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高考数学平面向量及其应用专题复习(专题训练)百度文库

一、多选题1.题目文件丢失!2.在ABC 中,内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,ABC 的面积为S .下列ABC 有关的结论,正确的是( ) A .cos cos 0A B +>B .若a b >,则cos2cos2A B <C .24sin sin sin S R A B C =,其中R 为ABC 外接圆的半径D .若ABC 为非直角三角形,则tan tan tan tan tan tan A B C A B C ++= 3.已知点()4,6A ,33,2B ⎛⎫- ⎪⎝⎭,与向量AB 平行的向量的坐标可以是( ) A .14,33⎛⎫⎪⎝⎭B .97,2⎛⎫ ⎪⎝⎭C .14,33⎛⎫-- ⎪⎝⎭D .(7,9)4.设a ,b ,c 是任意的非零向量,且它们相互不共线,给出下列选项,其中正确的有( )A .()a cbc a b c ⋅-⋅=-⋅ B .()()b c a c a b ⋅⋅-⋅⋅与c 不垂直 C .a b a b -<-D .()()22323294a b a b a b +⋅-=-5.已知ABC ∆是边长为2的等边三角形,D ,E 分别是AC 、AB 上的两点,且AE EB =,2AD DC =,BD 与CE 交于点O ,则下列说法正确的是( )A .1AB CE ⋅=- B .0OE OC +=C .32OA OB OC ++=D .ED 在BC 方向上的投影为766.以下关于正弦定理或其变形正确的有( ) A .在ABC 中,a :b :c =sin A :sin B :sin C B .在ABC 中,若sin 2A =sin 2B ,则a =bC .在ABC 中,若sin A >sin B ,则A >B ,若A >B ,则sin A >sin B 都成立D .在ABC 中,sin sin sin +=+a b cA B C7.在△ABC 中,角A ,B ,C 所对边分别为a ,b ,c ,b =15,c =16,B =60°,则a 边为( )A .B .C .8D .8.下列关于平面向量的说法中正确的是( )A .已知A 、B 、C 是平面中三点,若,AB AC 不能构成该平面的基底,则A 、B 、C 共线 B .若a b b c ⋅=⋅且0b ≠,则a c =C .若点G 为ΔABC 的重心,则0GA GB GC ++=D .已知()12a =-,,()2,b λ=,若a ,b 的夹角为锐角,则实数λ的取值范围为1λ< 9.在下列结论中,正确的有( )A .若两个向量相等,则它们的起点和终点分别重合B .平行向量又称为共线向量C .两个相等向量的模相等D .两个相反向量的模相等10.设a 、b 、c 是任意的非零向量,则下列结论不正确的是( ) A .00a ⋅= B .()()a b c a b c ⋅⋅=⋅⋅ C .0a b a b ⋅=⇒⊥D .()()22b b a b a a +-=⋅-11.(多选)若1e ,2e 是平面α内两个不共线的向量,则下列说法不正确的是( ) A .()12,e e λμλμ+∈R 可以表示平面α内的所有向量B .对于平面α中的任一向量a ,使12a e e λμ=+的实数λ,μ有无数多对C .1λ,1μ,2λ,2μ均为实数,且向量1112e e λμ+与2212e e λμ+共线,则有且只有一个实数λ,使()11122122e e e e λμλλμ+=+D .若存在实数λ,μ,使120e e λμ+=,则0λμ==12.如图所示,梯形ABCD 为等腰梯形,则下列关系正确的是( )A .AB DC =B .AB DC =C .AB DC >D .BC AD ∥13.已知实数m ,n 和向量a ,b ,下列说法中正确的是( ) A .()m a b ma mb -=- B .()m n a ma na -=-C .若ma mb =,则a b =D .若()0ma na a =≠,则m n =14.对于ABC ∆,有如下判断,其中正确的判断是( ) A .若sin 2sin 2A B =,则ABC ∆为等腰三角形 B .若A B >,则sin sin A B >C .若8a =,10c =,60B ︒=,则符合条件的ABC ∆有两个D .若222sin sin sin A B C +<,则ABC ∆是钝角三角形15.