函数单调性和奇偶性一、选择题 (每小题 5 分，一共 12 道小题，总分60 分)1．命题“若x, y都是偶数，则x y 也是偶数”的逆否命题是（）A．若x y 不是偶数，则x 与 y 都不是偶数B．若x y 是偶数，则x与y不都是偶数C．若x y 是偶数，则x与y都不是偶数D．若x y 不是偶数，则x 与 y 不都是偶数2．下列函数是偶函数的是（）1． y 2x 1A．y sin x B． y x sin x C．y x 2D2x3．下列函数中，在其定义域内是增函数而且又是奇函数的是（）A．y2x B． y 2 xC．y2x 2 x D．y 2x 2 x4．下列函数中，不是偶函数的是（）A．y x24B． y tan xC．y cos2x D． y3x 3 x5．（ 2015 秋?石嘴山校级月考）下列函数中，既是奇函数又在（﹣∞ +∞）上单调递增的是（）A． y=﹣B．y=sinxC． y=x D．y=ln|x|6．如图，给出了偶函数y f x 的局部图象，那么 f 1 与 f 3的大小关系正确的是( )A. f 1 f 3B. f 1 f 3C. f 1 f 3D. f 1f3 7．设函数 f ( x), g( x) 的定义域为R ，且 f (x) 是奇函数，g( x) 是偶函数，则下列结论中正确的是（）A．f ( x) g(x)是偶函数B．| f ( x) | g( x)是奇函数8 ． 定 义 在 R 上 的 函 数 yf ( x) 具 有 下 列 性 质 : ① f ( x) f ( x) 0 ; ②f (x 1) f ( x) 1 ; ③ yf ( x) 在 [ 0,1] 上为增函数 , 则对于下述命题：① yf (x) 为周期函数且最小正周期为4;② yf (x) 的图像关于 y 轴对称且对称轴只有1 条 ;③ y f (x) 在 [3,4] 上为减函数 .正确命题的个数为 ( )A ．0 个B ．1个C ． 2 个D ．3个9．设 f ( x)是奇函数，且在 ( 0,)内是增函数，又f ( 3) 0 ，则 xf ( x)的解集是A ． x | 3 x 0或x 3B． x | x3或0 x 3C ． x | 3 x 0或 0 x 3D ． x | x3或x 310 ． 函 数 fx 的 定 义 域 为 R , 若 函 数 f x的周期 6．当3 x1 时 ,f xx 22，当 1 x 3 时， f x x ．则 f 1f 2f 2013 + f 2014（ ）A ． 337B． 338C． 1678D． 2012二、填空题 (每小题 5 分，一共 6 道小题，总分 30 分) 11 ．若函数 f ( x)x(2 a 1)x11 为奇函数，则 a________．x12 ．已知奇函数 f （x ）当 x ＞ 0 时的解析式为 f （ x ） =，则 f （﹣ 1）=．13 ． 已 知 f ( x) 3b x 4其 中 a, b 为 常 数 ， 若 f ( 2) 2 ， 则 f ( 2 ) 的 值 等a x于．14 ．若函数f ( x)kx 2 ( k 1)x2是偶函数，则f (x)的递减区间是．15 ．设定义在 R 上的函数 （fx ）满足 f ( x 2) f (x)7，若（f 1）=2，则 （f 107）=__________.16 ．设函数 f(x) 是奇函数且周期为 3，若 f(1) ＝－ 1，则 f(2015) ＝ ________．三、解答题 (每小题 5 分，一共 4 道小题，总分 20 分)17．已知函数 f ( x)a (1,3) 、 (2,3) 两点．bx ( 其中 a ， b 为常数 ) 的图象经过 x.（1）求a，b的值，判断并证明函数f ( x)的奇偶性；（2）证明：函数f ( x)在区间[ 2,)上单调递增．18．设 f(x)是定义在 R 上的奇函数，且对任意实数 x，恒有 f(x ＋ 2) ＝－ f(x)，当 x∈[0 ，2]时， f(x)＝ 2x－ x2.(1)求证： f(x) 是周期函数；(2)当 x∈[2 ， 4] 时，求 f(x) 的解析式；(3)计算 f(0) ＋ f(1) ＋ f(2) ＋⋯＋ f(2014) 的值．.参考答案1． D【解析】试题分析：依据逆否命题的概念把原命题中的条件和结论同时“换位” 且“换否”，注意“都是”的否定为“不都是”，所以原命题的逆否命题应为“若x y 不是偶数，则x 与 y 不都是偶数”，故选 D.