(1) 粘性：均匀流体经过物体边界层时运动变为有旋；
(2) 非正压流场：大气和海洋中的密度分层形成旋涡； (3) 非有势力场：地球哥氏力使气流生成旋涡（旋风）；
(4) 流场的间断（非连续）：曲面激波后形成有旋流动。
4.5.3 Helmholtz定理 - 涡线和涡管保持定理
定理3 如果流体理想、正压、质量力有势，则组成涡线的 流体质点永远组成此涡线。 定理4 如果流体理想、正压、质量力有势，则组成涡管的 流体质点始终组成此涡管，且涡管的强度不随时 间而变。 综上所述，Kelvin、Lagrange及Helmholtz定理全面地 描述了理想正压流体在有势场中运动时涡量演化的规律： 若流体理想、正压、质量力有势，无旋运动永远无旋， 有旋运动永远有旋；涡线、涡面、涡管及涡管强度具有 保持性。若不满足Kelvin任一条件，则运动过程中会产 生新的旋涡，无旋变成有旋,不具备保持性。
v 0 v
2 0
v Ω
磁场势
V ～
电流面密度 δ
～ Ω 涡量 Γ 速度环量
i H dl δ nds
l S
电流强度
i
～
v dl Ω nds
l S
4.5.4 Biot—Savart定理 — 涡线的诱导速度
i dlr dH 4 r 3
直角坐标系中:
zu xw v ds M n y S xv yu vn ds M z S
S
yw zv vn ds M x

4.4 动量方程、动量矩方程及其应用
具体应用动量（矩）方程的步骤
1、建立相应的坐标系 2、选取合适的控制面（控制体）：
V2
x
b0
V0
b2
o

e
Ｐ就是流体对平板的冲击力，方 向与图示方向相同，指向平板。 （6）求冲击力P 的作用点 f 的位置 e ：
P
V1
对坐标原点 o 取矩：
b1V1 bV b1V1 2 2 b2V2 e P 2 2
b0 e ctg 2
（“－”表示 f 在 x 轴正方向）
V S
例1． 如图所示，不可压流体定常流过弯管，截
面各为 A1, A 2 ，求流体作用于弯管上的力 ， R 已知进出口截面流面流动均匀，忽略质量力， 且已知 v1 , A1 , A 2 , , p1 及出口截面方向。
n2
A2
n1
A1 V1 P1
4.4.3 动量、动量矩方程应用

S
v ( v n)ds fdV p n dS
直涡线L在M点处诱导速度的大小
V d l sin sin d 2 4 r 4R 2 L
Γ
1
M R
d
cos 2 cos1 V 4 R
r
1
dl
L

2
诱导速度方向指向纸里。
一般记忆方式采取两内角 余弦之和。
v
(cos 1 cos 2 ) 4R
速度环量导数 加速度环量
• 若理想流体、正压、质量力有势(Kelvin condition)： Dv p D f U (U ) d l d(U ) 0 l l Dt Dt
Kelvin定理的几个推论：
4.5.2 Lagrange 定理 - 涡量保持性（不生不灭）定理 定理2：如果流体理想、正压、质量力有势，若某一时刻流 场无旋，则以后的流动始终无旋。 旋 涡 产生原因
例4
A0 v0
ve
解 •取如图所示的坐 标系和控制体， 并假定受力方向 均沿坐标轴正向 •沿x和y分别列出 动量方程
vr
θ o
y
x
A0 vr
ve
vr (v0 ve )
Fx ( vr A0 )(vr ) ( vr A0 )( vr cos ) 7146 N
Fy ( v r A0 )( 0) ( v r A0 )( v r sin ) 625 N
（2）忽略质量力：f = 0;
（3）进出口流动均匀: V=const.
4.4.2 动量矩方程
动量矩定理：cv内关于某一点动量矩的变化率与单位时间内流 出cs的动量矩之和等于外界作用在cv上的力关于同一点的矩:
(r v) dV (r v) ( v n)ds M S t V
4.4 动量方程、动量矩方程及其应用
Bernoulli方程： 速度分布 动量方程： 动量变化 压力分布 合力。
S V
P
n
4.4.1 动量方程
时刻t，任取一流体系统，体积V(t)、边界面S(t)，外法向量n 。 动量定理：系统内动量的变化率等于作用在系统上的合外力( ma F ）。 系统内流体动量:
（4）Bernoulli方程： （5）连续方程：
P
V1
b0 b1 b2
V0 V1 V2 V0b0 V1b1 V2b2
得
P V b sin 1 cos b1 b0 2 1 cos b2 b0 2
2 0 0
y
b1Leabharlann —— CV内流体动量的变化与单位时间内（净）流出CS的动量之和等于 外界作用在CV和CS上的合力。 定常流动：

S
v ( v n)ds fdV p n dS （控制体）
V S
[流出动量]CS – [流入动量]CS
动量方程反映了物体与 流体间的相互作用，是 积分形式的方程，对理 想和粘性流体都适用。
V S
A
p0 h B p0
例2、 孔口出流 反推力
Given：大容器小孔口，液面高度 h 。 Find: 液箱受到的反推力
图4.3.6 孔口出流
4.4.3 动量、动量矩方程应用
S
v ( v n)ds fdV p n dS
V S
例 3、
大气中二元流冲击平板
b1
Given：b0、V0，a，p0，不计粘性。
外力矩： 定常流动：
M (r f ) dV (r p n ) ds
v S

S
(r v ) ( v n)ds (r f )dV (r p n )ds
v S
[流出动量矩]CS – [流入动量矩]CS = [合外力矩]CV+CS
4.5.4 Biot—Savart定理 — 涡线的诱导速度
半无限长直涡线， 2 0 ， 1 / 2 ：
V 4R
M R

无限长直涡线， 2 0 ， 1 0：
V 2R
v

平面点涡诱导速度场：
vr 0， v 2 r
④
V
wing

bound vortex

trailing vortex

trailing vortex
bae_146
kelvin_helm_rollup
Lord KELVIN (1824 –1907):
Sir William Thompson (Lord Kelvin), born in Belfast, Contributed significantly to the field of hydrodynamics as is evidenced by his 661 papers and 56 patents. When 11 years old, he entered the the University of Glasgow, leaving in 1841 to enter Perterhouse, Cambridge University, to further his education. To meet Biot in Paris. In 1846 he became Professor of Natural Philosophy at Glasgow, a post he held for 53 years. Contributions: Long waves, heat conduction, thermodynamics, submarine cables. Philosophy: ―There cannot be a greater mistake than that of looking superciliously upon practical applications of science‖. Buried: in Westminster Abbey.
i
电流诱导磁场强度 旋涡诱导流体速度
dlr dv 4 r 3
dl
L
Γ
r
M
dv
dH
dv
d l r sin sin (r d / sin ) sin d 3 2 4 4 4R r r
4.5.4 Biot—Savart定理 — 涡线的诱导速度
= [合外力]CV+CS v uds P x s n v vds P y s n s vn wds Pz
4.4.1 动量方程

S
v ( v n)ds fdV p n dS
V S
常用假设：
p n pn （1）壁面无摩擦（理想流体）：

V (t )
vdV
S (t )
系统所受合外力：
P fdV
V (t )
p
n
dS
（系统）
D Dt

V (t )
vdV P
S
V
P n