泛函分析单元知识总结与知识应用
数学与计算科学学院数学与应用数学一、单元知识总结
第七章、度量空间和赋范线性空间
§度量空间
§1.1定义：若X是一个非空集合，d :X X R是满足下面条件的实值函数, 对于x,y X，有(1)d(x,y) 0当且仅当X y ；
(2)d(x,y) d(y,x)；
(3)d(x,y) d(x,z) d(y,z)，则称d 为X 上的度量，称(X d)为度量空间。
例：1、设X是一个非空集合，x, y X，当d(x,y) 1,当x y 0,当x=y
则(X d)为离散的度量空间。
2、序列空间S，d(x y) 1i 1 i'i|是度量空间
'i=1 2i 1+| i-i l
3、有界函数全体B(A)，d(x, y) sup|x(t)-y(t)| 是度量空间
t A
4、连续函数C[a,b]，d(x,y) max|x(t)-y(t)|是度量空间
a t b
1
2 o -
5、空间I，d(x,y) [ (y k-x k) ]2是度量空间
i=1
§2度量空间中的极限，稠密集，可分空间
§2.1收敛点列：设焉是(X,d)中点列，如果x X，使lim d(x n,x)=0，n 则称点列x n是(X,d)中的收敛点列。
例：1、x, R n，x n按欧氏距离收敛于x的充要条件为1 i n,各
点列依分量收敛
2、C[a,b]中d(x,y) 0 x k x (一致)
3、可测函数空间M(X)中点列
d(f n, f ) 0 f n f( 依测度)
§3 连续映射
§3.1对TX Q的每个领域U，必有X o的某个领域V是TV U ,其中TV 表示V 在映射T 作用下的像。
§3.2定理1设T是度量空间(X,d)到度量空间d(Y,d)中的映射，那么T在x0 X 连续的充要条件为当x n x0(n ) 时，必有Tx n Tx0(n )
定理2度量空间X到Y中映射T是X上连续映射的充要条件为Y中任意开集M的原像T-1M是X中的开集。
§4 柯西点列和完备度量空间
§4.1定义：设X (X,d)是度量空间，X n是X中点列，如果对0，正整数N N(),使当n, m N时，必有d(x n, X m) ，则称x n是X
中的柯西点列，如果度量空间(X,d)中每个点列都在(x,d)中收敛，那么称(X,d)是完备的度量空间。
例： 1 、C[a,b] 是完备度量空间
2、l 2是完备度量空间
3、R n是完备的度量空间
注意：1、Q全体按绝对值距离构成的空间不完备
2、柯西点列不一定收敛，但是度量空间中每一个收敛点列都是柯西点列
3、实系数多项式全体P[a,b]，P[a,b]作为C[a,b]的子空间不是完备
度量空间
§4.2定理1完备度量空间X的子空间M是完备空间的充要条件是M为X中的
闭子空间。
(即完备性关于闭子空间具有可遗传性)
§5 度量空间的完备化
§5.1定理1 (度量空间的完备化定理)设X (X,d)是度量空间，那么一定存在一完
备度量空间X (X,d)，使X与X的某个稠密子空间W等距同构，并且X在等距同构
意义下是唯一的，即若(X,d)也是一万倍度量空间，且X与X的某个稠密空间等距同构，则(X,d)与(X,d)等距同构。
定理1设X (X,d)是度量空间，那么存在唯一的完备空间
X (X,d)，使X为X的稠密子空间。
§6 压缩映射原理及其应用
§6.1定义：设X是度量空间，T是X到X中的映射，如果，0 1，S.t x,y X，d (Tx,Ty) d (x, y)，则称T 是压缩映射。
§6.2定理1 (压缩映射定理)设X是完备的度量空间，T是X上的压缩映射，那么T
有且只有一个不动点(就是说，方程Tx x，有且只有一个解)。
定理 2 ( 隐函数存在定理 ) 设函数f (x,y) 在带状域a x b, y 中处处连续，且处处有关于y的偏导数f y'(x, y)。
如果常数m和M，满足
0 m f y(x,y) M ,m M，则方程f(x,y) 0 在区间[a,b] 上必有唯一的
