(7.14)
将式(7.14)代入式(7. 11)，得：
n R R n 2 R R i i f j f j 2 2 yi 2 [ m /( 1 i 1,2,, n j m 2 )] 2 ei i ej j 1 j 1 ej
(7.15)
用
2 C* m j 1
n
Rj Rf
2 ej
2 j 代入式(7.15)有： 2 j /(1 m 2 ) j 1 ej n
i Ri R f yi 2 [ C * ] i 1,2,, n ei i
(7.16)
标准化：
2 wi yi wi zi n n n wi 2 y i wi wi i 1 i 1 i 1
1 2 2 1 2 (e p ) ( ) (ei ) (e) 0 (n ) n i 1 n
2 n
σp 2
σ2(ep) 可分散风险 βp2σm2 系统风险 n
7.2 利用单指数模型构造最佳投资组合
利用拉格朗日乘子法确定n种证券有效组合 W=(w1,w2,…,wn)T时，有下列方程：
证券i 的收益率方差： 证券i ,j的收益之间的协方差：
2 Cov(ri , rj ) Cov(i rm , j rm ) i j m

单指数模型估计
Ri SCL
Rm

单指数模型与风险分散化
Sharpe(1963)首先提出的单指数模型，从另一 个角度说明了资产组合风险分散化。(William F. Sharpe.
n
(7.6)
则资产组合对市场的敏感程度为：
1 n p i n i 1
(资产组合有：
1 n 1 n p i , e p ei n i 1 n i 1
)资产组合方差为：Fra bibliotek2 2 2 2 (ep ) p p M
(7.7)
其中， βp2σm2为系统风险， σ2(ep)为非系统风险。
(7.9)
将式(7.9)代入式(7.8)，有：
2 2 Ri R f yi i2 m yi ei
或
Ri R f yi i
2 ei 2 m n
j 1,i j
2 y j i j m,
n
i 1,2,, n
y ,
j 1 j j
i 1,2,, n
的持有期收益可表示为：
ri = Ri + mi + ei (7.1) 其中，Ri 为证券持有期初的期望收益，mi为证券持 有期间非预期宏观因素对证券收益的影响， ei为非 预期公司特有事件的影响。 mi 和ei均具有零期望值。
由于不同企业对宏观经济因素影响由不同的敏感 性，将mi分解成两个因子： mi= βiF, F为宏观因素 非预测成分， βi为证券对对宏观经济事件的敏感度。
(7.12)
将其中的 i 转换为j, 即：
y
j 1 j j j 1
n
n
Rj Rf
2 ej
2 n 2 j j 2 m yj j j 1 ej j 1 n
(7.13)
求得：
y
j 1 j j j 1
n
n
Rj Rf
2 ej
2 j 2 j /(1 m ) 2 j 1 ej n
(7.10)
求 yi 得：
yi
Ri R f

2 ei
2 n i m 2 yj j, ei j1
i 1,2,, n
(7.11)
式(7.11)两边同乘以βi，并对所有i求和得：
y
i 1 i i i 1
n
n
Ri R f
2 ei
2 n i2 m i 2 y j j i 1 ei j 1 n
则 ri = Ri + βiF + ei (7.2)
式(7.2)为证券收益的单指数模型。(常用Rm代F)
股票持有期的超额收益：
ri-rf = αi + βi(rm-rf) + ei 或 Ri = αi + βiRm + ei
2 2 i2 i2 m ei
(7.3) (7.4) (7.5)
(7.17)
这就是利用单指数模型(SIM)求有效投资组合的方程。
7.3 CAPM与单指数模型
Ri R f yi i2
2 其中， yi ( )wi
j 1,i j
n
y j ij ,
i 1
n
i 1,2,, n
n
(7.8)
, ( R p wi Ri (1 wi ) R f )
i 1
在单指数模型中，有：
2 2 i2 i2 m ei 2 ij i j m
7 单指数与多因素模型
均值方差模型对组合投资收益与风险的关系 及其优化给出了 精确、有效的计算方法，其相 关证券之间的协方差计算量较大，优化过程也 比较复杂。人们希望寻找简明的方法计算、优 化组合。这就是“指数模型”。
7.1 单指数模型

系统风险与公司特有风险
证券收益之间的协方差有正有负(正是因为负的 协方差使组合投资的风险降低)，但相同的经济力量 (因素)通使影响公司的经营状况，如：经济周期、 利率、技术进步、劳动力成本、原材料等。这些因 素的变化将导致证券市场收益率相应发生变化，使 证券收益之间的协方差趋向于正。 如果将这些相关经济因素综合成一个宏观经济 引导棒，对证券市场产生影响。除此以外，证券收 益的剩余不确定性均为公司所特有。则可以把证券
A simplified model of portfolio analysis. Management Science, Jan.,1963)
n个等权重资产组合的超额收益率为
1 n 1 n 1n 1n 1n Rp wi Ri Ri (i i RM ei ) i ( i ) RM ei n i 1 n i 1 n i 1 n i 1 n i 1 i 1