4|a|2－4a·b－3|b|2＝64－4a·b－27＝61.
所以a·b＝－6，所以cosθ＝ ＝ ＝－ ，
因为0≤θ≤π，所以θ＝ ，所以a与b的夹角θ为 .
11．(1)已知向量a，b满足a·b＝0，|a|＝1，|b|＝2，求|2a－b|.
(2)已知a，b是两个非零向量，且|a|＝|b|＝|a－b|.求a与a＋b的夹角．
即2＝25－ · － ×64，解得 · ＝22.
借助 · 表示出 · 是解决本题的关键所在．
答案：22
三、解答题(共计40分，其中10题10分，11、12题各15分)
10．已知|a|＝4，|b|＝3，(2a－3b)·(2a＋b)＝61，求a·b的值及a与b的夹角θ.
解：由(2a－3b)(2a＋b)＝61，得
12．已知|a|＝4，|b|＝3，(2a－3b)·(2a＋b)＝61.
(1)求|a＋b|；
(2)求向量a在向量a＋b方向上的投影．
解：(1)∵(2a－3b)·(2a＋b)＝61，
∴4|a|2－4a·b－3|b|2＝61.
∵|a|＝4，|b|＝3，∴a·b＝－6，
∴|a＋b|＝
＝ ＝ .
(2)∵a·(a＋b)＝|a|2＋a·b＝42－6＝10，
课时作业
向量数量积的运算律
时间：
一、选择题(每小题6分，共计36分)
1．若|a|＝3，|b|＝4，a，b的夹角为135°，则a·b＝()
A．－3 B．－6
C．6 D．12
解析：∵a·b＝|a||b|cos135°＝3×4×(－ )＝－6 .
答案：B
2．若非零向量a，b满足|a|＝|b|，(2a＋b)·b＝0，则a与b的夹角为()
A．30°B．60°
C．120°D．150°
解析：本题考查向量的夹角公式．
由(2a＋b)·b＝0得2a·b＋b2＝0，从而a·b＝－ ，
所以cos〈a，b〉＝ ＝ ＝－ ，〈a，b〉＝120°.
答案：C
3．设向量a，b，c满足a＋b＋c＝0，a⊥b，|a|＝1，|b|＝2，则|c|2等于()
A．1B．2
＝ ＝－ .
∴ ＝ .∴ ＝ .
答案：
9．如图，在平行四边形ABCD中，已知AB＝8，AD＝5， ＝3 ， · ＝2，则 · 的值是________．
解析：本题考查向量的线性运算及向量的数量积．
由题意， ＝ ＋ ＝ ＋ ， ＝ ＋ ＝ ＋ ＝ － ，
所以 · ＝( ＋ )·( － )＝ 2－ · － 2，
∴向量a在向量a＋b方向上的投影为 ＝ ＝ .
∴ · ＝( ＋ )·( － )
＝－ | |2＋| |2＝－ ×22＋22＝2.
答案：2
8．已知非零向量a，b满足a⊥b，且a＋2b与a－2b的夹角为120°，则 ＝________.
解析：(a＋2b)·(a－2b)＝a2－4b2，∵a⊥b，
∴|a＋2b|＝ ，|a－2b|＝ .
∴cos120°＝ ＝
C．4D．5
解析：|c|2＝|a＋b|2＝|a|2＋|b|2＋2a·b＝5.
答案：D
4．若向量a，b，c满足a∥b且a⊥c，则c·(a＋2b)＝()
A．4B．3
C．2D．0
解析：∵a⊥c，∴a·c＝0.∵a∥b，∴b⊥c.∴b·c＝0.
∴c·(a＋2b)＝c·a＋2b·c＝0.
答案：D
5．如图，在菱形ABCD中，下列关系式不正确的是()
解：(1)∵|2a－b|2＝4a2－4a·b＋b2＝8，
∴|2a－b|＝2 .
(2)∵|a|＝|a－b|，
∴|a|2＝|a－b|2＝|a|2－2a·b＋|b|2.
又|a|＝|b|，∴a·b＝ |a|2，
又|a＋b|＝ ＝ ＝ |a|，
设a与a＋b的夹角为θ，
则cosθ＝ ＝ ＝ ＝ ，
又θ∈[0，π]，∴θ＝ ，即a与a＋b的夹角为 .
又∵a⊥b，且|a|≠|b|，
∴f(x)＝(|b|2－|a|2)x(|b|2－|a|2≠0)
故f(x)为一次函数且为奇函数，选A.
答案：A
二、填空题(每小题8分，共计24分)
7．已知正方形ABCD的边长为2，E为CD的中点，则 · ＝________.· ＝0，而 ＝ ＋ ， ＝ － ，
答案：D
6．若a，b是非零向量，且a⊥b，|a|≠|b|，则函数f(x)＝(xa＋b)·(xb－a)是()
A．一次函数且是奇函数
B．一次函数但不是奇函数
C．二次函数且是偶函数
D．二次函数但不是偶函数
解析：本题考查了向量的数量积运算及一、二次函数及其奇偶性的判断．
∵f(x)＝(xa＋b)·(xb－a)＝(a·b)x2＋(|b|2－|a|2)x－a·b
A. ∥
B．( ＋ )⊥( ＋ )
C．( － )·( － )＝0
D. · ＝ ·
解析：A显然正确；
B： ＋ ＝ ， ＋ ＝ ，∵菱形对角线互相垂直，
∴ ⊥ .∴B正确．
C： － ＝ ， － ＝ ，同B一样，正确．
D： · ＝| || |cos∠BAD， · ＝| || |cos(π－∠BAD)＝－| || |cos∠BAD.