第一章 多项式
我们目前学习的解析几何，数学分析都是在实数 范围内来讨论问题的。但在高等代数中，通常不做 这样的限制。 在代数中，我们主要考虑一个集合中元素的加减 乘除运算（即代数运算）是否还在这个集合之中 （即运算是否封闭）。 代数运算：设A是一个非空集合，定义在A上的一个代数运算 A A 是指存在一个法则，它使 A 中任意两个元素 例如两个整数的和、差、积仍是整数，但两个 运算封闭：如果集合中任两个元素做某一运算后的结果仍在 都有A中一个元素与之对应。 这个集合中，则称该集合对这个运算封闭。 整数的商就不一定是整数，这证明整数集对加、减、 乘三种运算封闭，但对除法并不封闭；而有理数集 对加、减、乘、除（除数不为0）四种运算都封闭。 同样，实数集、复数集对加、减、乘、除四种运算 都封闭。
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根据数对运算的封闭情况，我们把数集分为两类： 数环和数域。 一、数环 定义1： 设S是由一些复数组成的一个非空集合， 如果对 a, b S ，总有 a b, a b, a b S 则称S是一个数环。 例如： 整数集Z，有理数集Q，实数集R，复数集 C都是数环。 问题： 1、除了Z 、Q、R、C外是否还有其他数环？ 2、有没有最小的数环？ 例1：设a是一个确定的整数。令 S na n Z
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则S是一个数环。 特别，当a=2时，S是全体偶数组成的数环。 S 0，即只包含一个零组成的数 当a=0时， 环，这是最小的数环，称为零环。 问题：3、一个数环是否一定包含0元？ 4、除了零环外，是否还有只含有限个元素的 数环？ 例2：证明 Z i a bi a, b Z , i 2 1 是一个数环。 问题：5、除了定义之外，判断一个集合是数环 有没有其他简单的方法？
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d


问题： 8、一个数域必包含哪两个元素？ 9、最小的数域是什么？ 定理1.1.2：任何数域都包含有理数域Q。 证明：设F是一个数域，则 a F , a 0. 于是 a a 0 F , a a 1 F.
1 1 2,1 2 3,1 3 4,
在R与C之间不可能有别的数域。 设有数域F，使 R F C ，故
x F , x R, x C, 设x=a+bi，且 b 0
第一章 多项式
（若b=0，则 x a R ，矛盾）。
a, b R, a, b F , bi F , bi b i F 可见F=C。
且是三个最重要的数域。
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问题：6、数域与数环之间有什么关系？例2中的数 集是不是数域？ 7、除了Q、R、C外，是否还有其他的数域？ 例3：证明 Q 2 a b 2 a, b Q是一个数域。 证明要点：先证 Q 2 有一个非零元 1 1 0 2 ， 对加、减、乘封闭。再证除法封闭：
§1.1 数环和数域 研究数学问题常常需要明确规定所考虑的数的 范围，学习数学也是如此。 比如，先学习自然数，然后整数，再正有理数、 有理数、实数、复数。再比如讨论多项式的因式分 解、方程的根的情况，都跟数的范围有关。 例如
x 2 在有理数范围内不能分解，在实数范围内
2
就可以分解。 x2 1 0 在实数范围内没有根，在复数范围内就 有根。等等。
设 c d 2 0 c d 2 0（否则当 d 0 c 0 矛盾； 当 d 0 2 c Q ，也矛盾）。于是
ab 2 cd 2 ab 2 a1 b1 2, a1 , b1 Q cd 2 cd 2S1 和 S2 是数环，试问 S1 S2 , S1 S2 是不是数环？若是，给出证明， 若不是举出反例。 若 S1 和 S2 是数域情况又如何？
S1 S2不是数域,反例:S1 a b 2 a, b Q , S2 a b 3 a, b Q




两个数域的并，不一定是数域，能不能找出两 个数域的并是一个数域的充要条件并证明之。 （ F1 , F2 是数域，则F1 F2 是数域的充要条件是 F1 F2 或 F2 F1 ）。
a 对 x Q, x 0, x , a, b Z , b 故 x F , Q F.
, N F
, Z F
0 1 1,0 2 2,0 3 3,
问题：10、在判断一个数集是不是数域时，实际上
第一章 多项式
要检验几种运算？ 定理1.1.3： 设F是一个含有非零数的数集，则F 是一个数域的充要条件是F中任两个数的差与商（除 数不为零）仍属于F。 问题： 11、在Q与R之间是否还有别的数域？在R与C 之间是否有别的数域？ 例：对任意素数P， Q P a b p a, b Q 是一个数域。Q Q P R
第一章 多项式
定理1.1.1：设S是一个非空数集，S是数环的充 要条件是S中任两个数的差和积仍在S中。 二、数域 定义2： 设F是一个含有不等零的数的数集，如果F 中任两个数的和、差、积、商（除数不为0）仍在F中， 则称F是一个数域。 定义 2： 设F是一个数环，如果 ① F内含有一个非 零数； ② 对 a, b F , 且 b 0 ，则 a b F 则称F是一个数域。 例如：有理数集Q，实数集R，复数集C都是数域，