n!
h
x
k
y
f (x0, y0)
n1
(n
1 1)!
h
x
k
y
f (x0 h, y0 k),
(0 1)
C 记号
:
h
x
k
y
m
f
(x0 , y0 )
m p0
ph pk m p m f (x0 , y0 ) .
m
x pym p
证明：引入函数
F(t) f (x0 ht, y0 kt), (0 t 1).
h
x
k
n
y
f
(x0 , y0 ),
F (n1) ( )
h
x
k
y
n1
f
( x0
h,
y0
k),
把上面各式代入F (1) F (0) F(0) 1 F(0) 2!
1 F (n) (0) 1 F (n1) ( ), (0 1).
n!
(n 1)!
有f
( x0
h, y0
定理 1 设z f ( x, y)在点( x0 , y0 )的某邻域内连续且 有直到 n 1阶的连续偏导数,如果 (x0 h, y0 k) 为此邻
域内任一点,则有
f
( x0
h, y0
k)
f
( x0 ,
y0 )
h
x
k
y
f
(x0, y0)
2
n
1
1
2!
h
x
k
y
f (x0, y0)
4
R3
1
4!
x
x
y
y
f ( x, y)
1 4
(1
(x
x
y)4
y)4
,
(其中0 1).
h
x
k
y
f
( x0
ht,
y0
kt),
F(t) h2 fxx (x0 ht, y0 kt) 2hkfxy (x0 ht, y0 kt) k 2 f yy (x0 ht, y0 kt)
2
=
h
x
k
y
f (x0 ht, y0 kt),
C n1
F (n1) (t)
p0
1 F (n) (0) 1 F (n1) ( ),
n!
(n 1)!
(0 1).
显然 : F (0) f ( x0 , y0 ), F(1) f ( x0 h, y0 k ).
由F(t)的定义及多元复合函数的求导法则,可得
F(t) hfx (x0 ht, y0 kt) kf y (x0 ht, y0 kt)
f p p n1 p h k x y n1
n 1 p n1 p ( x0 ht, y0 kt )
n 1
h
x
k
y
f (x0 ht, y0 kt).
从而
1
F (0)
h
x
k
y
f ( x0, y0 ),
2F (0)hx Nhomakorabeak
y
f ( x0, y0 ),
F (n) (0)
( p 0,1,2,3),
4 f
3!
,
x py4 p (1 x y)4
( p 0,1,2,3,4),
x
x
y
y
f
(0, 0)
xfx (0,0)
yf
y (0,0)
x
y,
2
x
x
y
y
f (0,0)
x2 fxx (0,0) 2xyfxy (0,0) y2 f yy (0,0)
n1
令
Rn
(n
1
1)!
h
x
k
y
f (x0 h, y0 k),
(0 1)
我们称Rn为f (x, y)在点( x0, y0)的拉格朗日余项.
当n 0时,泰勒公式变为: f ( x0 h, y0 k )
f ( x0, y0 ) hf x ( x0 h, y0 k ) kf y ( x0 h, y0 k )
则F(t)是关于t的一元函数,在t=0的邻域内有n+1阶 导数,利用一元函数的麦克劳林公式，得
F (t) F (0) F(0)t 1 F(0)t2 2!
1 F (n) (0)t n 1 F (n1) ( )t n1,
n!
(n 1)!
(0 1).
特别地,当t=1时,有
F (1) F (0) F (0) 1 F (0) 2!
k)
f
(
x0
,
y0
)
h
x
k
y
f
(x0 , y0 )
1 2!
h
x
k
2
y
f
(x0 , y0 )
1 n!
h
x
k
y
n
f
(x0 , y0 )
n1
(n
1
1)!
h
x
k
y
f (x0 h, y0 k),
(0 1)
证明完毕,
上面式子称为二元函数f (x, y)在点(x0, y0)的n阶泰勒公式
(x y)2,
3
x
x
y
y
f (0,0) x3 fxxx (0,0) 3x2 yf xxy (0,0)
3xy2 fxyy (0,0) y3 f yyy (0,0) 2( x y)3,
又 f (0,0) 0,故
ln(1
x
y)
x
y
1(x 2
y)2
1(x 3
y)3
R3 ,
其中
上式称为二元函数的拉格朗日中值公式.
例 1 求函数 f ( x, y) ln(1 x y)的三阶麦
克劳林公式.
解:
因为fx (x,
y)
f y (x, y)
1
1 x
, y
fxx ( x, y)
fxy ( x, y)
f yy ( x, y) (1
1 x
, y)2
3 f
2!
,
x py3 p (1 x y)3
多元函数的泰勒公式
在讨论一元函数的时候,我们给出了一元函数y=f(x)的点x0处的 n阶泰勒公式.
f (x)
f
(x0 )
f (x0)(x x0)
f
(x0 2!
)
(
x
x0
)2
f
(n) (x0 n!
)
(
x
x0
)n
f
(n1)
(
x0 (
n 1!
x
x0
))
(
x
x0
)
n1,
(其中0 1)
对于二元函数z f (x, y),我们也可以给出相应的公式.