高考理科数学试卷及答案HEN system office room 【HEN16H-HENS2AHENS8Q8-HENH1688】2010年普通高等学校招生全国统一考试数 学（理）（北京卷）本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分。

第Ⅰ卷1至2页、第Ⅱ卷3至5页，共150分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效，考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、本大题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

（1） 集合2{03},{9}P x Z x M x Z x =∈≤<=∈≤，则PM =（A ）{}1,2 （B ）{}0,1,2 （C ）{}|03x x ≤< （D ） {}|03x x ≤≤ （2）在等比数列{}n a 中，11a =，公比1q ≠.若12345m a a a a a a =，则m= （A ）9 （B ）10 （C ）11 （D ）12 （3）一个长方体去掉一个小长方体，所得几何体的正（主）视图与侧（左）视图分别如右图所示，则该几何体的俯视图为 （4）8名学生和2位第师站成一排合影，2位老师不相邻的排法种数为（A ）8289A A （B ）8289A C （C ） 8287A A （D ）8287A C （5）极坐标方程(1)()0(0)ρθπρ--=≥表示的图形是（A ）两个圆 （B ）两条直线（C ）一个圆和一条射线 （D ）一条直线和一条射线 （6）a b 、为非零向量.“a b ⊥”是“函数()()()f x xa b xb a =+-为一次函数”的（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件（7）设不等式组1103305390x y x y x y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪-+≤⎩表示的平面区域为D ，若指数函数x y a =的图像上存在区域D 上的点，则a 的取值范围是（A ）(1,3] (B )[2,3] (C ) (1,2] (D )[ 3,+∞](8)如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，动点E 、F 在棱11A B 上，动点P ，Q 分别在棱AD ，CD 上，若EF=1，1A E=x ，DQ=y ，D Ｐ＝z （x y z 、、大于零），则四面体PEFQ 的体积 （Ａ）与x y z 、、都有关 （Ｂ）与x 有关，与y 、z 无关 （Ｃ）与y 有关，与x ，z 无关 （Ｄ）与z 有关，与x ，y 无关第II 卷（共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。

（9）在复平面内，复数21ii-对应的点的坐标为 。

（10）在△ABC 中，若b = 1，323C π∠=，则a= 。

（11）从某小学随机抽取100名同学，将他们的身高（单位：厘米）数据绘制成频率分布直方图（如图）。

由图中数据可知a ＝ 。

若要从身高在[ 120 , 130），[130 ，140) , [140 , 150]三组内的学生中，用分层抽样的方法选取18人参加一项活动，则从身高在[140 ，150]内的学生中选取的人数应为 。

（12）如图，O 的弦ED ，CB 的延长线交于点A 。

若BD ⊥AE ，AB ＝4, BC ＝2, AD ＝3,则DE ＝ ；CE ＝ 。

（13）已知双曲线22221abχγ-=的离心率为2，焦点与椭圆221259χγ+=的焦点相同，那么双曲线的焦点坐标为 ；渐近线方程为 。

（14）如图放置的边长为1的正方形PABC 沿x 轴滚动.设顶点(,)P x y 的轨迹方程是()y f x =，则函数()f x 的最小正周期为 ；()y f x =在其两个相邻零点间的图象与x 轴所围区域的面积为 。

说明：“正方形PABC 沿x 轴滚动”包括沿x 轴正方向和沿x 轴负方向滚动。

沿x 轴正方向滚动指的是先以顶点A 为中心顺时针旋转，当顶点B 落在x 轴上时，再以顶点B 为中心顺时针旋转，如此继续. 类似地，正方形PABC 可以沿x 轴负方向滚动。

三、解答题：本大题共6小题，共80分。

解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。

（15）（本小题共13分）已知函数2()2cos 2sin 4cos .f x x x x =+- （Ⅰ）求()3f π的值；（Ⅱ）求()f x 的最大值和最小值。

（16）（本小题共14分）如图，正方形ABCD 和四边形ACEF 所在的平面互相垂直，CE⊥AC,EF∥AC,AB=2，CE=EF=1. （Ⅰ）求证：AF ∥平面BDE ； （Ⅱ）求证：CF ⊥平面BDE ； （Ⅲ）求二面角A-BE-D 的大小。

(17)(本小题共13分)某同学参加3门课程的考试.假设该同学第一门课程取得优秀成绩的概率为45，第二、第三门课程取得优秀成绩的概率分别为p ，q (p ＞q )，且不同课程是否取得优秀成绩相互独立.记ξ为该生取得优秀成绩的课程数，其分布列为ξ 0 123(Ⅰ)求该生至少有1门课程取得优秀成绩的概率； (Ⅱ)求p ，q 的值； (Ⅲ)求数学期望E ξ。

(18)(本小题共13分)已知函数2()ln(1)(0)2k f x x x x k =+-+≥ (Ⅰ)当k =2时，求曲线y =f (x )在点(1，f (1))处的切线方程； (Ⅱ)求f (x )的单调区间。

（19）（本小题共14分）在平面直角坐标系xOy 中，点B 与点A （-1,1）关于原点O 对称，P 是动点，且直线AP 与BP 的斜率之积等于13-.(Ⅰ)求动点P 的轨迹方程；(Ⅱ)设直线AP 和BP 分别与直线x =3交于点M,N ，问：是否存在点P 使得△PAB 与△PMN 的面积相等？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由。

