北师大版《数学》（八年级上册）知识点总结第一章 勾股定理1、勾股定理（1）直角三角形两直角边a ，b 的平方和等于斜边c的平方，即222c b a =+（2）勾股定理的验证：测量、数格子、拼图法、面积法，如青朱出入图、五巧板、玄图、总统证法……（通过面积的不同表示方法得到验证，也叫等面积法或等积法）（3）勾股定理的适用范围：仅限于直角三角形2、勾股定理的逆定理如果三角形的三边长a ，b ，c 有关系222c b a =+，那么这个三角形是直角三角形。
#3、勾股数：满足222c b a =+的三个正整数a ，b ，c ，称为勾股数。
常见的勾股数有：（6,8,10）（3,4,5）（5,12，,13）（9,12,15）（7,24,25）（9,40,41）……规律：（1），短直角边为奇数，另一条直角边与斜边是两个连续的自然数，两边之和是短直角边的平方。
即当a 为奇数且a ＜b 时，如果b+c=a 2那么a,b,c 就是一组勾股数.如（3,4,5）（5,12，,13）（7,24,25）（9,40,41）……（2）大于2的任意偶数，2n(n ＞1)都可构成一组勾股数分别是：2n,n 2-1,n 2+1如：（6,8,10）（8,15,17）（10,24,26）……4、常见题型应用：（1）已知任意两条边的长度，求第三边/斜边上的高线/周长/面积……（2）已知任意一条的边长以及另外两条边长之间的关系，求各边的长度找最长边；b.比较长边的平方与另外两条较短边的平方和之间的大小关系；c.确定形状~（4）构建直角三角形解题例1. 已知直角三角形的两直角边之比为3：4，斜边为10。
求直角三角形的两直角边。
解：设两直角边为3x ，4x ，由题意知：()()34100916100251004222222x x x x x x +=+===，，， ∴x=2，则3x=6，4x=8，故两直角边为6，8。
中考突破（1）中考典题例. 如图（1）所示，一个梯子AB 长米，顶端A 靠在墙AC 上，这时梯子下端B 与墙角C 距离为米，梯子滑动后停在DE 位置上，如图（2）所示，测得得BD=米，求梯子顶端A 下落了多少米]A AEC B C BD （1） （2）思维入门指导：梯子顶端A 下落的距离为AE ，即求AE 的长。
已知AB 和BC ，根据勾股定理可求AC ，只要求出EC 即可。
解：在Rt △ACB 中，AC 2=AB 2-BC 2=， ∴AC=2 ∵BD=，∴CD=2在中，Rt ECD EC ED CD ∆22222252225=-=-=.. ∴EC=∴=-=-=AE AC EC 21505.. —答：梯子顶端下滑了米。
点拨：要考虑梯子的长度不变。
例 5. 如图所示的一块地，AD=12m ，CD=9m ，∠ADC=90°，AB=39m ，BC=36m ，求这块地的面积。
ADC B思维入门指导：求面积时一般要把不规则图形分割成规则图形，若连结BD ，似乎不得要领，连结，求出即可。
AC S S ABC ACD ∆∆-解：连结AC ，在Rt △ADC 中，在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离，叫做该数的绝对值。
（|a|≥0）。
零的绝对值是它本身，也可看成它的相反数，若|a|=a ，则a ≥0；若|a|= -a ，则a ≤0。
3、倒数如果a 与b 互为倒数，则有ab=1，反之亦成立。
倒数等于本身的数是1和-1。
零没有倒数。
4、数轴规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴（画数轴时，要注意上述规定的三要素缺一不可）。
解题时要真正掌握数形结合的思想，理解实数与数轴的点是一一对应的，并能灵活运用。
5、估算、利用非负数解题的常见类型例1.已知，求的值。
x y x y -+-=-53022|| 解：x y x y -≥-≥-+-=5030530，，且||||∴-=-=x y 5030，|| ∴-=-=x y 5030， ∴==x y 53，∴-=-=x y 2225619 点拨：利用算术平方根，绝对值非负性解题。
^三、平方根、算数平方根和立方根1、算术平方根：一般地，如果一个正数x 的平方等于a ，即x 2=a ，那么这个正数x 就叫做a 的算术平方根。
特别地，0的算术平方根是0。
表示方法：记作“a ”，读作根号a 。
性质：正数和零的算术平方根都只有一个，零的算术平方根是零。
2、平方根：一般地，如果一个数x 的平方等于a ，即x 2=a ，那么这个数x 就叫做a 的平方根（或二次方根）。
表示方法：正数a 的平方根记做“a ±”，读作“正、负根号a ”。
性质：一个正数有两个平方根，它们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根。
开平方：求一个数a 的平方根的运算，叫做开平方。
(注意a 的双重非负性：被开方数与结果均为非负数。
即a ≥0， 3、立方根一般地，如果一个数x 的立方等于a ，即x 3=a 那么这个数x 就叫做a 的立方根（或三次方根）。
表示方法：记作3a性质：一个正数有一个正的立方根；一个负数有一个负的立方根；零的立方根是零。
注意：33a a -=-，这说明三次根号内的负号可以移到根号外面。
四、实数大小的比较1、实数比较大小：正数大于零，负数小于零，正数大于一切负数；数轴上的两个点所表示的数，右边的总比左边的大；两个负数，绝对值大的反而小。
|2、实数大小比较的几种常用方法（1）数轴比较：在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大。
