{
}
例如
抛物柱面与圆柱面的交线参数方程为
x = sin 2α y = 1 − cos 2α z = 2 cos α 由公式 １ 可得曲线上任意一点 Ｍ０（对应参数α ０）的切线向量为 ρ V = {2 cos 2α 0 2 sin 2α 0 − 2 sinα 0
F1 ( x, y, z) = 0 F2 ( x, y, z) = 028空间曲线的切线向量求法
作者： 作者单位： 刊名： 英文刊名： 年，卷(期)： 被引用次数： 杨老记 邢台职业技术学院,机电系,河北,邢台,054000 邢台职业技术学院学报 JOURNAL OF XINGTAI VOCATIONAL AND TECHNICAL COLLEGE 2003，20(5) 0次
Ｌａｗ ｏｆ Ａｓｋｉｎｇ ｔｈｅＴａｎｇｅｎｔ Ｖｅｃｔｏｒ ｏｆ ｔｈｅ Ｓｐａｃｅ Ｃｕｒｖｅ
ＹＡＮＧ Ｌａｏｊｉ
（Ｘｉｎｇｔａｉ Ｖｏｃａｔｉｏｎａｌ ａｎｄ Ｔｅｃｈｎｉｃａｌ Ｃｏｌｌｅｇｅ Ｘｉｎｇｔａｉ Ｈebei ０５４０００）
Ａｂｓｔｒａｃｔ： Ｔｈｅ ｍａｔｈｅｍａｔｉｃａｌ ｒｅｐｒｅｓｅｎｔａｔｉｏｎｓ ｏｆ ｓｐａｃｅ ｃｕｒｖｅ ｉｎ ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ ｈａｖｅ ｍａｎｙ ｆｏｒｍｓ， ａｎｄ ｔｈｅ ｍｅａｎｓ ｂｙ ｗｈｉｃｈ ｔｏ ｇｅｔ ｔｈｅ ｔａｎｇｅｎｔ ｖｅｃｔｏｒ ｖａｒｉｅｓ ａｃｃｏｒｄｉｎｇ ｔｏ ｔｈｅ ｖａｒｉｏｕｓ ｒｅｐｒｅｓｅｎｔａｔｉｏｎｓ． Ｔｈｅｒｅ ａｒｅ ｓｏｍｅ ｍａｔｈｅｍａｔｉｃａｌ ｒｅｐｒｅｓｅｎｔａｔｉｏｎｓ ｏｆ ｓｐａｃｅ ｃｕｒｖｅｓ ｗｈｉｃｈ ｗｉｌｌ ｐｒｏｂａｂｌｙ ｂｅ ｍｅｔ ｉｎ ａｃｔｕａｌ ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ， ａｎｄ ｔｈｉｓ ａｒｔｉｃｌｅ ｄｉｓｃｕｓｓｅｓ ｈｏｗ ｔｏ ｇｅｔ ｔｈｅ ｔａｎｇｅｎｔ ｖｅｃｔｏｒ ｏｆ ｔｈｅｓｅ ｓｐａｃｅ ｃｕｒｖｅｓ ａｃｃｏｒｄｉｎｇ ｔｏ ｔｈｅｉｒ ｖａｒｉｏｕｓ ｍａｔｈｅｍａｔｉｃａｌ ｒｅｐｒｅｓｅｎｔａｔｉｏｎｓ． Ｋｅｙ wｏｒｄ： Ｔａｎｇｅｎｔ ｖｅｃｔｏｒ Ｒｅｃｔａｎｇｕｌａｒ ｅｑｕａｔｉｏｎ Ｐａｒａｍｅｔｒｉｃ ｅｑｕａｔｉｏｎ Ｊａｃｏｂｉｎ Ｖｅｃｔｏｒ ｐｒｏｄｕｃｔ 责任编辑 苑田家
其中 ａ ｈ ４－２
为常数 参数 ϕ ＝常数表示曲面上不同的螺旋线 θ ＝常数表示不同位置的渐开线 的前两个方程分别平方后相加得
x 2 + y 2 = a 2 (1 + ϕ 2 ) 2 2 2 h 将其代入 ４－１ 得 a (1 + ϕ ) = b ( θ )2 2π
由此解得 令 ϕ = ±
∂F1 ∂F1 ∂ x ∂y D( F1 F2 ) = D( x , y ) ∂F2 ∂ F2 ∂x ∂y
收稿日期 ２００３－０７－２０ 作者简介 杨老记 １９５３ — 26
河北保定人 邢台职业技术学院机电系,副教授
邢台职业技术学院学报 ２００３ 年 第 ５ 期
