勾股定理
本章常用知识点：
1、勾股定理：直角三角形两直角边的 等于斜边的 。
如果用字母a,b,c 分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么勾股定理可以表示为： 。
2、勾股数：满足a 2+b 2=c 2的三个 ，称为勾股数。
常见勾股数有： 3、常见平方数：
121112=； 144122=； 169132=； 196142=； 225152=；256162=
289172=； 324182=； 361192=； 400202=；441212=； 484222= 529232=； 576242=； 625252=； 676262=；729272=
专题归类：
专题一、勾股定理与面积
1、、在Rt ▲ABC 中，∠C=︒90,a=5,c=3.，则Rt ▲ABC 的面积S= 。
2、一个直角三角形周长为12米，斜边长为5米，则这个三角形的面积为： 。
3、直线l 上有三个正方形a 、b 、c ，若a 和c 的面积分别为5和11，则b 的面积为
4、在直线l 上依次摆放着七个正方形(如图所示)。
已知斜放置的三个正方形的面积分别是
1、2、3，正放置的四个正方形的面积依次是S 1、S 2、S 3、S 4， 则S 1＋S 2＋S 3＋S 4等于 。
5、三条边分别是5,12,13的三角形的面积是 。
6、如果一个三角形的三边长分别为a,b,c 且满足：a 2
+b 2
+c 2
+50=6a+8b+10c,则这个三角形的面积为 。
7、如图1，︒=∠90ACB ，BC=8,AB=10,CD 是斜边的高，求CD 的长？
l
3
21
S 4
S 3
S 2S 1
7、如下图，在∆ABC 中，︒=∠90ABC ，AB=8cm ，BC=15cm ，P 是到∆ABC 三边距离相等的点，求点P 到∆ABC 三边的距离。
8、有一块土地形状如图3所示，︒=∠=∠90D B ，AB=20米，BC=15米，CD=7
米，请计算这块土地的面积。
（添加辅助线构造直角三角形）
9、如右图：在四边形ABCD 中，AB=2，CD=1，∠A=60°，求四边形ABCD 的面积。
10、如图2-3，把矩形ABCD 沿直线BD 向上折叠，使点C 落
在C ′的位置上，已知AB=•3，BC=7，求：重合部分△EBD 的面积
11、如图①，分别以直角三角形ABC 三边为直径向外作三个半圆，其面积分别用S 1、S 2、S 3表示，则不难证明S 1=S 2+S 3 .
D
C
B
A
图3
B
D C
A
图1
D C
B A A
B
C
P
(1) 如图②，分别以直角三角形ABC 三边为边向外作三个正方形，其面积分别用S 1、S 2、S 3表示，那么S 1、S 2、S 3之间有什么关系？(不必证明)
(2) 如图③，分别以直角三角形ABC 三边为边向外作三个正三角形，其面积分别用S 1、S 2、S 3表示，请你确定S 1、S 2、S 3之间的关系并加以证明；
(3) 若分别以直角三角形ABC 三边为边向外作三个正多边形，其面积分别用S 1、S 2、S 3表示，请你猜想S 1、S 2、S 3之间的关系?.
专题二、勾股定理与折叠
1、如图4，矩形纸片ABCD 的边AB=10cm,BC=6cm,E 为BC 上一点，将矩形纸片沿AE 折叠，点B 恰好落在DC 边上的点G 处，求BE 的长。
2、有一个直角三角形纸片，两直角边的长
AC=6cm,BC=8cm,现将直角边AC 沿AD 对折，使它落在斜边AB 上，且与AE 重合，求CD 的长？
3、如图6，在矩形纸片ABCD 中，
AB=33，BC=6,沿EF 折叠后，点C 落在AB 边上的点P 处，点D 落在Q 点处，AD 与PQ 相交于点H ，∠BPE=︒30
(1) 求BE 、QF 的长
(2) 求四边形QEFH 的面积。
图4 E G C D
B A E D B
C A
图5
P
H
F
Q
D
A
专题三、利用勾股定理列方程求线段的长度
1.△ABC 中，AB=AC=20，BC=32，D 是BC 上一点，且AD ⊥AC ，求BD 的长．
专题四、勾股数的应用
1、下列是勾股数的一组是（ ）
A 4,5,6,
B 5,7,12
C 12,13,15
D 14 ,48,50
2、一个直角三角形的三边长是不大于10的三个连续偶数，则它的周长是 。
3、下列是勾股数的一组是（ ）
A 2,3,4,
B 5,6,7,
C 9,40,41
D 10 24 25
4、观察下面表格中所给出的三个数a,b,c ，其中a,b,c 为正整数，且a<b<c
（1）：试找给他们的共同点，并证明你的结论 （2）：当a=21时，求b,c 的值
,3,4,5 32
+42
=52
5,12,13 52
+122
=132
7,24,25 72
+242
=252
9,40,41 92
+402
=412
…….. …… 21,b,c
212
+b 2
=c 2
专题五、勾股定理及逆定理有关的几何证明
1、 在四边形ABCD 中，∠C 是直角，AB=13,BC=3,CD=4,AD=12 证明：AD ⊥BD
3、在正方形ABCD 中，E 是BC 的中点，F 为CD 上一点
且CF=4
1
CD 试说明▲AEF 是直角三角形。
D
C B
A D
F
A
4、▲ABC三边的长为a,b, c，根据下列条件判断▲ABC的形状：a2+b2+c2+200=12a+16b+20c；
5、试判断，三边长分别为2n2+2n，2n+1，2n2+2n+1（n为正整数）•的三角形是否是直角三角形？
6、如图2-12，△ABC中，∠C=90°，M是BC的中点，MD⊥AB于D．
求证：A D2=AC2+BD2．
专题七、最短路线问题
1、有一正方体盒子，棱长是10cm，在A点处有一只蚂蚁它想到B点处觅食，那么它爬行
的最短路线是多少？
B
A
2、有一个长方体盒子。
它的长是70cm，宽和高都是50cm，在A点处有一只蚂蚁它想到B 点处觅食，那么它爬行的最短路线是多少？
A
B
3、如图所示，一个二级台阶，每一级的长、宽、高分别为60cm 、30cm 、10cm ，A 和B 是这个台阶上两个相对的端点，在A 点处有一只蚂蚁它想到B 点处觅食，那么它爬行的最短路线是多少？
4、王力的家在高楼15层，一天他去买竹竿，如果电梯的长、宽、高分别为1.2m,1.2m,1.3m ，则他所买的竹竿最大长度是多少？
5、如图,已知圆锥的母线AS =10㎝，侧面展开图的夹角是90°，点C 为AS 的中点,A 处有一只蜗牛想吃到C 处的食物,但它不能直接爬到C 处,只能沿圆锥曲面爬行,请你画出蜗牛爬行的最短路程的图形并求出最短路程.
B
A
B。