材料力学公式汇总
一、应力与强度条件
1、拉压 σ max = 2、剪切 τ max = 3、挤压 σ 挤压 =
N A ≤ [σ ]
max
Q ≤ [τ ] A
P挤压 A ≤ σ 挤压
[
]
4、圆轴扭转 τ max = 5、平面弯曲 ① σ max = ② σ t max =
σ c max =
M Wz
T ≤ [τ ] Wt
≤ [σ ]
max
M max y t max ≤ [σ t max ] Iz
M max y c max ≤ [σ cnax ] Iz
max
* ③ τ max = Qmax Sz
Iz ⋅ b
≤ [τ ]
5、斜弯曲
σ max =
Mz My + Wz W y
≤ [σ ]
max
6、拉(压)弯组合 σ max =
∑
∫
∫
φ=
T 180 0 Φ ( /m) = ⋅ L GI p π
弯曲 (1)积分法：
EIy '' ( x) = M ( x)
EIy ' ( x) = EIθ ( x) = ∫ M ( x)dx + C
EIy ( x) = [ M ( x)dx]dx + Cx + D
∫∫
(2)叠加法： f (P1 , P2 ) …= f (P1 ) + f (P2 ) +…， θ (P1 , P2 ) = θ (P1 ) + θ (P2 ) + … (3)基本变形表(注意： 以下各公式均指绝对值，使用时要根据具体情况赋予正负号)
[σ ] = σ b
(2) σ r 3 = σ 1 −σ 3≤ [σ ]
σ r4 =
1 (σ 1 − σ 2 )2 + (σ 2 − σ 3 )2 + (σ 3 −σ 1 )2 ≤ [σ ] 2 ns nb
[
]
[σ ] = σ s
8、平面应力状态下的应变分析 (1) ε α =
εx +ε y
2 +
ε x −ε y
能量方程 ∆T + ∆V = ∆U 冲击系数
Kd = 1 + 1 + 2h (自由落体冲击) ∆ st
Kd =
2 v0 (水平冲击) g∆ st
六、截面几何性质
惯性矩(以下只给出公式，不注明截面的形状)
I P = ρ 2 dA =
∫
πd 4
32
πD 4
32
(1 − α )
4
α =
d D
Iz =
∫
y 2 dA =
γ xy + 2
2
2
tg 2α 0 =
γ xy εx −εy
5
四、压杆稳定
1、临界压力与临界应力公式(若把直杆分为三类) ①细长受压杆
π 2 EI min
λ ≥ λp
Pcr =
(µL )2
π 2E λ2 ②中长受压杆 σ cr =
λ p ≥ λ ≥ λs
σ cr = a − bλ
③短粗受压杆 λ ≤ λs “ σ cr ”= σ s 或
µL
i
σb
2、关于柔度的几个公式
λ=
λp =
λs =
π 2E σp
a −σ s b
3、惯性半径公式
i= Iz A
d ，矩形截面 i min 4
(圆截面 i z =
=
b 12
(b 为短边长度))
6
五、动载荷(只给出冲击问题的有关 公式)
N M + A Wz
≤ [σ ]
max
σ t max =
N Mz + y t max ≤ [σ t ] A Iz
σ c max =
Mz N y c max − ≤ [σ c ] Iz A
注意： “5”与“6”两式仅供参考 7、圆轴弯扭组合： ①第三强度理论
2 2 σ r3 = σ w + 4τ n = 2 2 Mw +Mn
Wz
≤ [σ ]
1
②第四强度理论
σ r4 =
2 σw
2 + 3τ n
=
2 2 + 0.75M n Mw
Wz
≤ [σ ]
二、变形及刚度条件
拉压 扭转
N i Li N ( x)dx = L EA EA Ti Li T (x )dx TL Φ= =Σ = GI p GI p GI p ∆L = NL = EA
σ1 −σ 3
2
5、二向应力状态的广义胡克定律 (1)、表达形式之一(用应力表示应变)
εx =
εy =
1 (σ x − µσ y ) E
1 (σ y − µσ x ) E
εz = −
µ
E
(σ x + σ y )
γ xy =
τ xy
G
(2)、表达形式之二(用应变表示应力)
σx =
E 1− µ 2 (ε x + µε y )
M A
L
P
A
L
q
B
B
A
L
B
θB =
ML EI
θB =
θB =
PL2 2 EI qL3 6 EI
2
fB = fB =
ML2 2 EI PL3 3EI
fB =
qL4 8 EI
B M A
C
A
C
P
q
B
A
C
B
L
L/2
L/2
L
θB =
θA =
ML , 3EI ML 6 EI
θB =θA =
θB =θA =
fc = fc = fc = ML2 16 EI PL3 48 EI
2
γ xy cos 2α − − 2
cos 2α
sin 2α
γ xy γα εx −ε y sin 2α + − = − 2 2 2
εx +ε y ε x −ε y ε ± (2) max = 2 ε min 2
σ x −σ y 2 σ max σ x + σ y 2 = ± ( ) + τ xy σ min 2 2
tg 2α 0 = −2τ xy
σ x −σ y
二向应力状态的极值剪应力
τ max = ( σ x −σ y
2
2 ) 2 + τ xy
注：极值正应力所在截面与极值剪应力所在截面夹角为 45° 三向应力状态的主应力： σ 1 ≥ σ 2 ≥ σ 3 最大剪应力： τ max =
4
σy =
E 1− µ 2
(ε y + µε x )
σz =0
τ xy = Gγ xy
6、三向应力状态的广义胡克定律
εx =
1 σ x − µ σ y +σ z E
[
(
)] (x, y, z )
γ xy =
τ xy
G
(xy, yz, zx )
7、强度理论 (1) σ r1 = σ 1 ≤ [σ 1 ] σ r 2 = σ 1 − µ (σ 2 + σ 3 )
πd 4
64
πD 4
64
(1 − α )
4
α =
bh 3
12
Wz =
Iz πd 3 = 32 y max
πD 3
32
(1 − α )
4
α =
bh 2
6
2、惯性矩平移轴公式
I z = I zc + a 2 A
7
PL2 16 EI qL3 24 EI
qL4 384 EI
(4)弹性变形能(注：以下只给出弯曲构件的变形能,并忽略剪力影响,其 他变形与此相似,不予写出)
U=
M 2L M 2L M 2 (x )dx =Σ i i = 2 EI 2 EI i 2 EI
∫
(5)卡氏第二定理(注：只给出线性弹性弯曲梁的公式)
∆i = M (x ) ∂M (x ) ∂U =Σ dx ∂Pi EI ∂Pi
∫
3
三、应力状态与强度理论
二向应力状态斜截面应力 σ x +σ y σ x −σ y σα = + cos 2α − τ xy sin 2α
2 2
τα =
σ x −σ y
2
sin 2α + τ xy cos 2α
二向应力状态极值正应力及所在截面方位角