题目文件丢失!二、平面向量及其应用选择题16.在ABC 中,三内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,面积为S ,若()22S a b c +=+,则cos A 等于( )A .45B .45-C .1517D .1517-17.设θ为两个非零向量,a b →→的夹角,已知对任意实数t ,||b t a →→-的最小值为1,则( )A .若θ确定,则||a →唯一确定 B .若θ确定,则||b →唯一确定 C .若||a →确定,则θ唯一确定D .若||b →确定,则θ唯一确定18.在△ABC 中,内角A 、B 、C 所对边分别为a 、b 、c ,若2cosA 3cosB 5cosCa b c==,则∠B 的大小是( ) A .12πB .6π C .4π D .3π 19.在ABC 中,A ∠,B ,C ∠所对的边分别为a ,b ,c ,过C 作直线CD 与边AB 相交于点D ,90C ∠=︒,1CD =.当直线CD AB ⊥时,+a b 值为M ;当D 为边AB 的中点时,+a b 值为N .当a ,b 变化时,记{}max ,m M N =(即M 、N 中较大的数),则m 的最小值为( )A .MB .NC .D .120.在三角形ABC 中,若三个内角,,A B C 的对边分别是,,a b c ,1a =,c =45B =︒,则sin C 的值等于( )A .441B .45C .425D 21.在ABC 中,若()()0CA CB CA CB +⋅-=,则ABC 为( ) A .正三角形B .直角三角形C .等腰三角形D .无法确定22.已知20a b =≠,且关于x 的方程20x a x a b ++⋅=有实根,则a 与b 的夹角的取值范围是( ) A .06,π⎡⎤⎢⎥⎣⎦B .,3ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦C .2,33ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦D .,6ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦23.在ABC ∆中,若cos cos a A b B =,则ABC 的形状一定是( ) A .等腰直角三角形 B .直角三角形 C .等腰三角形D .等腰或直角三角形24.若△ABC 中,2sin()sin()sin A B A B C +-=,则此三角形的形状是( ) A .直角三角形B .等腰三角形C .等边三角形D .等腰直角三角形25.如图所示,在山底A 处测得山顶B 的仰角为45︒,沿倾斜角为30的山坡向山顶走1000米到达S 点,又测得山顶的仰角为75︒,则山高BC =( )A .500米B .1500米C .1200米D .1000米26.题目文件丢失!27.在ABC 中,内角,,A B C 的对边分别是,,a b c ,若222sin sin sin 0A B C +-=,2220a c b ac +--=,2c =,则a =( )A .3B .1C .12D .3 28.如图,四边形ABCD 是平行四边形,E 是BC 的中点,点F 在线段CD 上,且2CF DF =,AE 与BF 交于点P ,若AP AE λ=,则λ=( )A .34B .58C .38D .2329.已知圆C 的方程为22(1)(1)2x y -+-=,点P 在直线3y x上,线段AB 为圆C的直径,则PA PB ⋅的最小值为() A .2B .52C .3D .7230.若两个非零向量a ,b 满足2a b a b b +=-=,则向量a b +与a 的夹角为( ) A .3π B .23π C .56π D .6π 31.在梯形ABCD 中,//AD BC ,90ABC ∠=︒,2AB BC ==,1AD =,则BD AC ⋅=( )A .2-B .3-C .2D .532.已知,m n 是两个非零向量,且1m =,2||3m n +=,则||+||m n n +的最大值为 A 5B 10C .4D .533.如图,在ABC 中,14AD AB →→=,12AE AC →→=,BE 和CD 相交于点F ,则向量AF →等于( )A .1277AB AC →→+B .1377AB AC →→+C .121414AB AC →→+ D .131414AB AC →→+ 34.