考点：四种命题的概念.2． B【解析】试题分析：偶函数的定义域要关于原点对称，且满足 f ( x) f ( x) ，选项A中f (x)sin(x)sin xf ( x) ，奇函数不符合；选项B中 f ( x) ( x)sin( x)xsin x f ( x) ，偶函数符合；选项 C 中定义域为0,，不关于原点对称，非奇非偶函数不符合；选项 D 中f (x) 2 x1 2 x2x f ( x) ，奇函数不符合．故选B．2 x考点：利用定义判断一个函数是否为偶函数．3． C【解析】试题解析： A 虽增却非奇非偶，B、 D是偶函数，由奇偶函数定义可知是奇函数，由复合函数单调性可知在其定义域内是增函数（或y '2x ln 22x ln 2 0 ），故选C．考点：函数的单调性、奇偶性4． D【解析】试题分析： A 选项，f - x24= x2 4 f x ，所以f x为偶函数； B 选项，= - xf - x tan-x= tan x f x ，所以 f x 为偶函数；C选项， f- x cos2 - x=cos2 x f x ，所以 f x是偶函数； D 选项，fx 3 x3x3x 3 x f x，所以 f x 为奇函数.故选 D.考点：函数奇偶性的定义.5． C【解析】试题分析：根据函数的奇偶性、单调性的定义逐项判断即可．解： y=﹣在（﹣∞，0），（0，+∞）上单调递增，但在定义域内不单调，故排除A；.y=sinx 在每个区间（2kπ ﹣，2kπ +）（k∈Z）上单调递增，但在定义域内不单调，故排除 B；令 f （ x） =，其定义域为R，且 f （﹣ x） ==﹣=﹣ f （ x），所以f（x）为奇函数，又f ′（ x） =3x2≥0，所以 f （x）在 R上单调递增，故选： C．考点：函数奇偶性的判断．6． D【解析】根据图像可知，函数是偶函数，利用对称性作出函数图像可孩子f(-3)=f(3),结合图像可知 f(1)<f(3),故选 D.【答案】 D7【解析】试题分析：对于选项 A ，因为 f ( x) 是奇函数， g( x) 是偶函数，且 f ( x)g ( x) f ( x) g(x) ，所以 f (x)g( x) 是奇函数，所以选项 A 不正确；对于选项 B ，因为 f ( x) 是奇函数， g( x) 是偶函数，且 f ( x) g ( x) f ( x) g( x) ，所以| f ( x) | g ( x)是偶函数，所以选项 B 不正确；对于选项 C ，因为 f ( x)是奇函数，g( x)是偶函数，且 f (x) g(x) f (x) g( x) ，所以| f (x) g( x) | 是偶函数，所以选项C不正确；对于选项 D ，因为 f (x)是奇函数，g( x)是偶函数，且 f (x ) f ( x ) ，所以 f (| x |)是偶函数，所以选项 D 正确；故应选 D ．考点： 1、函数的奇偶性．8． B【解析】试题分析：（ 1）由f ( x 1) f ( x) 1 得 f ( x2) f (x1)1，所以得 f ( x) f ( x2) ，得最小正周期是 2.该命题错误 . (2)由 f (x) f ( x)0得 f (x) f ( x) ，知其是偶函数，图像关于 y 轴对称，但该函数是周期函数，所以对称轴有无数条. 该命题错误 . (3)由y f (x) 在 [0,1] 上为增函数，因为是偶函数，所以在[1,0] 上为减函数，周期为2，所以y f (x) 在 [3,4] 上为减函数.该命题正确.考点：函数性质的综合考察.9． C【解析】试题分析：因为函数为奇函数，且 f 3 0 ，在 0,内是增函数，所以 f 30 ，在.x 33 x 0 0 x 3 x 3 ,0 内是减函数，从而可得，f x，f x ，，由此f x 0f x 0可得满足 x f x0 的 x 的取值集合为 x | 3x 0或0x 3 ．考点：函数单调性与奇偶性的综合应用． 10． A 【解析】试题分析：由已知得f (1) 1 ， f (2)2 ， f (3) f ( 3) 1 ， f (4) f ( 2)0 ，f (5) f ( 1)1 ，f (6)f (0)0 ， 故f1f 2f 6， 1f 1f 2f 2013 + f 2014335+ f1f 2f 3f 4 = 337 ．考点：函数周期性． 11． 