部分，所得的就是全体参赛人数，也就是全班学生人数。
40-（48－37）=29人。
【小试牛刀】五年级
96名学生都订了报纸，有
64人订了少年报，有
48人订了小学生报。两种报
纸都订的有多少人？
【解析】用左边的圆表示订少年报的
64人，右边的圆表示订小学报的
48人，中间重叠部分表示两
种报刊都订的人数。显然，两种报刊都订的人数被统计了两次：
数都是满分，那么这个班至少有一门得满分的同学有多少人？
【解析】依题意，被计数的事物有语、数得满分两类，“数学得满分”称为“A类元素”，
“语文得满分”称为“B类元素”，“语、数都是满分”称为“既是A类又是B类的元素”，
“至少有一门得满分的同学”称为“A类和B类元素个数”的总和。
15+12-4=23
【小试牛刀】电视台向100人调查前一天收看电视的情况，有62人看过2频道，34人看过
⑵再“排除”：5687x，这样一来，三个图形的公共部分被全部减掉，因此还要再补
回．
⑶再“包含”：5687x3，这就是三张纸片覆盖的面积．
根据上面的分析得：5687x338，解得：x6．
【例11】★★某校五年级有120名学生，订《故事大王》的有85人，订《儿童漫画》的有90人，
订《优秀作文选》的有70人，同时订《故事大王》和《优秀作文选》的有62人，同时订《儿童漫
【解析】参加足球队的人数
25人为A类元素，参加排球队人数
22人为B类元素，参加游泳
队的人数24
人为C类元素，既是
A类又是B类的为足球排球都参加的
12人，既是B类又C
类的为足球游泳都参加的
9人，既是
C类又是A类的为排球游泳都参加的
8人，三项都参加
的是A类B类C类的总和设为X。注意：这个题说的每人都参加了体育训练队，所以这个班
【小试牛刀】分母是1001的最简分数一共有多少个？
【解析】这一题实际上就是找分子中不能与1001进行约分的数。由于1001=7×11×13，所
以就是找不能被7，11，13整除的数。
由容斥原理知
:在
1—1001中,能被
7或
11或
13整除的数有
(143+91+7)-(13+11+7)+1=281(
个),
从而不能被
7、11
或
13整除的数有
1001-281=720(
个).
也就是说
,分母为
1001
的最简分数有
720个.
【例10】★★ 如下图，在长方形ABCD中，AD=15厘米，AB=8厘米，四边形OEFG的面积是9平方厘米。请问：阴影部分的面积是多少平方厘米？
【解析】 三角形ABD、三角形AFD、三角形ACD都可以AD为底，AB为高，故它们的面积都等于AD
五年级的，已知五、六年级运动员共有
32名，求五、六年级和中低年级运动员各有多少名？
【解析】（24+28-32）÷2=10
【例5】★在100个外语教师中，懂英语的有
75人，懂日语的有45
人，其中必然有既懂英语又懂
日语的老师。问：只懂英语的老师有多少人？
【解析】显然，两种语言都懂的人在懂英语的
75人中统计过一次，在懂日语的
15+13+14-4-6-5+2=29
人，与
实际参加人数不符，所以这个报名表有误。
【小试牛刀】
某校六（
1）班有学生
45人，每人在暑假里都参加体育训练队，其中参加足
球队的有25
人，参加排球队的有
22
人，参加游泳队的有
24
人，足球、排球都参加的有
12
人，足球、游泳都参加的有
9人，排球、游泳都参加的有8
人，问：三项都参加的有多少人？
12人不是五年级的”
可知：12人是四年级和其它年级的。
用16＋12可算出四年级加五年级以及两个其它年级的人数和，
再减去20就得两个其他年级的人数，这样其他年级的人数是：
（16＋12－20）÷2=4人，该校参加
书法比赛获奖的总人数是
4＋20=24人。
【例4】★★五一小学举行小学生田径运动会，其中
24名运动员不是六年级的，28名运动员不是
64＋48=112人，比总人数多
112－
96=16人，这
16人就是两种报刊都订的人数。
【例3】★★
实验小学各年级都参加的一次书法比赛中，四年级与五年级共有
20人获奖，在获奖
者中有16人不是四年级的，有
12人不是五年级的。该校书法比赛获奖的总人数是多少人？
【解析】由“
16人不是四年级的”可知：
16
人是五年级和其他年级的；由“
也作一个记号，然后将标有记号的地方剪断，请问：绳子一共被剪成了多少段？
【解析】240厘米长的绳子每隔4厘米作一个记号，这样一共有：240÷4－1=59个记号；每隔6厘