已知ABC 中,1,3,30a b A ︒===,则B 等于( )A .60°B .120°C .30°或150°D .60°或120°35.已知ABC 的面积为30,且12cos 13A =,则AB AC ⋅等于( ) A .72B .144C .150D .300【参考答案】***试卷处理标记,请不要删除一、多选题 1.无 2.ABD 【分析】对于A ,利用及余弦函数单调性,即可判断;对于B ,由,可得,根据二倍角的余弦公式,即可判断;对于C ,利用和正弦定理化简,即可判断;对于D ,利用两角和的正切公式进行运算,即可判断. 【 解析:ABD 【分析】对于A ,利用A B π+<及余弦函数单调性,即可判断;对于B ,由a b >,可得sin sin A B >,根据二倍角的余弦公式,即可判断;对于C ,利用in 12s S ab C =和正弦定理化简,即可判断;对于D ,利用两角和的正切公式进行运算,即可判断. 【详解】对于A ,∵A B π+<,∴0A B ππ<<-<,根据余弦函数单调性,可得()cos cos cos A B B π>-=-,∴cos cos 0A B +>,故A 正确;对于B ,若sin sin a b A B >⇔>,则22sin sin A B >,则2212sin 12sin A B -<-,即cos2cos2A B <,故B 正确;对于C ,211sin 2sin 2sin sin 2sin sin sin 22S ab C R A R B C R A B C ==⋅⋅⋅=,故C 错误;对于D ,在ABC 为非直角三角形,()tan tan tan tan 1tan tan B CA B C B C+=-+=--⋅,则tan tan tan tan tan tan A B C A B C ++=,故D 正确. 故选:ABD. 【点睛】本题主要考查了正弦定理在解三角形中的应用,三角函数基本性质.考查了推理和归纳的能力.3.ABC 【分析】先求出向量的坐标,然后由向量平行的条件对选项进行逐一判断即可. 【详解】 由点,,则选项A . ,所以A 选项正确. 选项B. ,所以B 选项正确. 选项C . ,所以C 选解析:ABC 【分析】先求出向量AB 的坐标,然后由向量平行的条件对选项进行逐一判断即可. 【详解】由点()4,6A ,33,2B ⎛⎫- ⎪⎝⎭,则972,AB ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭选项A . 91473023⎛⎫-⨯--⨯= ⎪⎝⎭,所以A 选项正确. 选项B. 9977022⎛⎫-⨯--⨯= ⎪⎝⎭,所以B 选项正确. 选项C . ()91473023⎛⎫⎛⎫-⨯---⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,所以C 选项正确. 选项D. 979702⎛⎫-⨯--⨯≠ ⎪⎝⎭,所以选项D 不正确 故选:ABC 【点睛】本题考查根据点的坐标求向量的坐标,根据向量的坐标判断向量是否平行,属于基础题.4.ACD 【分析】A ,由平面向量数量积的运算律可判断;B ,由平面向量垂直的条件、数量积的运算律可判断;C ,由与不共线,可分两类考虑:①若,则显然成立;②若,由、、构成三角形的三边可进行判断;D ,由平解析:ACD 【分析】A ,由平面向量数量积的运算律可判断;B ,由平面向量垂直的条件、数量积的运算律可判断;C ,由a 与b 不共线,可分两类考虑:①若a b ≤,则a b a b -<-显然成立;②若a b >,由a 、b 、a b -构成三角形的三边可进行判断;D ,由平面向量的混合运算将式子进行展开即可得解. 【详解】选项A ,由平面向量数量积的运算律,可知A 正确; 选项B ,()()()()()()()()0b c a c a b c b c a c c a b c b c a c b c c a ⎡⎤⋅⋅-⋅⋅⋅=⋅⋅⋅-⋅⋅⋅=⋅⋅⋅-⋅⋅⋅=⎣⎦, ∴()()b c a c a b ⋅⋅-⋅⋅与c 垂直,即B 错误;选项C ,∵a 与b 不共线,∴若a b ≤,则a b a b -<-显然成立;若a b >,由平面向量的减法法则可作出如下图形:由三角形两边之差小于第三边,可得a b a b -<-.故C 正确;选项D ,()()22223232966494a b a b a a b a b b a b +⋅-=-⋅+⋅-=-,即D 正确. 故选:ACD 【点睛】本小题主要考查向量运算,属于中档题.【分析】以E 为原点建立平面直角坐标系,写出所有点的坐标求解即可. 