6. 通 解 与 特 解 把 含 有n 个 独 立 的 任 意 常 数 c1 , c 2 , , c n 的 解
y x, c1, c2 , , cn
称 为n 阶 方 程 ( 4 ) 的 通 解 .
<>
要 确 定 微分 方 程一 个 特定 的 解，必 须满 足 一定 的 条件 ，这就 是 所
谓定解条件.
定解条件
初始条件

边界条件
定解问题 泛定方程 + 定解条件 .
而定解问题分为初值问题、边值问题等.
一. 一阶微分方程的初等解法
1. 变量分离方程
dy f x y … … … … … … … … … … … … … … … … … … … ( 5 )
dx
<>
如果y

0
，则 dy
y

f
xdx

dy
y


f xdx
C
如果y0 ，使y0 0 ，则可知y y0 也是(5)的解.
例 1. 解方程dy x
dx y
解为x2 y2 C 例 2. 解方程dy y2 cos x
dx
<>
并求满足初始条件y x0 1 的特解.
下，它在垂直于地面的平面上沿圆周运动，如图所示，试确定摆的运
动方程.
<>
取 反 时 针 运 动 方 向 作 为 摆 与 铅 垂 线 所 成 角 的 正 方 向 ， 质 点 M 沿 圆 周 的 切 向 速 度v 可 以 表 为 v l d . 作 用 于 质 点M 的
dt
重 力 mg 将 摆 拉 回 平 衡 位 置 A ， 把 重 力 mg 分 解 为 两 个 分 量MQ
dx
若Qx 0 ，(6)变为dy Pxy ，称为一阶齐线性微分方程.
dx
由分离变量法，得通解为y Ce Pxdx . 现来求(6)的通解，用常数变易法.
令y Cxe Pxdx为(6)的解. 则dy dCx e Pxdx CxPxe Pxdx
个以上
<>
5. 解 和 隐 式 解
若 函 数 y x 代 入 方 程 (4) 后 ， 能 使 它 变 为 恒 等 式 ， 则 称 函 数 y x为 方 程 (4)的 解 . 若 关 系 式 x, y 0 决 定 的 隐 函 数 y x 是 (4) 的 解 ， 则 称 x, y 0 为 方 程 (4)的 隐 式 解 .
通解为y 1 .
sin x C
特解为y 1 .
1sinx
2. 可化为变量分离方程的类型.
①
齐次方程dy g y .
dx x
作变量变换u y
x
即y ux,于是
dy xduu dx dx
<>
3. 一阶线性微分方程
dy Pxy Qx………………………………………(6)
6. 通 解 与 特 解 把 含 有n 个 独 立 的 任 意 常 数 c1 , c 2 , , c n 的 解
y x, c1, c2 , , cn
称 为n 阶 方 程 ( 4 ) 的 通 解 .
<>
4. 线 性 与 非 线 性
如
果
方
程
(4)的
左
端
为
y
及
dy dx
,
,
dny dx n
dt 2
l
<>
如 果 只 研 究 摆 的 微 小 振 动 ， 即 当 比 较
小 时 ， 我 们 可 以 取 sin 的 近 似 值 代 入 方 程 ( 2 ) ， 即 sin .
故微小振动时摆的运动方程为
d 2 g 0 … … … … … … … … … … … … … … … … …
§1 微分方程简介 §2 传染病模型 §3 战争模型 §4 最优捕鱼问题
§1 微分方程简介
一. 引例 1.固定指数的人口增长模型（马尔萨斯人口模型）
假设单位时间内人口增长量与当时的人口数xt 成正比，比例系 数为r .（ xt 为时刻t 的人口数）
又设 xt （较大的数）为连续可微函数，且xt t 0 x0 .任给t 时刻
不是线性方程的方程称为非线性方程.
(1)、 (3)是 线 性 的 ， (2)是 非 线 性 的 .
<>
5. 解 和 隐 式 解
若 函 数 y x 代 入 方 程 (4) 后 ， 能 使 它 变 为 恒 等 式 ， 则 称 函 数 y x为 方 程 (4)的 解 . 若 关 系 式 x, y 0 决 定 的 隐 函 数 y x 是 (4) 的 解 ， 则 称 x, y 0 为 方 程 (4)的 隐 式 解 .
的 一 次 有 理 整 式 ， 那 么 (4)
为 n 阶线性微分方程.一般n 阶线性微分方程具有如下形式：
dny dx n
d n1 y
a1 x dx n 1



a n1 x
dy dx
an xy

f x
这 里 a1x ,… ,an x .f x
x
是
的已知函数.
及时间增量t ，则
xt t xt rxt t
<>
两边除以t ，并令 t 0 ，得
dxt

dt

rxt …………………………………………………(1)
x0 x0
2 . 数学摆（单摆）问题
数学摆是系于一根长度为l 的线上而质量为m 的质点M ，在重力作用
和 MP ， 第 二 个 分 量 （ 力 ） MP 的 数 值 等 于 mg sin ， 由 牛 顿 第
二定律
F ma , 得 m dv mg sin
dt
即 ml d 2 mg sin

dt 2
d 2 g sin … … … … … … ( 2 )
dt 2 l
… … … (3)
一. 微分方程的基本概念
1 . 微 分 方 程 ：联 系 着 自 变 量 、未 知 函 数 以 及 它 的 导 数 的 关
系 式 称 为 微 分 方 程 .例 如 (1)、 (2)、 (3).
微分方程
பைடு நூலகம்
常微分方程 方程中自

偏微分方程 方程中自
变量的个数只有一个 变量的个数为两个或两