1【解析】试 题 分 析 ： 因 为 函 数 f (x) x(2 a 1)x 1 1 x 1 2a 2 为 奇 函 数 ， 所 以 对x xx( ,0)(0, ) 均有 f ( x)1 2a2x1 ，所以f ( x)，即 x2a 2xx4a 4 0,a 1.考点：函数的奇偶性 .12．﹣ ．【解析】试题分析：利用函数的奇偶性，直接求解函数值即可．解：奇函数 f （ x ）当 x ＞ 0 时的解析式为 f （ x ）=，则 f （﹣ 1） =﹣ f （ 1） =﹣ ．故答案为：﹣．考点：函数奇偶性的性质；函数的值． 13． -10 【解析】试题分析：f x 4ax 3bx ，所以判断 f x 4 是奇函数， f 2 4 6，所以f 2 46 ，即 f 264 10考点：奇函数【方法点睛】 本题考查了利用函数的奇偶性求函数值， 属于基础题型， 谨记一些法则， 比如，奇函数 +奇函数 =奇函数，奇函数奇函数 =偶函数，奇函数 +偶函数 =非奇非偶函数，所以本.题 f x 并不是奇函数，但f x4 是奇函数，所以间接利用f 24 ，求 f 24 ，最后求 f 214．,0 （,0 也对）【解析】试题分析：若函数 f xkx 2k 1 x2 是偶函数，所以 k1，则 f xx 22 ，所以函数 fx 的递减区间是 ,0 ．考点： 1．偶函数； 2．二次函数的单调性．【思路点晴】 本题主要考查的是二次函数单调性和偶函数， 属于容易题． 解题时首先要根据函数是偶函数得到 k 1，从而函数转化为二次函数，找到对称轴即可解决问题．另外本题答案也可是,0 ．715． .2【解析】试题分析： 函数 f （x ）满足 f (x2) f ( x)7 ，则 f ( x)7， f (x2)7，f ( xf (x 2)4)所以 f (x)f (x 4) ，f (107)f (26 43)77.f (3)f (1) 2考点：函数的周期性 .16． 1【解析】由条件， f(2015) ＝f(671 ×3＋ 2) ＝ f(2)＝ f( －1) ＝－ f(1) ＝ 1.17．（ 1） a 2 , b 1奇函数（ 2）详见解析【解析】试题分析：将函数过的点代入函数式可得到a, b 的值，判断奇偶性可判断 f x f x ，f x f x是否成立；（ 2）证明函数单调性一般采用定义法，在x 1 x 2 的前提下证明f x 1 f x 2 成立试题解析：（ 1）∵ 函数 f ( x) 的图像经过 (1,3) 、 (2,3) 两点a b 3∴a 2b，得 a 2 ,b 12 3.∴ 函数解析式f (x)2，定义域 (，0）（ 0 ，+）xx∵ f ( x)22x)f (x)( x)(x x2∴函数解析式 f (x)x 是奇函数x（ 2）设任意的x1、x2[ 2 ,) ，且 x1x2f ( x1 )2x12x2 f ( x2 )x2x12( x2x1 )x1 )( x221)( x2x1 )(x1 x2x1 x2( x22 x1x2 x1 )x1x2∵ x1 2 , x2 2 ，且x1x2∴ x1 x2 2 ，则 2 x1 x20 ，且 x2 x10得 f (x1 ) f (x2 ) 0 ，即 f ( x1 ) f (x2 )∴ 函数 f ( x) 在区间 [ 2 ,)上单调递增．考点：函数奇偶性单调性18．（ 1）见解析（ 2） f(x) ＝ x2－ 6x＋ 8， x∈ [2 ，4] ．（ 3）1【解析】 (1) 证明：因为 f(x ＋ 2) ＝－ f(x) ，所以 f(x ＋4) ＝－f(x ＋ 2) ＝f(x) ，所以 f(x) 是周期为 4 的周期函数．(2)解：因为 x∈[2 ， 4] ，所以－ x∈[ － 4，－ 2] ， 4－x∈[0 ， 2] ，所以 f(4 －x) ＝ 2(4 － x) － (4 － x) 2＝－ x2＋6x－ 8.又f(4 － x) ＝ f( － x) ＝－ f(x) ，所以－ f(x) ＝－ x2＋6x－ 8，即 f(x) ＝ x2－ 6x＋ 8，x∈ [2 ，4] ．(3) 解：因为f(0)＝0，f(1)＝1，f(2)＝0，f(3)＝－1，又 f(x)是周期为 4 的周期函数，所以 f(0) ＋ f(1)＋f(2)＋f(3)＝f(4)＋f(5)＋f(6)＋f(7)＝⋯＝0，所以 f(0) ＋ f(1)＋f(2)＋⋯＋f(2014)＝f(0)＋f(1)＋f(2)＝1.。