图形折叠及动点问题的相关计算考情总结：图形折叠及动点问题的相关计算是近五年河南中招考试的重点及必考点，均在填空题第15题进行考查，分值为3分，常见的类型有三角形折叠相关计算、四边形结合的相关计算，常见的设问为探究特殊三角形存在时的线段长、探究动点在特殊位置时的线段长．【方法指导】对于河南中招考试中的几何图形折叠与动点问题的计算，常涉及特殊三角形的探究及动点特 殊位置的探究．1．掌握折叠的性质是解决问题的关键．(1)折叠前后位置的图形全等，对应边、角相等；(2)折痕两边的图形关于折痕对称；(3)折叠前后对应点的连线被折痕垂直平分；2．特殊三角形：(1)直角或等腰三角形的判定：首先从可能满足直角的顶点或腰入手，通过矩形的性质、折叠的性质或结合直角三角形勾股定理直接计算，或设出某条线段长，根据相似、勾股定理等，列方程进行求解；3．河南中招考试中，此类问题的重点为分类讨论，即该题多为多解题，注意等腰三角形的腰，直角三角形的直角顶点，特殊点的位置等．1.（2017年）如图，在Rt △ABC 中，∠A=90°，AB=AC ，BC=+1，点M ，N 分别是边BC ，AB 上的动点，沿MN 所在的直线折叠∠B ，使点B 的对应点B′始终落在边AC 上，若△MB′C 为直角三角形，则BM 的长为 21221 或1 ．【分析】①如图1，当∠B′MC=90°，B′与A 重合，M 是BC 的中点，于是得到结论；②如图2，当∠MB′C=90°，推出△CMB′是等腰直角三角形，得到CM=MB′，列方程即可得到结论． 【解答】解：①如图1，当∠B′MC=90°，B′与A 重合，M 是BC 的中点，∴BM=BC=+； ②如图2，当∠MB′C=90°，∵∠A=90°，AB=AC ，∴∠C=45°，∴△CMB′是等腰直角三角形，∴CM=MB′，∵沿MN 所在的直线折叠∠B ，使点B 的对应点B′，∴BM=B′M ，∴CM=BM ， ∵BC=+1，∴CM +BM=BM +BM=+1， ∴BM=1，综上所述，若△MB′C 为直角三角形，则BM 的长为+或1， 故答案为： +或1．【点评】本题考查了翻折变换﹣折叠问题，等腰直角三角形的性质，正确的作出图形是解题的关键．2.（2016年）如图，已知AD ∥BC ，AB ⊥BC ，AB=3. 点E 为射线BC 上一个动点，连接AE ，将△ABE 沿AE 折叠，点B 落在点B′处，过点B′作AD 的垂线，分别交AD ，BC 于点M ，N ．当点B′为线段MN 的三等分点时，BE 的长为__________223或553________.解：由翻折的性质可得：AB=AB ’ BE=B ’E①当MB ’=2，B ’N=1时，设EN=x 得 B ’E=12+x△B ’EN ∽△AB ’E '''AB E B M B EN = 即3122+=x x 解得2x =54BE=B ’E=154+=553 ②当MB ’=1，B ’N=2时，设EN=x 得 B ’E=222+x△B ’EN ∽△AB ’E '''AB E B M B EN = 即3412+=x x 解得2x =21 BE=B ’E=421+=223 故答案为：223或5533.（2015年）如图，正方形ABCD 的边长是16，点E 在边AB 上，AE ＝3，点F 是边BC 上不与点B ，C 重合的一个动点，把△EBF 沿EF 折叠，点B 落在B'处．若△CDB'恰为等腰三角形，则DB'的长为 16或45 .4．（2014年）如图，矩形ABCD 中，AD=5,AB=7.点E 为DC 上一个动点，把△ADE 沿AE 折叠，当点D 的对应点D /落在∠ABC 的角平分线上时，DE 的长为 53或52.5．（2013年）如图，矩形ABCD 中，AB=3，BC=4，点E 是BC 边上一点，连接AE ，把∠B 沿AE 折叠，使点B 落在点B'处，当△CEB'为直角三角形时，BE 的长为___32或3_______．对应练习 1．如图，在矩形ABCD 中，AB=3，BC=6，点E 是射线BC 上一动点，将△ABE 沿AE 翻折得到△AEF ，延长AF 交CD 的延长线于点G ，当BE=3EC 时，DG= 25或8 .如图①，当E 点在边BC 上时，BE=3EC ，BE=4.5，EC=1.5设AH=HE=x ，FH=4.5-x在Rt △AHF 中：222)5.4(3x x =-+ 解得：x=3.25FH=4.5-3.25 =1.25 ∵△AHF ∽△AGD ，∴DG FH AD AF = DG 25.163= 解得DG=2.5=25 如图②，当E 点在BC 延长线上时，BE=3EC ，BC=6，EC=3设AH=HE=x ，FH=9-x在Rt △AHF 中：222)9(3x x =-+ 解得：x=5FH=9-5=4 ∵△AHF ∽△AGD ，∴DG FH AD AF = DG463= 解得DG=82．如图，在Rt △ABC 中，∠ABC=90°，AC=10，BC=8，AD 是∠BAC 的平分线，点E 是斜边AC 上的一点，且AE=AB 。

