表面积与体积
、填空题
1. （2010南京三模）已知圆锥的母线长为2,高为3,则该圆锥的
侧面积是________ .
2. 各棱长为1的正三棱锥的全面积为__________ .
3. 长方体的一个顶点上三条棱的长分别为2,4,6,,且它的八个顶
点都在同一个球面上，这个球的表面积为 _________ .
4. 一个正三棱柱的侧面展开图是一个边长为9的正方形，则此三棱柱的体积为________ .
5. 一个圆锥的轴截面是等边三角形，其面积为3,则这个圆锥
的全面积是________ .
6. （2010湖北）圆柱形容器内部盛有高度为8 cm的水，若放入三个相同的球（球的半径与圆柱的底面半径相同）后，水恰好淹没最上面的球（如图所示），则球的半径是 ______ cm.
7. （2010宁•夏）设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱长都为a,顶点都在一个球面上，则该球的表面积为 _________ .
8. 在如图所示的斜截圆柱中，已知圆柱底面的直径为40 cm,母
线长最短50 cm,最长80 cm,则斜截圆柱侧面面积S= ___________ c m2.
9. （2010全国H ）已知正四棱锥SABCD中，SA= 2 3,那么当该棱锥的体积最大时，它的高为_________ .
二、解答题
10. 已知正三棱柱形木桶，底面边长为2,侧棱长为3,这样的桶里能否放进一个体积为n勺小球（桶壁厚度忽略不计）?
11. （2011扬州中学期中试题）如图，某养路处建造圆锥形仓库用于贮藏食盐（供融化高速公路上的积雪之用）.已建的仓库的底面直径为12 m,高4 m,养路处拟建一个更大的圆锥形仓库，以存放更多的食盐，现有两个方案：一是新建仓库的底面直径比原来的大 4 m（高不变），二是高度增加4 m（底面直径不变）.
（1）分别计算按这两个方案所建仓库的体积；
（2）分别计算按这两个方案所建仓库的侧面积；
（3）哪一个方案更经济些？
12. （2009辽宁改编）正六棱锥P-ABCDEF中，G为PB的中点, 求三棱锥D-GAC与三棱锥P-GAC的体积之比.
参考答案
1.2 解析：圆锥的底面半径为r= 22-3=1，贝恒锥的侧面积为S 侧=2 .
2. 3解析：每个正三角形的面积为F，全面积为~^3 4=
3.
3. 56 解析：长方体的外接球的直径即为长方体的体对角线. 设球半径为R,由题意知2R= 22+42+62=2 14,则R= 1
4.所以球的表面积为
S=4 R2=56 .
4. 解析：该正三棱柱的底面边长为3,高为9,则其体积
5. 3 解析：设圆锥的底面半径为r，母线长为I，则l=2r.
由题意知，轴截面面积S^_43(2r)2= .3r2= .3,^ r=1. 故圆锥的全面积
S= r l+ r2=3 .
4
6. 4 解析：设球半径为r，则由3V球+V水=V柱可得3 3 r3+ r2 8= r2
6r，解得r=4.
7.
7 2
7 a2解析：如图，P为三棱柱底面中心，0为球心，易知AP=2
寻申,OP=|a，所以球的半径R满足：臣=吕2+弃=召2, 故s 球=4 R2=3 a2.
7. 2 600 解析：S=(50+80) 20 =2 600 .
8. 2解析：设底面边长为a,则高h= SA2- ja2= 12-丁,
所以体积为VM^h^a212-；a2二
112a4-；a6,设y=12a4-2a6,则y‘ =48a3-3a5,令y‘ =0 解得a=0
或4,易得当a=4时，V最大，此时h=2.
4 1
9. 设球的半径为R,则3 R3=3，解得R3=4，而正三棱柱底面内切圆半径r=f 2=彳，则R6=I6, r6=27，则R6>r6, 即卩R>r，故这样的桶里不能放进一个体积为3的小球.
10. (1)当仓库底面直径比原来大4 m时，底面半径为8 m，高为
1 2256 3
4 m,体积V1=3 824=2 m3;
当仓库的高比原来大4 m时，底面半径为6 m,高为6 m,体积
1
为V2=3 62 8=96 m2.
(2)当仓库底面直径比原来大4 m时，底面半径为8 m,高为4 m,
侧面积为S1= 8 .'82+42=32 '5 m3.
当仓库高度比原来大4 m时，底面半径为6 m,高为8 m,
侧面积为S2= 6 '82+62=60 m2.
…、V1 8 V2 8 口8 8
⑶v斎亦，S2=5,且诙v5.
所以第二个方案更经济一些.
-MS 设正天楼惟F占匸DEF的高为■-则G到平面*3的距离为尿所以：》-去严:占工环又y：・
I: / .i5 I f-.i5 :二沪则厂F a h 5?，芒」■ y .15 尸占：7 H护所以三棱锥D-GA C 肓三裱椎又uk体租之比対?：1- _「。