§1.1.1探索勾股定理
一、情境导入
《周髀算经》中国最古老的天文学和
数学著作，曾记载记录着商高和周公的
一段对话。
我早就听说您是擅长数 学的人，请问古代伏羲测量天文
制定历法，可没有登天的台阶，又
不能测量大地的尺寸，这数据是
怎么来的呢？
数是根据圆形和方形的 数学道理计算得来的。圆来自 方，而方来自直角三角形，直角三角 形是根据乘法九九表算出来的。如果 将一线段折成三段围成直角三角形， 一直角边（勾）为三，另外一直角 边（股）为四，则斜边（弦）
更进一步：
3.如右图，图中所有的三角形 都是直角三角形，所有的四边 形都是正方形，问A+B+C+D的 面积。
答案：49平方厘米
摩拳擦掌：
4.在直角三角形ABC中，AB=3,AC=4,那么以BC为边的正方 形的面积是多少？
分析：分情况讨论
解：情况一：当BC为斜边时
情况一：当BC为斜边时； 由勾股定理可知：AB2 AC 2 BC 2 情况二：当BC为直角边时 所以有BC 2 32 42 9 16 25
例一：如图，从电线杆离地面8m处向地面拉
一条钢索，如果这条钢索在地面的固定点距离 电线杆底部6m,那么需要多长的钢索？
A
B
C
再接再厉：
2.分别以直角三角形三边为边长的 正方形的面积如下图，问另外一个正 方形的面积.
∟
62A5 400
225
81 ∟ 1B44
225
规律：以直角三角形两直角边为边长的正方形的面积 和等于以斜边长的正方形面积。
a2 b2 c2
b
c
∟
a
我国古代把直角三角形中较短的直 角边称为 勾，较长的直角边称为股，斜边 称为弦，“勾股定理”因此而得名. （在西 方称为毕达哥拉斯定理）
弦 勾
股
四、简单应用 小试牛刀：
1.求出下列直角三角形中未知边的长度.
A
8
∟
C
6B
答案：AB=10
A
13 5
∟
C
B
答案：BC=12
实际问题
情况二：当BC为直角边时
由勾股定理可知：AB2 BC 2 AC 2
所以有BC 2 AC 2 AB2 16 9 7
总结：主要考查勾股定理的运用，以及分类讨论的数学思想
跃跃欲试：
5.若直角三角形的两条直角边分别为3和4，问斜边上 的高是多少？
答案：斜边上的高为2.4
大显身手：
7.如图所示，矩形ABCD沿AE折叠，使 A 点D落在BC边上点F处，若CD =6,FC=2, 求DE的值.
a
1 ab 1 ab 1 c2
222
ab 1 c2 2
所以： 1 a2 b2 ab 1 c2 ab
2
2
1 a2 b2 1 c2
2
2
a2 b2 c2
三、得出结论：勾股定理
直角三角形两直角边的平方和等 于斜边的平方.如果用 a，b和c 分别表 示直角三角形的两直角边和斜边，那 么
就是五。
勾股定理是关于什么图形 的定理？
答：关于直角三角形三边的关系
二、探索发现：如何推导勾股定理？
• 求这个梯形的面积 方法一：
A
b
c
S梯形
1 2
a
ba
b
1 a2 2ab b2
B
2
c
a
1 a2 b2 ab 2
∟
D aE
b
C
方法二：
b
cC
A
∟
a
c B
b
案：DE=
3
B
D E FC
总结：此题与折叠问题结合，同时应用方程的思想
五、课堂总结 ：
这堂课你学会了那些知识？学会了那些 数学思想？
六、家庭作业
作业： 1.除了上课老师讲的一种证明勾股 定理的方法，请你尝试找到另外一 种证明勾股定理的方法； 2.课堂精炼相对应的练习题； 3.复习这节课的知识，预习下节内 容。