若沿△DEC 的一个内角平分线折叠∠C ，使点C 落在DE 所在的直线上，则折痕的长度为 7212或253由题可知：AED ABD ∆≅∆，则∠AED=∠ABC ，BD=DE如图①，若沿∠DEC 的平分线折叠∠C 时，∠DEC=90°，过点M 做MP 丄DE 于点P∵EM 平分∠DEC ，∴∠PEM=45°∴PE=PM ，EC ’=EC=AC-AE=4，设PE=PM=x ，PC ’=4-x∵43''tan tan ====BC AB PC PM C C ，∴434=-x x ，解得712=x ，∴EM=2PM=7212 如图②，若沿∠EDC 的平分线折叠∠C 时，BCAB CE DE C ==tan ，∴DE=BD=3，∴CD=C ’D=5，∴C ’E=2 ∵43'tan 'tan ====BC AB E C EM C C ,∴EM=23，∴DM=22233⎪⎭⎫ ⎝⎛+=2533．(2017·濮阳模拟)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝6，点D是边BC的中点，点E是边AB上的任意一点(点E不与点B重合)，沿DE翻折△DBE使点B落在点F处，连接AF，则线段AF的长取最小值时，BF的长为__________.【分析】由题意得：DF=DB，得到点F在以D为圆心，BD为半径的圆上，作⊙D；连接AD 交⊙D于点F，此时AF值最小，由点D是边BC的中点，得到CD=BD=3；而AC=4，由勾股定理得到AD=5，求得线段AF长的最小值是2，连接BF，过F作FH⊥BC于H，根据相似三角形的性质即可得到结论．【解答】解：由题意得：DF=DB，∴点F在以D为圆心，BD为半径的圆上，作⊙D；连接AD交⊙D于点F，此时AF值最小，∵点D是边BC的中点，∴CD=BD=3；而AC=4，由勾股定理得：AD2=AC2+CD2∴AD=5，而FD=3，∴FA=5﹣3=2，即线段AF长的最小值是2，连接BF，过F作FH⊥BC于H，∵∠ACB=90°，∴FH∥AC，∴△DFH∽△ADC，∴，∴HF=，DH=，∴BH=，∴BF==，故答案为：．【点评】该题主要考查了翻折变换的性质、勾股定理、最值问题等几何知识点及其应用问题；解题的关键是作辅助线，从整体上把握题意，准确找出图形中数量关系．4．(2017·开封模拟)在矩形ABCD 中，AD ＝8，AB ＝6，点E 为射线DC 上一个动点，把△ADE 沿AE 折叠，使点D 落在点F 处，若△CEF 为直角三角形时，DE 的长为__________83或8或32－873__________．【分析】当△CEF 为直角三角形时，有两种情况：①当点F 落在矩形内部时，此时点F 在对角线AC 上，先利用勾股定理计算出矩形对角线，根据折叠的性质得∠AFE ＝∠D ＝90°，设DE ＝x ，则CE ＝6－x ，然后在Rt △CEF 中运用勾股定理列方程即可计算出x ；②当点F 落在AB 边上时，可证得此时四边形ADEF 为正方形，根据正方形的的性质可得DE ＝AD 进而求解5．(2017·新乡模拟)如图，在矩形ABCD 中，AB ＝5，BC ＝3，点E 为射线BC 上一动点，将△ABE 沿AE折叠，得到△AB′E.若B′恰好落在射线CD 上，则BE 的长为___53或15_____.6．(2016·金华)如图，Rt △ABC 纸片中，∠C ＝90°，AC ＝5，BC ＝12，点D 在边BC 上，以AD 为折痕将△ABD 折叠得到△AB′D ，AB ′与边BC 交于点E ．若△DEB′为直角三角形，则BD 的长是__7或326________．图①图② 如图①22213)12()5(=-++x x 解得x=7如图②222)12(8x x -+= 解得x=3267．已知一个矩形纸片OACB，OB=6，OA=11，点P为BC边上的动点（点P不与点B，C重合），经过点O折叠该纸片，得折痕OP和点B′，经过点P再次折叠纸片，使点C落在直线PB′上，得折痕PQ和点C′，当点C′恰好落在边OA上时BP的长为或．【考点】翻折变换（折叠问题）．【分析】设BP=t，AQ=m，首先过点P作PE⊥OA于E，易证△PC′E∽△C′QA，由勾股定理可求得C′Q的长，然后利用相似三角形的对应边成比例得到m=t2﹣t+6，即可求得t的值．【解答】解：过点P作PE⊥OA于E，∴∠PEA=∠QAC′=90°，∴∠PC′E+∠EPC′=90°，∵∠PC′E+∠QC′A=90°，∴∠EPC′=∠QC′A，∴△PC′E∽△C′QA，∴=，设BP=t，AQ=m，∵PC′=PC=11﹣t，PE=OB=6，C′Q=CQ=6﹣m，AC′==，∴=．∵=，∴m=t2﹣t+6，又∵36﹣12m=t2，将m=t2﹣t+6代入36﹣12m=t2，化简得，3t2﹣22t+36=0，解得：t1=，t2=．故答案为：或．。