连续函数y (x) 作为解：f (x, (x)) 0,x [a,b]
§7 线性空间
§7.1 定义：设X 是一非空集合，在X 中定义了元素的加法运算和实数 (或复数)
与X 中元素的乘法运算，满足下列条件： (一)关于加法：(1)交换律( 2)结合律（3）有零元（4）有负元，（二）关于数乘：（1）分配律（2）结合律（3）x X , 均有1x X，满足这样性质的集合X称为线性空间。
例：1、R n按自身定义的加法和数乘成线性空间
2、C[a,b] 按自身定义的加法和数乘成线性空间
3、空间|p（p 0）按自身定义的加法和数乘成线性空间
§8赋范线性空间和巴拿赫空间
§8.1定义：设X是实（或复）的线性空间，如果对X X，都有确定的一个实
数，记为X与之对应，并且满足：
1°||x|| 0,且||x|| 0等价于x 0；（非负性）
2° || x|| | |||x||其中为任意实（复）数；
3o||x y ||x|| ||y||,x,y X ,（三角不等式）
则称IIx||为向量x的范数，称X按范数II x||成为赋范线性空间
注意：1、任意赋范线性空间都是度量空间
2、赋范线性空间是一种特殊的度量空间
3、||x||是x的连续函数
§8.2重要结论：1、完备的赋范线性空间称为巴拿赫空间。
2、任何有限维赋范线性空间都同维数欧氏空间拓扑同构，相同维数的有限维赋范线性空间彼此拓扑同构。
（即拓扑同构范数等价）
例：1、R n按范数||x|| 7l 1 |2| n |2成巴拿赫空间
2、空间C[a,b]按范数x max | x（t） |成巴拿赫空间
a t b
1
p b _
§8.3定理2 L p[a,b]（p 1）按范数f （ |f（t）|p dt）p成巴拿赫空间
p
a
总而言之，赋范线性空间是一种特殊的度量空间，当它完备时称之为巴拿赫空间。
第八章有界线性算子和连续线性泛函
§有界线性算子和线性泛函的定义
§1.1定义：设X和Y是两个同为实(或复)的线性空间，D是X的线性子空间，T为D到Y中的映射，如果对x, y D及数，有
T(x y) Tx Ty，T( x) Tx，则称T为D到丫中的线性算子，
其D称为T的定义域，记为D(T)，TD称为T的值域，记为R仃)，当T取值于实(或复)数域时，就称T为实(或复)线性泛函。
例：相似算子、微分算子、乘法算子、积分算子都是线性算子
注意：n维线性空间上线性泛函与向量相对应。
定义：T为赋范线性空间X的子空间D(T)到赋范线性空间丫中的线性算子，称||T||sup也以为算子T在D(T)上的范数。
x 0 x
x D(T)
§1.2定理1设T是赋范线性空间X到赋范线性空间Y中的线性算子，则T为有界算子的充分必要条件是T为X上的连续算子。
这一定理说明，对于线性算子连续性与有界性是两个等价概念。
定理2设X是赋范线性空间，f是X上线性泛函，那么f是X上连续泛函的充要条件为f的零空间N( f)是X中的闭子空间。
注意：1、若T有界恫2、II T II IlTxll ||T
llllxll
3、若T有界||TX||||T||||x||
§有界线性算子空间和共轭空间
§2.1定义：设X是赋范线性空间，令X'表示X上连续线性泛函全体所成的空间，
称为X的共轭空间§2.2定理1当丫是巴拿赫空间时，B(X Y)也是巴拿赫空间定理2任何赋范线性空间的共轭空间是巴拿赫空间
例：1、I1的共轭空间为I有界序列全体，即(I1)' I ，但(I )' I1
2、X n X,x X,且x n x, f X',则f (x n) f (x), 其中f连续
3、设A B(Z Y),B B(X Z)，令(AB)x A(Bx)，
x X，则AB为线性算子
4、|p(1 p )的共轭空间为I q，其中丄丄1, (I q)' I p，
p q
当p 2时，(i2)' I2
二、列举泛函分析中的某个知识点在其他学科中的应用
1、Banach不动点原理的应用
a.不动点原理在证明数值分析中的迭代法不动点原理的应用
迭代法不动点不动点原理：设映射。