a11 a12 a13 a21 a22 a23 a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 a11a23a32 a12a21a33 a13a22a31 a31 a32 a33
n阶行列式的定义
a11 a12 D a21 a22
a1n
a1n
(1)t a1p1 a2 p2
三阶行列式
a11 x1 a12 x2 a13 x3 b1
aa2311
x1 x1
a22 x2 a32 x2
a23 x3 a33 x3
b2 b3
a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33
a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33
第一章
2、 全排列及其逆序数
排列
❖ 全排列 123,231,312 ……,一共 Pn n!
❖ 标准排列 12345(不妨假设是从小到大排列)
❖ 逆序：两个元素的排序相反。 53,21,……
❖ 逆序数：所有逆序的数量总和。321->3
❖ 54321->10 ❖ n,n-1,n-2,…,3,2,1 －>
代数
❖ 多项式方程（超过四次方程没有求根公式）
3x 5 12 x2 2x 15 0 x3 4x2 5x 6 0 x4 5x 1 0
线性代数
❖ 多元一次方程组
a11x1 a12 x2
a21 x1
a22 x2
am1x1 am2 x2
a1n xn b1 a2n xn b2
a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33 a11a22 a33 a12 a23a31 a13a21a32 a11a23a32 a12a21a33 a13a22a31
a11 a12
a1n
a21 a22
a1n
an1 an2
ann
(1)t a1p1 a2 p2 anpn
(a11a22 a12a21 )x1 b1a22 b2a12
x1
b1a22 a11a22
b2a12 a12a21
二阶行列式
行
a11 a21
a12 a22
a11a22 a12a21
a 列
12
元素 行标、列标
克拉默法则（p22）
aa2111xx11
a12 x2 a22 x2
b1 2
1 2 4 D 2 2 1 (4) 32 (6) 24 8 4
3 4 2
11 1 2 3 x 0 4 9 x2 3x2 18 4x 2x2 9x 12 x2 5x 6 (x 2)(x 3) 0
范德蒙德行列式（P18)
推广到n阶
❖ 三阶行列式 ❖ 3个元素相乘 ❖ 不同行、不同列 ❖ 全部可能组合都出现 ❖ 一半正号，一半负号
两个主要概念
行列式
2x 3y 8 3x 4y 5
矩阵（P29）
2
3
3 4
x y
8 5
23 3 4
2 3
3
4
第一章 行列式
1、 二阶与三阶行列式
二阶与三阶行列式
二元线性方程组与二阶行列式
消元法解二元方程组
aa1211xx11
a12 x2 a22 x2
b1 b2
a11a22 a33 a12 a23a31 a13a21a32
a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33
a11a23a32 a12a21a33 a13a22a31
a11 a12 a13 a21 a22 a23 a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 a11a23a32 a12a21a33 a13a22a31 a31 a32 a33
b1
x1
b2 a11
a21
a12 a22 D1 , a12 D a22
a11
x2
a21 a11
a21
b1 b2 D2 a12 D a22
3x 2 y 12
2x y 1
3 2
D
7
21
12 2
D1 1
14 1
3 12
D2 2
31 2 12 21 1
x D1 2 D
y D2 3 D
anpn
an1 an2
ann
t是p1, p2 , , pn的逆序数
3 1 1 2 5 1 3 4 D 2 0 1 1 1 5 3 3
按照定义共有24项，计算比较复杂。 其中出现0,会减少一些单项。
对角行列式
1 2
稀疏行列式
a11
12 n D a21 a22
n
an1 an2
a11 a12
1
D
a22
amn xn bm
鸡兔同笼问题
❖ 鸡和兔子一共有10只 ❖ 一共有28条腿
x y 10 2x 4y 28
a c
b
线性组合(P82)
❖ 能否用两个向量线性组合出另一个向量？
2 3 8
x1
3
x2
4
5
32xx1143xx22
8 5
齐次线性方程组(P25)
❖ 是否存在一个向量和已知的两个向量垂直？
2
n ( n 1)
(1) 2 12 n
0
n
0
a11a22 ann ann
下三角行列式
a1n a2n a11a22 ann ann
上三角行列式
简化行列式
❖ 如何让行列式中尽量多出现0 ❖ 行列式可以什么样的变换？
线性变换
Cn2
❖ 逆序数奇偶性区分排列：奇排序，偶排列。
32514
逆序数＝5
第一章
3、 N阶行列式的定义
观察二阶和三阶行列式定义
❖ 将行标排列成标准顺序 ❖ 观察列标的逆序数以及单项的符号
❖ 二阶：12 偶排列 正号，21 奇排列 负号
❖ 三阶：123、231、312 偶排列 正号 aa121113aa212、22 2a1113a、22 3a2121a2奇1 排列 负号
x
1 4
y
z
2
5
3 6
x 2y 3z 0 4x 5y 6z 0
线性相关(P87)
❖ 三个向量是否能组合出零向量？
1 2 3 0
k1
4
k2
5
k3
6
0
3 6 9 0
k1 2k2 3k3 0 4k1 5k2 6k3 0 3k1 6k2 9k3 0