【全国百强校】衡水金卷河北衡水中学2017-2018年高二下学期期中考试数学(理)试卷
学校_________ 班级__________ 姓名__________ 学号__________
一、单选题
1. 与极坐标表示的不是同一点的极坐标是（）
A．B．C．D．
2. 下列表述：①综合法是由因导果法；②综合法是顺推法；③分析法是执果索因法；④分析法是逆推法；⑤反证法是间接证法.其中正确的有（）A．2个B．3个C．4个D．5个
3. 设复数满足（为虚数单位），则（）
A．B．
C．D．
4. 用反证法证明命题“若，则
”时，下列假设的结论正确的是（）
A．B．
C．D．
5. 方程（为参数）表示的曲线是( )
A．双曲线B．双曲线的上支C．双曲线的下支D．圆
6. 若，，，则，，的大小关系是
（）
A．B．C．D．
7. 老王和小王父子俩玩一种类似于古代印度的“梵塔游戏”；有3个柱子甲、乙、丙，在甲柱上现有4个盘子，最上面的两个盘子大小相同，从第二个盘子往下大小不等，大的在下，小的在上（如图），把这4个盘子从甲柱全部移到乙柱游戏即结束，在移动过程中每次只能移动一个盘子，甲、乙、丙柱都可以利用，且3个柱子上的盘子始终保持小的盘子不能放在大的盘子之下，设游戏结束需要移动的最少次数为，则（）
A．7 B．8 C．11 D．15
8. 在平面上，我们如果用一条直线去截正方形的一个角，那么截下的一个直角三角形，按图所标边长，由勾股定理有.设想正方形换成正方体，把截线换成如图的截面，这时从正方体上截下一个三条侧棱两两垂直的三棱锥
，如果用，，表示三个侧面面积，表示截面面积，那么类比得到的结论是（）
A．B．
C．D．
9. 设函数，则函数的所有极大值之和为A．B．C．D．
10. 已知在平面直角坐标系中，曲线C的参数方程为
，M是曲线C上的动点．以原点O为极点，轴的正半轴为极轴，取相同的长度单位建立极坐标系，若曲线的极坐标方程为
，则点M到点T的距离的最大值为（）A．B．C．D．
11. 已知函数与的图象如图所示，则函数（其中为自然对数的底数）的单调递减区间为（）
B．
A．
D．
C．
12. 已知函数，若关于的方程
由5个不同的实数解，则实数的取值范围是（）
D．
A．B．C．
二、填空题
13. 复数（其中为虚数单位）的虚部为__________．
14. 在极坐标系中，直线的方程为，则点到直线的距离为__________．
15. 在一次连环交通事故中，只有一个人需要负主要责任，但在警察询问时，甲说：“主要责任在乙”；乙说：“丙应负主要责任”；丙说“甲说的对”；丁说：“反正我没有责任”．四人中只有一个人说的是真话，则该事故中需要负主要责任的人是_____．
16. 已知实数，满足，，则的最小值为__________．
三、解答题
17. 设复数，当实数取何值时，复数对应的点：
（1）位于实轴上？
（2）位于第一、三象限？
（3）位于以原点为圆心、4为半径的圆上？
18. 已知数列的前项和为，且满足，.
（1）写出，，，并推测数列的表达式；
（2）用数字归纳法证明（1）中所得的结论.
19. 在平面直角坐标系中,曲线过点,其参数方程为
（t为参数，），以为极点,轴非负半轴为极轴建立极坐标系,曲线
的极坐标方程为．
求曲线的普通方程和曲线的直角坐标方程；
已知曲线和曲线交于两点，且，求实数的值．
20. 某中学的环保社团参照国家环境标准制定了该校所在区域空气质量指数与
空气质
量指数
空气质量等级级优级良
级轻度
污染
级中度
污染
级重度
污染
级严重
污染
该社团将该校区在年天的空气质量指数监测数据作为样本，绘制的频率分布直方图如下图，把该直方图所得频率估计为概率．
（Ⅰ）请估算年（以天计算）全年空气质量优良的天数(未满一天按一天计算)；
（Ⅱ）该校年月、、日将作为高考考场，若这三天中某天出现级重度污染，需要净化空气费用元，出现级严重污染，需要净化空气费用元，记这两天净化空气总费用为元，求的分布列及数学期望．
21. 已知抛物线的焦点为椭圆的右焦点, 点
为此抛物线与椭圆在第一象限的交点，且.
（1）求椭圆的方程；
（2）过点作两条互相垂直的直线，直线与椭圆交于两点，直线与直线交于点,求的取值范围.
22. 已知，函数.
（Ⅰ）若函数在上递减, 求实数的取值范围；
（Ⅱ）当时，求的最小值的最大值；
（Ⅲ）设，求证：.。