思考练习
第一章
1对任意图，证明。

证：，故。

2 在一次聚会有个人参加，其中任意6个人中必有3个人互相认识或有3个人互不认识。

举例说明，将6个人改成5个人，结论不一定成立。

证：构图如下：图的顶点代表这6个人，两个顶点相邻当且仅当对应的两个人互相认识。

则对于图中任意一个点或。

不妨设及它的3个邻点为。

若中有任意两个点，不妨设为，相邻，则对应的3个人互相认识；否则，中任意两个点不邻，
即它们对应的3个人互不认识。

若这5个人构成的图是5圈时，就没有3个人互相认识或有3个人互不认识。

3 给定图
画出下列几个子图:
(a) ；
(b);
(c)
解：(a)
(b)
(c)
第二章
1设是一个简单图，。

证明：中存在长度至少是的路。

证：选取的一条最长路，则的所有邻点都在中，所以
，即中存在长度至少是的路。

2证明：阶简单图中每一对不相邻的顶点度数之和至少是，则是连通
图。

证：假设不连通，令、是的连通分支，对，有
，与题设矛盾。

故连通。

3设是连通图的一个回路，，证明仍连通。

证：，中存在路，
1、若，则是中的路；
2、若，则是中的途径，从而中存在
路。

故连通。

4图的一条边称为是割边，若。

证明的一条边是割边当且仅当不含在的任何回路上。

证：不妨设连通，否则只要考虑中含的连通分支即可。

必要性：假设在的某一回路上，则由习题2.13有连通，，
与是割边矛盾。

故不在回路中。

充分性：假设不是割边，则仍连通，存在路，则就是含的一个回路，与不在回路中矛盾。

故是割边。

5证明：若是连通图，则。

证：若是连通图，则。

第三章
1 证明：简单图是树当且仅当中存在一个顶点到中其余每个顶点有且
只有一条路。

证：必要性：由定理
充分性：首先可见连通。

否则，设有两个连通分支、，且，则到中的顶点没有路，与题设矛盾。

其次，中无回路。

否则，若有回路。

由于连通，到上的点有路，
且设与的第一个交点为，则到上除外其余点都至少有两条路，又与题设矛盾。

故是树。

2 设图有个连通分支，。

证明含有回路。

证：假设中不含回路。

设的个连通分支为，则每个连通无回路，是树。

从而
，
与题设矛盾，故无回路。

3是连通简单图的一条边。

证明在的每个生成树中当且仅当是的割边。

证：必要性：假设不是的割边，即连通，有生成树，与在的每个生成树矛盾。

故不是的割边。

充分性：假设存在一棵生成树，使得不在中，从而连通，与是的割边矛盾。

故在的每个生成树中。

4设是至少有3个顶点的连通图，证明中存在两个顶点，使得仍是连通图。

证：是至少有3个顶点的连通图，有生成树，设是的悬挂点，则
连通，是的生成子图，从而连通。

5 Kruskal 算法能否用来：
1、在赋权连通图中求最大权的生成树？
2、在非连通图中求最小权的生成森林？
如果可以，写出算法。

解：1、算法：
1)在中选取边，使尽可能的大；
2)若已经选定边，则在中选取边，使满
足以下两条：
I.不含回路；
II.在满足Ⅰ的前提下，使尽可能的大。

3)当2)不能继续执行时，停止。

2、算法：
1)在中选取边，使尽可能的小；
2)若已经选定边，则在中选取边，使满
足以下两条：
I.不含回路；
II.在满足Ⅰ的前提下，使尽可能的小。

当2)不能继续执行时，停止。

第四章
1 设简单图是一个Euler图。

证明：中每个顶点，均有。

证：设的每个连通分支为，则每个中至少有两个点与邻。

否则的话，由于是Euler图，中每个顶点的度数为偶数。

若中只有一个点与邻，设为，则中除了外其余点度数都是偶数，与推论
2 设是连通图，证明：是Euler图当且仅当存在边不交的回路，使：。

证：充分性：若中存在边不交的回路，使：。

则对中任意一个顶点，假设在个回路中，由
回路的边不相交性，有，是偶数。

又连通，由定理4.1.1，有是Euler 图。

必要性：对边数用归纳法。

当边数为1的时候，只能是一个顶点其边为环
的图，显然满足条件。

归纳假设边数时成立，现在证明边数等于时定理的必要性也成立。

由于是Euler图，无奇点且连通，故中每个顶点度至少是2。

由定理，再除去孤立点得图。

显然的每个顶点度仍然是偶数，则的每个
连通分支都是无奇点的连通图，是Euler图，且边数，由归纳假设，中存在边不交的回路，使：。

则中存在边不交的回路
，使：。

3找一个有10个顶点的简单图，使的每一对不相邻顶点，均有，而不是H—图。

解：令即可
4设是连通图中某一回路，若删去中任意一条边就得到的一条最长路。

证明回路就是的H—回路。

证：设的长度为。

反证法，假设不是连通图的H—回路，即连通，存在路，设与最后一个交点为。

在中去掉与关联的一条边，再加上路，就可以得到一条长度至少是的路，与删去中任意一条边就得到的一条最长路矛盾。

故，则含个点，是H—回路。

5证明：若围圆桌至少坐5个人，那么一定可以调整他们的座位，使得每个人的两侧都挨着两个新邻居。

证：构作图：以人为顶点，两个顶点相邻当且仅当他们本来不是邻居。

设，则。

当时，可如图所示进行调换：
（按红边进行调换）
当时，有，由推论，图有H—回路。

按这条回路调整座位，就可以满足题目条件。

6,，则有H—路。

证：在中添加顶点，并使与中所有点都相邻，记所得图为。

则在中，
，
且，
由定理4.3.2，有H—回路就是的H—路。

第五章
1设是一个正则二分图，则必有。

证：是一个正则二分图，则。

2 是二分图。

若，则不是H—图。

证：不妨设，则，故不是H—图。

3 证明二分图有完美对集的充分必要条件是。

证：必要性：。

设二分图的完美对集为，则在下分别与
配对，故。

充分性：由于，则。

另一方面，令
，则；令，则。

故。

从而由推论5.3.2，二分图有完美对集。

4设是简单二分图，。

证明：若，则有完美对集。

证：，
1.若，则且；
2.若，从而。

否则，
且，与已知矛盾。

故
，即。

从而。

由推论5.3.2，二分图有完美对集。

5设是正则二分图，证明：中存在个边不交的完美对集，使：。

证：对用归纳法。

1.当=1时，图本身可以看成是一个对集，故此时命题成立。

假设当时命题也成立，则当时，是正则二分图，由推论5.3.3，有完美对集是正则二分图，由归纳假设，存在个边不交的完美对集，使：。

从而有存在个边不交的完美对集，使：，即命题成立。