【详解】由题E 为AB 中点,则,以E 为原点,EA ,EC 分别为x 轴,y 轴正方向建立平面直角坐标系,如图所示: 所以,,解析:BCD 【分析】以E 为原点建立平面直角坐标系,写出所有点的坐标求解即可. 【详解】由题E 为AB 中点,则CE AB ⊥,以E 为原点,EA ,EC 分别为x 轴,y 轴正方向建立平面直角坐标系,如图所示:所以,123(0,0),(1,0),(1,0),3),()3E A B C D -, 设123(0,),3),(1,),(,33O y y BO y DO y ∈==--,BO ∥DO , 所以3133y y -=-,解得:3y =, 即O 是CE 中点,0OE OC +=,所以选项B 正确;32OA OB OC OE OC OE ++=+==,所以选项C 正确; 因为CE AB ⊥,0AB CE ⋅=,所以选项A 错误;123(3ED =,(1,3)BC =,ED 在BC 方向上的投影为127326BC BCED +⋅==,所以选项D 正确.【点睛】此题考查平面向量基本运算,可以选取一组基底表示出所求向量的关系,对于特殊图形可以考虑在适当位置建立直角坐标系,利于计算.6.ACD 【分析】对于A ,由正弦定理得a :b :c =sinA :sinB :sinC ,故该选项正确; 对于B ,由题得A =B 或2A+2B =π,即得a =b 或a2+b2=c2,故该选项错误; 对于C ,在ABC 中解析:ACD 【分析】对于A ,由正弦定理得a :b :c =sin A :sin B :sin C ,故该选项正确; 对于B ,由题得A =B 或2A +2B =π,即得a =b 或a 2+b 2=c 2,故该选项错误; 对于C ,在ABC 中,由正弦定理可得A >B 是sin A >sin B 的充要条件,故该选项正确; 对于D ,由正弦定理可得右边=2sin 2sin 2sin sin R B R CR B C+=+=左边,故该选项正确.【详解】对于A ,由正弦定理2sin sin sin a b cR A B C===,可得a :b :c =2R sin A :2R sin B :2R sin C =sin A :sin B :sin C ,故该选项正确;对于B ,由sin2A =sin2B ,可得A =B 或2A +2B =π,即A =B 或A +B =2π,∴a =b 或a 2+b 2=c 2,故该选项错误;对于C ,在ABC 中,由正弦定理可得sin A >sin B ⇔a >b ⇔A >B ,因此A >B 是sin A >sin B 的充要条件,故该选项正确;对于D ,由正弦定理2sin sin sin a b cR A B C===,可得右边=2sin 2sin 2sin sin sin sin b c R B R CR B C B C ++==++=左边,故该选项正确.故选:ACD. 【点睛】本题主要考查正弦定理及其变形,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.7.AC 【分析】利用余弦定理:即可求解. 【详解】在△ABC 中,b =15,c =16,B =60°,由余弦定理:, 即,解得. 故选:AC 【点睛】本题考查了余弦定理解三角形,需熟记定理,考查了基解析:AC 【分析】利用余弦定理:2222cos b a c ac B =+-即可求解. 【详解】在△ABC 中,b =15,c =16,B =60°, 由余弦定理:2222cos b a c ac B =+-,即216310a a -+=,解得8a = 故选:AC 【点睛】本题考查了余弦定理解三角形,需熟记定理,考查了基本运算,属于基础题.8.AC 【分析】根据平面向量基本定理判断A ;由数量积的性质可判断;由向量的中点表示和三角形的重心性质可判断,由数量积及平面向量共线定理判断D . 【详解】解:因为不能构成该平面的基底,所以,又有公共解析:AC 【分析】根据平面向量基本定理判断A ;由数量积的性质可判断B ;由向量的中点表示和三角形的重心性质可判断C ,由数量积及平面向量共线定理判断D . 