2006年上海市中学生业余数学学校
预备年级招生考试
2006年上海市中学生业余数学学校
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（10月6日 上午8:309:30-）
本卷满分100分（7'48'410'4100'⨯+⨯+⨯=）
【第1题】
有一列数8，88，888，…，
888
888 个，它们的和的百位数字是_______。
【分析与解】
888
888888888++++ 个的和的百位数字与88286888
888888888-=++++ 个的和的百位数字相同；
86888
8888888888888888676464++++=++⨯= 个；
即86888
888888888++++ 个的和的百位数字是4；
故
888
888888888++++ 个的和的百位数字是4。
【第2题】
若数2006
2006200620061006n
个能被11整除，则n 的最小值是_______。
【分析与解】
因为2006
11|2006200620061006n
个； 所以()()062011|0606060620202010662145n n n n n ++⎛⎫⎛⎫
++++++++-++++++++=+-+=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
个个； n 的最小值是7。
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【第3题】
如图，ABCD ，AMOQ ，MBNO ，ONCP ，QOPD 都是矩形，若矩形QOPD 的面积为251cm ，矩形ONCP 的面积为217cm ，矩形MBNO 的面积为229cm ，则四边形MNPQ 的面积2_______cm 。
O
Q
P
N
M D
C
B
A
【分析与解】
因为()()()()OQ OP ON OM ON OP OQ OM ⨯⨯⨯=⨯⨯⨯； 所以QOPD MBNO ONCP AMOQ S S S S ⨯=⨯矩形矩形矩形矩形；
所以251291787AMOQ QOPD MBNO ONCP S S S S cm =⨯÷=⨯÷=矩形矩形矩形矩形；
所以251172987184ABCD QOPD ONCP MBNO AMOQ S S S S S cm =+++=+++=矩形矩形矩形矩形矩形； 因为PQO PQD S S ∆∆=，PNO PNC S S ∆∆=，MNO MNB S S ∆∆=，QMO QMA S S ∆∆=； 所以22184292MNPQ ABCD S S cm =÷=÷=四边形矩形。
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【第4题】
1到100中，满足既是4的倍数加1，又是5的倍数减1的所有质数的和为_______。
【分析与解】 （方法一）
一个数是5的倍数，则这个数的个位数字是0或5； 一个数是5的倍数减1，则这个数的个位数字是9或4； 质数的个位数字不可能是4；
考虑1~100中，个位数字是9的质数，有19，29，59，79，89； 其中还满足是4的倍数加1的有29，89；
故1到100中，满足既是4的倍数加1，又是5的倍数减1的所有质数的和为2989118+=。
（方法二）
根据剩余定理，既是4的倍数加1，又是5的倍数减1的，一定是20的倍数加9； 1~100中，20的倍数加9的数有9，29，49，69，89； 其中是质数的有29，89；
故1到100中，满足既是4的倍数加1，又是5的倍数减1的所有质数的和为2989118+=。
【第5题】
一个五位数，五个数字各不相同，且是23的倍数，则符合条件的最小的数是_______。
【分析与解】
各位数字都不相同的最小五位数是10234； 102342344422÷= ；
则10234110235+=是23的倍数，且满足五个数字各不相同； 故符合条件的最小的数是10235。
（1023523445=⨯）
【第6题】
一些笔记本分给某班学生，若只平均分给女生，则每位女生可分得15本；若只平均分给男生，则每位男生可分得10本，现将这些笔记本平均分给全班的每位学生，则每人可分得_______本。
【分析与解】
若只平均分给女生，则每位女生可分得15本，则笔记本的本数是15的倍数； 若只平均分给男生，则每位男生可分得10本，则笔记本的本数是10的倍数；
[]10,1530=，笔记本的本数是30的倍数；
故设笔记本有30份；
则女生有30152÷=份，男生有30103÷=份； 学生一共有235+=份； 每人可分得3056÷=本。
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【第7题】
如图是一个五棱柱，共15条棱，如果把不相交的两条棱称为一对，那么图中不相交的棱有_______对。
【分析与解】
五棱柱有15条棱，有10个顶点；
15条棱，不计顺序，任选2条棱，有2
151514
10521
C ⨯=
=⨯对； 10个顶点，每个顶点连着3条棱，每个顶点有2332
321
C ⨯=
=⨯对相交的棱，一共有31030⨯=对相交的棱； 图中不相交的棱有1053075-=对。
【第8题】
在一条长300米的公路一侧竖电线杆，原计划每隔4米竖一根，作好记号后，计划改动为每隔6米竖一根，则要擦掉_______个记号，重新作_______记号。
【分析与解】
300475÷=，原计划要作75176+=个记号； 300650÷=，现计划要作50151+=个记号；
[]4,612=，3001225÷=，其中25126+=个记号不需要改动；
要擦掉762650-=个记号； 重新作512625-=记号。
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【第9题】
将1，2，3，4，5，6六个数字，分别组成两个三位数A =□□□，B =□□□，其中A B >，如果X A B =-，且X 是45的倍数，那么X 的所有可能的值是_______。
【分析与解】
因为4559=⨯；X 是45的倍数； 所以X 是5的倍数且X 是9的倍数。
先考虑X 是5的倍数；
如果一个数是5的倍数，那么这个数的个位数字是0或5； 显然X 的个位数字不可能是0，否则A 和B 的个位数字相同； 故X 的个位数字只可能是5；
两数相减差的个位数字是5，这两个数的个位数字相差5，即个位数字只可能是1和6。
然后考虑X 是9的倍数；
两个数的差是9的倍数，那么这两数除以9的余数相减得到的差是9的倍数； 一个数除以9的余数与这个数各个数位上的数字之和除以9的余数相同； 所以把A 的三个数字加起来，B 的三个数字加起来，相减，差是9的倍数； 因为A 的数字之和+B 的数字之和12345621=+++++=，是奇数； 所以差也是奇数（两个数的和、差的奇偶性相同）； 所以差是9；
根据和差问题可知，和是21，差是9，这两个三位数的数字和分别是()219215+÷=和()21926-÷=； 个位是6的数令外两个数字时4、5，个位是1的数令外两个数字时2、3， 所以A B -有以下4种可能性：
456231225-=，456321135-=，546231315-=，546321225-=； 但差X 的值只有3种可能性225、135、315。
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【第10题】
如图，等边ABC ∆边长为240厘米，用折线CDEFGH 把它分成6个面积相等的小三角形。
那么线段AD 、DF 、FH 、HB 、BG 、GE 、EC 中，最长的一条减去最短的一条的差_______=厘米。
H
G F
E D C
B A
【分析与解】
折线CDEFGH 把它分成6个面积相等的小三角形； 即BGH FGH EFG DEF CDE ACD S S S S S S ∆∆∆∆∆∆=====； 因为:1:5ADC BDC S S ∆∆=；所以:1:5AD BD =，1240406AD =⨯
=厘米，5
2402006
BD =⨯=厘米； 因为:1:4CED BED S S ∆∆=；所以:1:4CE BE =，1240485CE =⨯=厘米，4
2401925BE =⨯=厘米；
因为:1:3DFE BFE S S ∆∆=；所以:1:3DF BF =，1200504DF =⨯
=厘米，3
2001504
BF =⨯=厘米； 因为:1:2EGF BGF S S ∆∆=；所以:1:2EG BG =，1192643EG =⨯=厘米，2
1921283BG =⨯=厘米；
因为:1:1FHG BHG S S ∆∆=；所以:1:1FH BH =，1
150752
FH BH ==
⨯=厘米； 所以其中最长的是BG ，最短的是AD ，差1284088=-=厘米。