（2）求差比较：设a 、b 是实数，,0b a b a >⇔>- ,0b a b a =⇔=-b a b a <⇔<-0（3）求商比较法：设a 、b 是两正实数， ;1;1;1b a bab a b a b a b a <⇔<=⇔=>⇔> ￥（4）绝对值比较法：设a 、b 是两负实数，则b a b a <⇔>。
（5）平方法：设a 、b 是两负实数，则b a b a <⇔>22。
（6）倒数法：设a 、b 是同正,如果1/a ＞1/b ，则a ＜b;同负，如果1/a ＞1/b ，则a ＞b五、算术平方根有关计算（二次根式）1、含有二次根号“”；被开方数a 必须是非负数。
2、性质：（1）)0()(2≥=a a a （2）==a a 2)0(≥a a￥)0(<-a a（3）)0,0(≥≥•=b a b a ab（)0,0(≥≥=•b a ab b a ）（4）)0,0(>≥=b a ba b a （)0,0(>≥=b a b aba） 3、运算结果若含有“a ”形式，必须满足：（1）被开方数的因数是整数，因式是整式；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式六、实数的运算（1）六种运算：加、减、乘、除、乘方 、开方\（2）实数的运算顺序先算乘方和开方，再算乘除，最后算加减，如果有括号，就先算括号里面的。
（3）运算律加法交换律a b b a +=+加法结合律 )()(c b a c b a ++=++乘法交换律ba ab =乘法结合律 )()(bc a c ab = 乘法对加法的分配律 ac ab c b a +=+)(%例. 计算：()()（）；12121+-=()()（）；23232+-=()()（）；32323+-=()()（）45252+-=.通过以上计算，观察规律，写出用n （n 为正整数）表示上面规律的等式___________。
解：()()()()()21132143154122222-=-=-=-=；；；规律：()()n nn n +++-=111#第三章 图形的平移与旋转一、平移1、定义：在平面内，将一个图形整体沿某方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移。
2、要素（或条件）：方向，即前后对应点的射线方向；距离，即对应点之间的距离3、性质：平移前后两个图形的形状和大小不变（即全等图形），对应点连线平行（或在同一条直线上）且相等，对应线段平行（或在同一条直线上）且相等，对应角相等。
4、平移作图： 线段的平移作法： '作法1：将线段两端点分别平移，然后将两个平移后的点连成线段，即为原线段平移后的线段；作法2：将线段一端点平移，然后过平移 后的点作原线段的平行线，在该平行线适当方向截取长度为指定线段长度，则所得线段为所求. 二、旋转1、定义：在平面内，将一个图形绕某一定点沿某个方向转动一个角度，这样的图形运动称为旋转，这个定点称为旋转中心，转动的角叫做旋转角。
2、要素（或条件）：旋转中心（定点）、旋转方向（顺时针/逆时针）、旋转角度（0~3600）3、性质：旋转前后两个图形是全等图形，对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心的连线所成的角等于旋转角。
4、旋转作图：…（1）作图步骤：观察基本图案（确定关键点）——确定旋转的三要素——找到对应点——连接对应点——作答（2）旋转作图的方法：1、把各关键点依次与旋转中心连接2、按要求向顺时针/逆时针旋转相应角度3、截取对应线段4、连接对应点5、作答三、简单的图案设计：第四章四边形性质探索|一、四边形的相关概念1、四边形：在同一平面内，由不在同一直线上的四条线段首尾顺次相接组成的图形叫做四边形。
2、四边形具有不稳定性3、四边形的内角和定理及外角和定理四边形的内角和定理：四边形的内角和等于360°。
四边形的外角和定理：四边形的外角和等于360°。
推论：多边形的内角和定理：n边形的内角和等于(n-2)×180°；多边形的外角和定理：任意多边形的外角和等于360°。
|6、设多边形的边数为n，从n边形的一个顶点出发能引（n-3）条对角线，将n边形分成（n-2）个三角形。
多边形的对角线共有2)3(nn条。
二、平行四边形1、平行四边形的定义两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。
2、平行四边形的性质（1）平行四边形的对边平行且相等。
（2）平行四边形相邻的角互补，对角相等（3）平行四边形的对角线互相平分。
%（4）平行四边形是中心对称图形，对称中心是对角线的交点。
常用点：（1）若一直线过平行四边形两对角线的交点，则这条直线被一组对边截下的线段的中点是对角线的交点，并且这条直线二等分此平行四边形的面积。
（2）推论：夹在两条平行线间的平行线段相等。
3、平行四边形的判定（1）定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形（2）定理1：两组对角分别相等的四边形是平行四边形（3）定理2：两组对边分别相等的四边形是平行四边形（4）定理3：对角线互相平分的四边形是平行四边形|（5）定理4：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形4、两条平行线之间的距离（平行线间的距离处处相等）两条平行线中，一条直线上的任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线的距离。