【详解】解:因为,AB AC 不能构成该平面的基底,所以//AB AC ,又,AB AC 有公共点A ,所以A 、B 、C 共线,即A 正确;由平面向量的数量积可知,若a b b c =,则||||cos ,||||cos ,a b a b b c b c <>=<>,所以||cos ,||cos ,a a b c b c <>=<>,无法得到a c =,即B 不正确;设线段AB 的中点为M ,若点G 为ABC ∆的重心,则2GA GB GM +=,而2GC GM =-,所以0GA GB GC ++=,即C 正确;()12a =-,,()2,b λ=,若a ,b 的夹角为锐角,则220a b λ=⋅->解得1λ<,且a与b 不能共线,即4λ≠-,所以()(),44,1λ∈-∞--,故D 错误;故选:AC . 【点睛】本题考查向量共线定理和向量数量积的性质和向量的加减运算,属于中档题.9.BCD【分析】根据向量的定义和性质依次判断每个选项得到答案.【详解】A. 若两个向量相等,它们的起点和终点不一定不重合,故错误;B. 平行向量又称为共线向量,根据平行向量定义知正确解析:BCD【分析】根据向量的定义和性质依次判断每个选项得到答案.【详解】A. 若两个向量相等,它们的起点和终点不一定不重合,故错误;B. 平行向量又称为共线向量,根据平行向量定义知正确;C. 相等向量方向相同,模相等,正确;D. 相反向量方向相反,模相等,故正确;故选:BCD【点睛】本题考查了向量的定义和性质,属于简单题.10.AB【分析】利用平面向量数量积的定义和运算律可判断各选项的正误.【详解】对于A 选项,,A 选项错误;对于B 选项,表示与共线的向量,表示与共线的向量,但与不一定共线,B 选项错误;对于C 选项,解析:AB【分析】利用平面向量数量积的定义和运算律可判断各选项的正误.【详解】对于A 选项,00a ⋅=,A 选项错误;对于B 选项,()a b c ⋅⋅表示与c 共线的向量,()a b c ⋅⋅表示与a 共线的向量,但a 与c 不一定共线,B 选项错误;对于C 选项,0a b a b ⋅=⇒⊥,C 选项正确;对于D 选项,()()2222a b a b a b a b +⋅-=-=-,D 选项正确.故选:AB.本题考查平面向量数量积的应用,考查平面向量数量积的定义与运算律,考查计算能力与推理能力,属于基础题.11.BC【分析】由平面向量基本定理可判断出A 、B 、D 正确与否,由向量共线定理可判断出C 正确与否.【详解】由平面向量基本定理,可知A ,D 说法正确,B 说法不正确,对于C ,当时,这样的有无数个,故C解析:BC【分析】由平面向量基本定理可判断出A 、B 、D 正确与否,由向量共线定理可判断出C 正确与否.【详解】由平面向量基本定理,可知A ,D 说法正确,B 说法不正确,对于C ,当12120λλμμ====时,这样的λ有无数个,故C 说法不正确.故选:BC【点睛】若1e ,2e 是平面α内两个不共线的向量,则对于平面α中的任一向量a ,使12a e e λμ=+的实数λ,μ存在且唯一.12.BD【分析】根据向量的模及共线向量的定义解答即可;【详解】解:与显然方向不相同,故不是相等向量,故错误;与表示等腰梯形两腰的长度,所以,故正确;向量无法比较大小,只能比较向量模的大小,故解析:BD【分析】根据向量的模及共线向量的定义解答即可;【详解】解:AB 与DC 显然方向不相同,故不是相等向量,故A 错误; AB 与DC 表示等腰梯形两腰的长度,所以AB DC =,故B 正确;向量无法比较大小,只能比较向量模的大小,故C 错误;等腰梯形的上底BC 与下底AD 平行,所以//BC AD ,故D 正确;故选:BD .本题考查共线向量、相等向量、向量的模的理解,属于基础题.13.ABD【分析】根据向量数乘运算判断AB 选项的正确性,通过的特殊情况判断C 选项的正确性,根据向量运算判断D 选项的正确性.【详解】根据向量数乘的运算可知A 和B 正确;C 中,当时,,但与不一定相等, 解析:ABD【分析】根据向量数乘运算判断AB 选项的正确性,通过m 的特殊情况判断C 选项的正确性,根据向量运算判断D 选项的正确性.【详解】根据向量数乘的运算可知A 和B 正确;C 中,当0m =时,0ma mb ==,但a 与b 不一定相等,故C 不正确;D 中,由ma na =,得()0m n a -=,因为0a ≠,所以m n =,故D 正确.故选:ABD【点睛】本小题主要考查向量数乘运算,属于基础题.14.BD【分析】对于A ,根据三角函数的倍角公式进行判断;对于B ,根据正弦定理即可判断证明;对于C ,利用余弦定理即可得解;对于D ,根据正弦定理去判断即可.【详解】在中,对于A ,若,则或,当A =解析:BD【分析】对于A ,根据三角函数的倍角公式进行判断;对于B ,根据正弦定理即可判断证明;对于C ,利用余弦定理即可得解;对于D ,根据正弦定理去判断即可.