oi
di
oi 1
xi 1
i
ai 1
D-H变换矩阵（后置模式）
s i 0 ai 1 c i c s c c s i 1 i i 1 i i 1 d i s i 1 i 1 Ai s i 1s i s i 1c i c i 1 d i c i 1 0 0 1 0
c s 0
工业机器人的运动学
► 绝对坐标系：建立在工作现场地面的坐标系 ► 机座坐标系：建立在机器人上的坐标系，是
机器人各个活动杆件的公共参考坐标系，又 称为固定坐标系（常作为0号坐标系） ► 杆件坐标系：固结在机器人活动杆件上的坐 标系 ► 末端执行器坐标系：建立在末端执行器上的 坐标系
位置与姿态的表示
位置描述：位置矢量(position vector)
直角坐标系{A}, 位置矢量 Ap 矩阵表示
px A p py pz
zB
zA p p Ap {B} yB xB yA
{A}
oA xA
矢量和表示
A
p px i p y j pz k
►
复合变换
用齐次变换矩阵描述：
B C A
[18-17]
Bp
zB zCzA来自{A}ApyB
{C}
P P C T BP B
A A P CT CP CT CT BP B
Ap B
oB xB
{B}
yC
xA
oA
yA xC
B Px r11 r21 r31 B r r Py C B 12 22 r32 P B , BT Pz r13 r23 r33 1 0 0 0

cos( xB,xx A ) A B x A R x x y A B B R cos( B , y A ) A r13 B B z cos( xB ,xz A ) A r23 r33
cos( y B , x AB x A z B , x A ) y B x A z ) cos( yB y A A ) A cos(y B , yz B y cos( z B , y A ) yB y A , z z B z A z , z ) z cos( B A ) cos( B A
A B
R Rot ( x, ) Rot ( z , ) 0 c s s c 0 0 s c s c 0 0 0 1
1 0 0 c 0 s
s c sc cc ss cs
►
0.866 0.5 0.5 0.866 A p AT Bp B 0 0 0 0
0 12 5 11.83 0 6 9 16.294 1 0 0 0 0 1 1 1
动坐标系在固定坐标系中的齐次变换有2种情况：
坐标变换
► 例题1：坐标系{B}的初始位姿与参考坐标系{A}相同，
坐标系{B} 相对于{A}的zA轴旋转30，再沿{A}的xA轴移 动12，沿{A}的yA轴移动6。求位置矢量ApB和旋转矩 A 阵 B R 。假设p点在坐标系{B}的描述为Bp=[5 9 0]T，求 其在坐标系{A}的描述。 解：
练习
坐标系{B}初始与{A}重合,让{B}绕ZB旋转θ角;然后再 绕 X ' A 转φ角.求把BP变为 A P 的旋转矩阵 A R .
B
A B
R Rot ( z , ) Rot ( x, ) s c 0 0 1 0 0 0 c 1 0 s 0 s c
杆件坐标系的建立
► 机器人的各连杆通过关节连接在一起，关节
有移动副与转动副两种。 ► 从机座到末端执行器，顺序地由低到高依次 为各关节和连杆编号 ► 机座的编号为杆件0，与机座相连的连杆编号 为杆件1，依此类推 ► 机座与连杆1的关节编号为关节1，连杆1与连 杆2的连接关节编号为2，依此类推
连杆坐标系的定义方法
c30 s30 0 0.866 0.5 0 A R R( z , 30 ) s30 c30 0 0.5 0.866 0; B 0 0 0 1 0 1 0.866 0.5 0 5 12 11 .83 A A p B R B p Ap B 0.5 0.866 0 9 6 16 .294 0 0 1 0 0 0 12 A pB 6 0
{B}
R
A B
A
pB