米作一个记号，这样一共有：240÷6－1=39个记号。而两者每隔12厘米重复一个记号，这样一共
重复了：240÷12－1=19个记号。因此绳子上共有记号数是：59+39－19=79，所以绳子一共被剪成
的总人数既为A类B类和C类的总和。
25+22+24-12-9-8+X=45解得X=3
【例9】★★★从1至1000这1000个自然数中，不能被3、5、7中任何一个自然数整除的数一共
有多少个？
【解析】 能被3整除的自然数有多少个？
1000
÷3=333⋯⋯1
有333个。
能被5整除的自然数有多少个？
1000
画》和《优秀作文选》的有46人，同时订这三种杂志的有21人，此外，还有5名学生没有订任何
杂志，问：恰好只订了《故事大王》和《儿童漫画》的有多少人？
【解析】 设同时订 《故事大王》和 《儿童漫画》 的有X人，有120-85-90-70+62+46+X-21=5
，X=43，
所以恰好只订《故事大王》和《儿童漫画》的有
×AB÷2=15×8÷2=60（平方厘米）。
阴影部分面积=（三角形ABD面积+三角形ACD面积）－
（三角形AFD面积-四边形DEFG面积）
=（60+60）-（60-9）=69（平方厘米）。
【小试牛刀】如图所示，
A、
B、C分别是面积为
12、
28、16的三张不同形状的纸片，它们重叠
在一起，露在外面的总面积为
38．若
A与
B、B与C
的公共部分的面积分别为
8、7，A、B、C
这三张纸片的公共部分为
3．求
A与C
公共部分的面积是多少？
BA
C
【解析】设
A与C公共部分的面积为
x，由包含与排除原理可得：
⑴ 先“包含”：把图形
A、
B、C
的面积相加：
12
2816
56，那么每两个图形的公共
部分的面积都重复计算了
1次，因此要排除掉．
【解析】 从1到60中，4的倍数一共有：60÷4=15个，6的倍数一共有：60÷6=10个，既是4的倍
数又是6的倍数有：60÷12=5个。一次都不转的学生是：60－（15+10－5）=40个，转两次的学生
有5个，所以面向老师的学生还有40+5=45个。
【例7】★★★有一根长是240厘米的绳子，从一端开始每隔4厘米作一个记号，同时每隔6厘米
【解析】19人
【例6】★★在1至1000这1000个自然数中，能被5或11整除的自然数一共有多少个？
【解析】如下图，小圆表示能被11整除的自然数，大圆表示能被5整除的自然数。如果把大圆内的
200个自然数和小圆内90个自然数相加，阴影部分的自然数事实上被加了两次。因此要想求出：能被5或11整除的自然数的个数就应该：
÷35=28⋯⋯20
有28个。
能同时被3、5、7整除的自然数的个数有多少个？
1000÷（3×5×7）=9⋯⋯55有9个。
能被3、5、7中任何一个自然数整除的数一共有：
333+200+142－（66+47+28）+9=457个。
所以不能被3、5、7中任何一个自然数整除的数一共有：1000－543=457
人浇过的花数量都要尽量多，
那么应该可以知道被四个人浇过的花数量最多是
30盆，那么接下来就
变成乙浇了
45盆，丙浇了
50盆，丁浇
60盆了，这时共有
100
30
70盆花， 我们要让这
70盆中恰
好被
3个人浇过的花最少，这就是简单的容斥原理了，恰好被
3个人浇过的花最少有
455060140
15盆．
【小试牛刀】甲、乙、丙同时给100盆花浇水．已知甲浇了78盆，乙浇了68盆，丙浇了58盆，那
43-21=22人。
容斥原理中的最值问题
【例12】★★★ 在阳光明媚的一天下午，甲、乙、丙、丁四人给100盆花浇水， 已知甲浇了30盆，
乙浇了75盆，丙浇了80盆，丁浇了90盆，请问恰好被3个人浇过的花最少有多少盆？
【解析】为了恰好被3个人浇过的花盆数量最少，那么被四个人浇过的花、两个人浇过的花和一个
容斥原理
森林中住着很多动物，据说狮子大王派仙鹤去统计鸟类的种数，蝙蝠跑过去对仙鹤说；“我有
翅膀，我应该是属于鸟类的。”于是仙鹤就把蝙蝠统计到鸟类的种类里去了，结果得出森林中一共有
80种鸟类。狮子大王又派大象去统计野兽的种类数，蝙蝠听说又来统计兽类了，急忙跑过去对大象说；“我没有羽毛，我应该是属于兽类的。 ”于是大象就把蝙蝠统计到兽类的种类里去了，结果统计出森林中一共有60种兽类。最后狮子大王问：“森林中共有鸟类和兽类多少种？”狡猾的狐狸听见