摘 要 空间曲线的数学表示形式有多种 而不同的表示形式 求其切线向量的方法也不同 本文 就工程实际中可能出现的几种空间曲线的数学表示形式 分析其切线向量的求法 关 键 词 切线向量 直角坐标方程 参数方程 雅可比行列式 向量积 中图分类号 Ｏ １８６ .１１ 文献标识码 Ａ 文章编号 １００８ —６１２９ ２００３ ０５ — ０ ０ ２６ — ０ ３ 在一些工程实际中 经常会遇到求空间曲线的切线向量问题 然而 空间曲线的数学表示形式有多种 空间曲线的表示形式不同 求其切线向量的方法也不同 本文就四种数学形式的空间曲线的切线向量的求法 予以分析 为叙述简捷 假定以下所讨论的曲线都满足所必需的数学条件 如曲线方程连续可微等 1.空间曲线形式一 空间曲线由坐标参数方程表示 如果在笛卡尔直角坐标系中曲线的参数方程为 x = x (t ) y = y ( t ) t ∈ ( a , b) a ≠ b a , b为实数 z = z (t ) 则曲线上任意一点的切线向量为 ρ V = x ′ (t ) y ′(t ) z ′( t ) １
参考文献(3条) 1.复旦大学数学系 数学分析 1979 2.吴大任 微分几何 1982 3.南开大学数学系 空间解析几何引论 1978
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∂F1 ∂F1 ∂y ∂ z D( F1 F2 ) = D( y, z ) ∂F2 ∂ F2 ∂y ∂z
例如 球面与圆柱面的交线方程为
∂F1 ∂F1 D( F1 F2 ) ∂z ∂x = D( z , x ) ∂F2 ∂ F2 ∂ z ∂x x 2 + y 2 + z 2 − 100 = 0 2 2 x + y − 10 x = 0
b 2 h2 2 θ −1 4π 2 a 2 k 2θ 2 − 1
由此 曲线方程为
b 2h 2 = k2 2 2 4π a
这里只讨论 ϕ 取正值 则 ϕ =
2 2 2 2 2 2 x = a [ cos(θ + k θ − 1) + k θ − 1 sin(θ + k θ − 1) ] 2 2 2 2 2 2 y = a [ sin(θ + k θ − 1) − k θ − 1 cos(θ + k θ − 1) ] h z = θ 2π 这是以 θ 为参数的空间曲线方程 曲线上任意一点的切线向量为
第 ２０ 卷 第 ５ 期 ２００３ 年 １０ 月
邢 台 职 业 技 术 学 院 学 报 Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｘｉｎｇｔａｉ Ｖｏｃａｔｉｏｎａｌ ａｎｄ Ｔｅｃｈｎｉｃａｌ Ｃｏｌｌｅｇｅ
Ｖｏｌ．２０ Ｎｏ．５ Ｏｃｔ． ２００３
空间曲线的切线向量求法
杨老记
邢台职业技术学院 机电系 河北 邢台 ０５４０００
′ V = { xθ
ρ
yθ′
zθ′
}
其中
′ = a [ ( k 2θ 2 − 1 + k 2θ ) cos(θ + k 2θ 2 − 1 ) − sin(θ + k 2θ 2 − 1 ) xθ ′ = a [ ( k 2θ 2 − 1 + k 2θ ) sin(θ + k 2θ 2 − 1 ) + cos(θ + k 2θ 2 − 1 ) yθ h zθ ′ = 2π
}
２.空间曲线形式二 空间曲线由两曲面的直角坐标方程联立表示 即曲线方程为
则曲线上任意一点的切线向量为
ρ D ( F1 F2 ) D( F1 F2 ) D( F1 F2 ) V = , , D( z , x ) D( x , y ) D( y , z )
２
ρ 其中 V 的每一项是一个二阶雅可比行列式
] ]
一般来说 空间曲线相对复杂 变量较多 式子较长 运算繁琐 求解实际问题时要十分细心 此外 针对具体的问题 还要详尽考虑变量和参数的实际意义 取值范围 空间曲线的连续性 可微性等 这样才 会求解正确 参考文献 ［１］ 复旦大学数学系． 数学分析［Ｍ］． 上海 上海科学技术出版社 １９７９ . ［２］ 吴大任． 微分几何［Ｍ］． 北京 人民教育出版社,１９８２． ［３］ 南开大学数学系． 空间解析几何引论［Ｍ］． 北京 人民教育出版社,１９７８．