当表示位置时， 当表示方位时，
A BR
I3
nxx o a x p p n A Rxx A xp xx B o a B {B} n o yy a yy yy nyy o a p p 1 {B} 0 {B} n zz o zz a zz zz n o a p p 0 0 0 0 0 0 1 1
第二章 机器人操作手运动学
[18-2]
关节与连杆
关节（Joint）：即运动副，允许机器人手臂各零件之间发生相 对运动的机构。
转动副
Revolute Joint
移动副
Prismatic Joint
连杆（Link）：机器人手臂上被相邻两关节分开的部分。
[18-3]
机器人运动学的研究内容
[18-5]
定义1：如果所有的变换都是相对于固定坐标系中各坐标轴旋 转或平移，则依次左乘，称为绝对变换。
定义2：如果动坐标系相对于自身坐标系的当前坐标轴旋转或 平移，则齐次变换为依次右乘，称为相对变换。
练习
坐标系{B}初始与{A}重合,让{B}绕ZB旋转θ角;然后再 A 绕XA转φ角.求把BP变为AP的旋转矩阵 B R .
axis i link i
yi 1
zi 1
yi ai 1
di
zi
xi
ai
xi 1
i
i 1
（３）Xi-1轴与Xi轴之间的夹角θi，一般称θi为连杆的夹角，或称为两连 杆的关节角。它是从Xi-1到Xi绕Zi-1旋转的角度，右旋为正；
（４）Zi-1轴与Zi轴之间的夹角为αi，αi称为扭转角。它是从Zi-1到Zi绕Xi 旋转的角度，右旋为正。
yB
[18-16]
三个基本的旋转矩阵：
z' θ z y' θ y
x θ x’
x’ x y’ z’ x y z x’ y’ z’ x y
z' θ z
z z'
y' y
x θ x’
x’ y’
y' θy
x x’
z’
y
z
z
复合变换
复合变换：平移和旋转构成复合变换。
如图所示，将坐标系{B}中的点P，在坐标系{A}中表示。
zA
zB
A B
R 表示刚体B相对于坐标系{A}的姿态，
A
xB ,
A
yB ,
A
z B 表示与{B}的坐标轴平行的
三个单位矢量在坐标系{A}中的描述。
A B B R A RT
xB xA
yA yB
[18-9]
位姿表示
位姿描述：相对于参考坐标系{A}，坐标系{B}的原点位置
和坐标轴的方位可以由位置矢量和旋转矩阵描述。
[18-6]
位置与姿态的表示
►
方位描述：利用固定于物体的坐标系描述方位(orientation)。 方位又称为姿态(pose)。 在刚体B上设置直角坐标系{B}，利用与{B}的坐标轴平行 的三个单位矢量表示B的姿态。
A B
R

A
xB
A
yB
r11 r12 A z B r21 r22 r31 r32
D-H方法: 由Denauit和Hartenbery于1956年 提出，它严格定义了每个坐标系的坐标轴， 并对连杆和关节定义了4个参数。
转动关节的D-H坐标系
► 各连杆的坐标系Z轴方向与关节轴线重合（对
于移动关节，Z轴线沿此关节移动方向)。
坐标系的建立原则（后置模式）
► ► ► ►

Ai+
1
►
为右手坐标系 原点Oi：位于Ai轴，公 法线 ai与Ai轴的交点上 Ai-1 Zi轴：与Ai关节轴重合， 指向任意 Xi轴：与公法线ai重合， 指向沿ai由Ai轴线指向 Ai+1轴线 Yi轴：按右手定则
0 1 0 0 A 0 1 , CT 0 0 0 1 0 0
0 0 1 0
PCx A PCy A PCz 1
A
坐标变换
► 例题1：坐标系{B}的初始位姿与参考坐标系{A}相同，
坐标系{B} 相对于{A}的zA轴旋转30，再沿{A}的xA轴移 动12，沿{A}的yA轴移动6。求 AT 。假设p点在坐标系{B} B 的描述为Bp=[5 9 0]T，求其在坐标系{A}的描述。 解：
连杆四参数
（ １ ） ai 是 Zi-1 和 Zi 两 轴线的公垂线长度，一 般 称ai 为 连杆 长度。 它 是从Zi-1 到Zi 沿Xi 测量的 距离；
（２）两公垂线ai-1和ai 之间的距离称为连杆距离 di ，或者称为两连杆的偏 置。它是从Xi-1到Xi 沿Zi1测量的距离；
axis i 1 link i 1
机器人的运动学方程
0
Ti A1 A2
0 1
i 1
Ai
D-H变换矩阵（前置模式）
cos i sin i cos i sin i sin i ai cos i sin cos cos cos sin a sin i i i i i i i i 1 Ai 0 sin i cos i di 0 0 1 0