实验二落球法测定液体的粘滞系数
液体（或气体）粘滞系数是表征液体性质的一个物理量，是流体力学中经常接触的问题之一。
在航空航天，船舶研究，水利水力等学科中很有意义。
粘滞系数的测定方法有多种，现仅介绍其中的一种—落球法。
这是根据Stokes定律和方法设计的实验，Stokes是英国著名的物理学家和数学家。
实验方法简单、直观，物理思想清晰明了，在误差处理上应用了合理的数学修正和推理。
希望本实验能对学生们有所启发，实验不在形式的复杂和仪器的排场，而在于它的物理意义和实验思想。
实验目的
1．学习用落球法测定液体的粘滞系数。
2．了解Stokes公式的应用条件，雷诺数及修正。
实验仪器
量筒、直径2.0mm和1.5mm的小钢球、螺旋测微器、秒表、温度计和待测液体（蓖麻油）等，实验装置如图1所示。
实验原理
1．Stokes公式的简单介绍
一个在静止液体中缓慢下落的小球受到三个力的作用：重力、浮力和粘滞阻力的作用。
粘滞阻力是液体密度、温度和运动状态的函数。
如果小球在液体中下落时的速度很小，球的半径也很小，且液体可以看成在各方向上都是无限广阔的，则从流体力学的基本方程出发导出著名的Stokes公式：
vr
fπη
6
=（1）
式中f是小球所受到的粘滞阻力，v是小球
的下落速度，r是小球的半径，η是液体的粘滞系数，它的单位是泊[p]=[0.1牛顿•秒/ 米2]。
Stokes公式是由粘滞液体的普遍运动方程导出的，是在“小球在液体中下落速度很小，球的半径也很小和液体可以看成在各方向上无限广阔”三个假定条件下得到的。
那么，在实验上这些条件如何体现呢？Stokes公式应作如何修正呢？
2、奥西恩-果尔斯公式
温度计
L
V
2R e
h0 N1
N2
图1
小球在液体中下落，速度很小，球的半径也很小，可以归结为雷诺数R e 很小，即： R e η
ρ0
2rv =
（2）
式中0ρ为液体的密度。
当液体相对于小球处于层流运动状态时，解方程过程中可略去R e 的非线性项。
如果考虑R e 的非线性项，Stokes 公式修正为奥西恩-果尔斯公式：
)1080
191631(62
+-
+
=e e R R vr f πη （3）
式中3R e /16项和19R e 2/1080项可以看作Stokes 公式的第一和第二修正项。
如R e =0.1，则零级解（即1式）与一级解（即3式中取一级修正）相差约2%，二级修正项~2×10-4，可略去不计；如R e =0.5，则零级解与一级解相差约10%，二级修正项~0.5%仍可略去不计；但当R e =1时，则二级修正项~2%，随着R e 的增大，高次修正项的影响也变大。
3、容器壁的影响
在一般情况下，小球在容器半径R ，液体的高度为h 的液体内下落，则液体在各方向上都是无限广阔的这一假设条件是不能成立的，因此，必须考虑容器壁的影响，则式（3）变为
)
1080
191633
1)(3
.31)(4
.21(62
⋅⋅⋅+-
+++=e e R R h r R r vr f πη （4）
式（4）等号右边含R 和h 的二项即反映了这一修正
4．η的表示
前面我们讨论了粘滞阻力f 与小球的速度、几何尺寸、液体的密度、雷诺数、粘滞系数等参量之间的关系，但在一般情况下粘滞阻力f 是很难测定的。
因此，还是很难得到粘滞系数η。
这里，我们考虑这么一种情况：
小球在液体中下落时，重力、浮力和粘滞阻力都在铅直方向上，重力方向向下，而浮力和粘滞阻力向上，阻力随着小球的速度增加而增加。
显然，小球从静止开始作加速运动，当小球的下落速度达到一定大小时，这三个力的合力等于零。
然后，小球以匀速下落。
则由式（4）得： )1080
1916
33
1)(3
.31)(4
.21(6)(3
42
03
⋅⋅⋅+-
+++=-e e R R h
r R
r vr g πηρρπγ
（5）
式中ρ是小球的密度，g 为重力加速度，由式（5）得：
)1080
1916
31)(3
.31)(4
.21()(9
22
2
+-
+
++-=
e e o R R h r R
r v gr
ρρη
)1080
1916
31)(23
.31)(24
.21()(18
12
2
+-
+
++-=
e e o R R h d R
d v gd
ρρ （6）
式中d 是小球的直径。
由上面2的讨论，我们得到以下三种情况：
1）当R e <0.1时，可以取零级解，则（6）式就成为：
)23
.31)(24
.21()(18
12
h
d R
d v gd o o ++-=
ρρη （7）
2）0.1<R e <0.5时，可以取一级近似解，式（6）就成为：
)23
.31)(24
.21()(18
1)16
31(2
1h
d R
d v gd R o
e ++-=
+
ρρη
它可以表示成零级近似解的函数：
00116
3ρηηdv -
= （8）
3）R e >0.5时，还必须考虑二级修正，则式（6）的η变成：
)23
.31)(24
.21()(18
1)1080
1916
31(2
2
2h
d R
d v gd R R o
e e ++-=
-
+
ρρη
或 ⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎣
⎡
+
+=2
1
12)(
270
19112
1ηρηηdv （9）
在实验完成后，实验报告中作数据处理时，必须对R e 进行计算。
确定它的范围后，进行相
应修正，得到符合实验要求的粘滞系数值。
实验内容
1．图１的N 1和N 2之间设为匀速下降区，测出其长度L 。
2. 用相应的仪器测出R 和h (至少各测量三次并求平均值)及液体的温度T ，温度T 应取实验开始时的温度和实验结束时的温度的平均值。
3. 用镊子将小球置于量筒中央，尽量接近液面处后放开小球使其下落，测出小球通过匀速下降区L 的时间t ，重复6次，每次间隔5分钟以上。
4. 应用式（7）计算η0。
5. 根据公式（2）计算雷诺数Re ，并根据雷诺数的大小，参照公式（8）或（9）进行相应的修正。
6. 将实验结果与附录的“蓖麻油粘滞系数和温度关系曲线图”作比较。
数据记录
1.匀速下降区L = m; 圆筒的内径R = cm. 液体的高度h = m.
2.小球下落的速度V
T 前＝ ０Ｃ； T 后= ０
Ｃ； T 平均= ０
Ｃ； d = mm 测量次序
1 2
3
4
5
6
平均值
t 1(s)
V (m/s)
注：钢球密度：33/109.7m Kg ⨯ 蓖麻油密度：3
3/1096.0m Kg ⨯
思考题
1.根据实际情况分析实验中引起测量误差的主要因素是什么？
2.说明雷诺数的物理意义。
附录
蓖麻油
η-θ图
0510********
5
10
15
202530
35
40
θ/℃
η/P。