（20）（本小题共13分）已知集合121{|(,,),{0,1},1,2,,}(2)n n S X X x x x x i n n ==∈=≥…，… 对于12(,,,)n A a a a =…，12(,,,)n n B b b b S =∈…，定义A 与B 的差为 A 与B 之间的距离为111(,)ni d A B a b ==∑-（Ⅰ）证明：,,,n n A B C S A B S ∀∈-∈有，且(,)(,)d A C B C d A B --=;（Ⅱ）证明：,,,(,),(,),(,)n A B C S d A B d A C d B C ∀∈三个数中至少有一个是偶数 (Ⅲ) 设P n S ⊆，P 中有m(m≥2)个元素，记P 中所有两元素间距离的平均值为()d P -. 证明：()2(1)mnd P m -≤-2010年普通高等学校招生全国统一考试数学（理）（北京卷）因为[]cos 1,1x ∈-,所以，当cos 1x =-时()f x 取最大值6；当2cos 3x =时，()f x 取最小值73- （16）（共14分）证明：（Ⅰ）设AC 与BD 交于点G.因为EF ∥AG,且EF=1，AG =12AC=1 所以四边形AGEF 为平行四边形 所以AF ∥EG因为EG ⊂平面BDE,AF ⊄平面BDE, 所以AF ∥平面BDE（Ⅱ）因为正方形ABCD 和四边形ACEF 所在的平面互相垂直，且CE AC ⊥ 所以CE ABCD ⊥平面如图，以C 为原点，建立空间直角坐标系C xyz -则(0,0,0),(2,2,0),(0,2,0)C A B 所以22(,,1),(0,2,1),(2,0,1)22CF BE DE ==-=- 所以0110,1010CF BE CF DE =-+==-++= 所以,CF BE CF DE ⊥⊥ 所以CF BDE ⊥平面（17）（共13分）解：事件1A 表示“该生第i 门课程取得优秀成绩”，1,2,3.i =由题意知 （Ⅰ）由于事件“该生至少有1门课程取得优秀成绩”与事件“0ξ=”是对立的，所以该生至少有1门课程取得优秀成绩的概率是（Ⅱ）由题意知整理得 6,125pq p q =+= (18)共13分解：（Ⅰ）当2k =时，2'1()ln(1),()121f x x x x f x x x=+-+=-++ 由于'3(1)ln 2,(1)2f f ==所以曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为 即 322ln 230x y -+-=（Ⅱ）'(1)(),(1,)1x kx k f x x x+-=∈-+∞+当0k =时，'()1xf x x =-+所以，在区间(1,0)-上，'()0f x >；在区间(0,)+∞上，'()0f x < 故()f x 的单调递增区间是(1,0)-，单调递减区间是(0,)+∞当01k <<时，由'(1)()01x kx k f x x +-==+，得1210,0kx x k -==>所以，在区间(1,0)-和1(,)k k -+∞上，'()0f x >，在区间1(0,)kk -上，'()0f x <故()f x 的单调递增区间是(1,0)-和1(,)k k -+∞，单调递减区间是1(0,)kk-当1k =时，2'()1x f x x=+故()f x 的单调递增区间是(1,)-+∞当1k >时，由 '(1)()01x kx k f x x +-==+，得121(1,0),0kx x k-=∈-=所以，在区间1(1,)k k --和(0,)+∞上，'()0f x >；在区间1(,0)kk -上，'()0f x <故()f x 的单调递增区间是1(1,)k k --和(0,)+∞，单调递减区间是1(,0)kk- （19）（共14分）（Ⅱ）解法一：设点P 的坐标为00(,)x y ，点M N 、的坐标分别为(3,),(3,)M N y y则直线AP 的方程式为0011(1)1y y x x --=++，直线BP 的方程式为0011(1)1y y x x ++=-- 令3x =得0000004323,11M N y x y x y y x x +--+==+-于是PMN ∆的面积又直线AB的方程为0,x y AB +== 点P 到直线AB的距离d = 于是PAB ∆的面积当PAB PMN S S ∆∆=时，得2000002(3)1x y x x y x +-+=-又000x y +≠所以2200(3)1x x -=-，解得053x =因为220034x y +=，所以09y =± 故存在点P 使得PAB ∆与PMN ∆的面积相等，此时点P的坐标为5(,3 解法二：若存在点P 使得PAB ∆与PMN ∆的面积相等，设点P 的坐标为00(,)x y 则11sin sin 22PA PB APB PM PN MPN ∠=∠ 因为sin sin APB MPN ∠=∠故存在点P 使得PAB ∆与PMN ∆的面积相等，此时点P 的坐标为5(,39±（20）（共13分）证明：（Ⅰ）设121212(,,...,),(,,...,),(,,...,)n n n n A a a a B b b b C c c c S ===∈ 因为{}{},0,1,0,1(1,2,....,)i i i i a b a b i n ∈-∈=所以从而1122(,,....,)n n n A B a b a b a b S -=---∈ 又1(,)ni i i i i d A C B C a c b c =--=---∑由题意知{},,0,1(1,2,...,)i i i a b c i n ∈= 当0i c =时，i i i i i i a c b c a b ---=-当1i c =时，(1)(1)i i i i i i i i a c b c a b a b ---=---=- 所以1(,)(,)ni i i d A C B C a b d A B =--=-=∑所以(1,2,...,)i i b a i n -=中1的个数为k ，(1,2,...,)i i c a i n -=中1的个数为l设t 是使1i i i i b a c a -=-=成立的i 的个数，则2h l k t =+- 由此可知，,,k l h 三个数不可能都是奇数即(,),(,),(,)d A B d A C d B C 三个数中至少有一个是偶数 （Ⅲ）21()(,)A B Pmd P d A B C ∈=∑、表示P 中所有两个元素间距离的综合设P 中所有元素的第i 个位置的数字中共有i t 个1，i m t -个0 则1(,)()niii A B Pd A B t m t =∈=-∑∑、由于2()(1,2,...,)4i i m t m t i n -≤= 所以2(,)4A B Pnm d A B ∈≤∑、从而2221()(,)2(1)4A B Pmm nm mnd P d A B m C C ∈=≤=-∑、。