211111()(1)11f z z z z z z z '⎛⎫==-= ⎪---⎝⎭……（2分） 1011111(1)(1)(1)(1)11(1)11n n n n n n z n z z z z z ∞∞-==''⎡⎤⎡⎤==--=--⎢⎥⎢⎥-+---⎣⎦⎣⎦∑∑……（4分） 21(1)(1)n n n n z ∞-==--∑ ……（5分）或 22211111()(1)111(1)f z z z z z z z ⎡⎤⎛⎫==-=- ⎪⎢⎥---+-⎝⎭⎣⎦22011(1)(1)(1)(1)1n n n n n n z n z z ∞∞-==⎡⎤=---=--⎢⎥-⎣⎦∑∑解：因为函数22(25)xx x -+分母含x 的最高次比分子含x 的最高次高3次，并且作为复变量z 的函数，22(25)zz z -+的孤立奇点为12i ± ……（4分） 即22(25)zz z -+在实轴上没有孤立奇点，从而 22222Re ,12(25)(25)x zdx i s i x x z z π+∞-∞⎡⎤=+⎢⎥-+-+⎣⎦⎰……（6分）222212122lim (12)2lim (25)(12)z i z i z zi z i i z z z i ππ→+→+''⎡⎤⎡⎤=--=⎢⎥⎢⎥-+-+⎣⎦⎣⎦……（8分） 3312(12)242(12)2lim2(12)(4)16z i z i z i i i i z i i πππ→+-+--+===-+……（10分）计算积分3(1)zz r e dz z z =-⎰解：函数3(1)ze z z -有两个孤立奇点0,1。

由01r <≠，有 （1） 当01r << 时，有333(1)22(1)(1)zzz z r z r z e e e z dz dz ii z z z z ππ===-===--⎰⎰……（5分）（2） 当1r >时，由留数定理，得3(1)z z r e dz z z =-⎰2分） 3330112lim lim (1)(1)2!(1)z zz z e e i z z z z z z π→→⎧⎫''⎡⎤⎡⎤⎪⎪=+-⎨⎬⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎪⎪⎩⎭ 332011112212lim lim 21lim (1)22z zz z z z e ei i e z zz z z ππ→→→⎡⎤''⎛⎫⎡⎤⎛⎫⎢⎥=-=--+ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥-⎝⎭⎣⎦⎝⎭⎣⎦……（4分）121(2)2i e e i ππ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭……（5分）解：记[]()()L y t Y s =，对原方程两边同时取拉普拉斯变换，得[]21()(0)(0)()(0)2()2s Y s sy y sY s y Y s s '⎡⎤-----=⎣⎦-……（4分）将初值条件(0)(0)0y y '==代入上式，得21()()2()2s Y s sY s Y s s --=- 解得 2211()(2)(2)(2)(1)Y s s s s s s ==----+……（6分）则[]1()()y t L Y s -=方法一：因为 22211(1)(2)111()(2)(1)3(2)(1)3(2)(2)(1)s s Y s s s s s s s s ⎡⎤+--===-⎢⎥-+-+--+⎣⎦2211111111113(2)3(2)(1)3(2)9291s s s s s s =-=-+--+--+所以[]11112111111()()3(2)9291y t L Y s L L L s s s ----⎡⎤⎡⎤⎡⎤==-+⎢⎥⎢⎥⎢⎥--+⎣⎦⎣⎦⎣⎦ 2222111111()399399st t t t t ts e e e te e e --='=-+=-+ 即22111()399t t ty t te e e -=-+。

……（10分）方法二：因为21()(2)(1)Y s s s =-+有一个二级极点2和一个一级极点1-，所以[]122()()Re ,2Re ,1(2)(1)(2)(1)st ste e y t L Y s s s s s s s -⎡⎤⎡⎤==+-⎢⎥⎢⎥-+-+⎣⎦⎣⎦22221lim (2)lim (1)(2)(1)(2)(1)st st s s e e s s s s s s →→-'⎡⎤⎡⎤=-++⎢⎥⎢⎥-+-+⎣⎦⎣⎦22222212(1)131111lim lim lim 1(2)(1)999399st st t t st t t t t s s s e e t s e t e e e te e e s s s ---→→-→'⎡⎤+--=+=+=+=-+⎢⎥+-+⎣⎦即22111()399t t ty t te e e -=-+ ……（10分）。