【详解】在ABC ∆中,对于A ,若sin 2sin 2A B =,则22A B =或22A B π+=,当A =B 时,△ABC 为等腰三角形; 当2A B π+=时,△ABC 为直角三角形,故A 不正确,对于B ,若A B >,则a b >,由正弦定理得sin sin a b A B=,即sin sin A B >成立.故B 正确;对于C ,由余弦定理可得:b C 错误; 对于D ,若222sin sin sin A B C +<,由正弦定理得222a b c +<,∴222cos 02a b c C ab+-=<,∴C 为钝角,∴ABC ∆是钝角三角形,故D 正确; 综上,正确的判断为选项B 和D .故选:BD .【点睛】本题只有考查了正弦定理,余弦定理,三角函数的二倍角公式在解三角形中的综合应用,考查了转化思想,属于中档题.15.无二、平面向量及其应用选择题16.D【分析】由22()S a b c +=+,利用余弦定理、三角形的面积计算公式可得:1sin 2cos 22bc A bc A bc =+,化为sin 4cos 4A A -=,与22sin cos 1A A +=.解出即可.【详解】解:22()S a b c +=+,2222S b c a bc ∴=+-+, ∴1sin 2cos 22bc A bc A bc =+, 所以sin 4cos 4A A -=,因为22sin cos 1A A +=. 解得15cos 17A =-或cos 1A =-. 因为1cos 1A -<<,所以cos 1A =-舍去.15cos 17A ∴=-. 故选:D .【点睛】本题考查了余弦定理、三角形的面积计算公式、同角三角函数基本关系式,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.17.B【分析】2222||2b ta b a bt a t -=-⋅+,令222()2f t b a bt a t =-⋅+,易得2cos b a b t a a θ⋅==时,222min 244()()14a b a b f t a-⋅==,即222||cos 1b b θ-=,结合选项即可得到答案. 【详解】 2222||2b ta b a bt a t -=-⋅+,令222()2f t b a bt a t =-⋅+,因为t R ∈, 所以当2cos b a b t a aθ⋅==时,222min 244()()4a b a b f t a -⋅=,又||b t a →→-的最小值为1, 所以2||b ta -的最小值也为1,即222min 244()()14a b a b f t a -⋅==,222||cos 1b b θ-=, 所以22||sin 1(0)b b θ=≠,所以1sin b θ=,故若θ确定,则||b →唯一确定. 故选:B【点睛】本题考查向量的数量积、向量的模的计算,涉及到二次函数的最值,考查学生的数学运算求解能力,是一道容易题.18.D【分析】根据正弦定理,可得111tan tan tan 235A B C ==,令tan 2A k =,tan 3B k =,tan 5C k =,再结合公式tan tan()B A C =-+,列出关于k 的方程,解出k 后,进而可得到B 的大小.【详解】解:∵2cosA 3cosB 5cosC a b c ==, ∴sin sin sin 2cos 3cos 5cos A B C A B C ==, 即111tan tan tan 235A B C ==, 令tan 2A k =,tan 3B k =,tan 5C k =,显然0k >, ∵tan tan tan tan()tan tan 1A C B A C A C +=-+=-,∴273101k k k =-,解得3k =,∴tan 3B k ==B =3π. 故选:D .【点睛】本题考查正弦定理边角互化的应用,考查两角和的正切,用k 表示tan 2A k =,tan 3B k =,tan 5C k =是本题关键19.C【分析】当直线CD AB ⊥时,由直角三角形的勾股定理和等面积法,可得出222+=a b c , 1ab c =⨯,再由基本不等式可得出2c ≥,从而得出M 的范围.当D 为边AB 的中点时,由直角三角形的斜边上的中线为斜边的一半和勾股定理可得2c =,2224a b c +==,由基本不等式可得出2ab ≤,从而得出N 的范围,可得选项.【详解】当直线CD AB ⊥时,因为90C ∠=︒,1CD =,所以222+=a b c ,由等面积法得1ab c =⨯,因为有222a b ab +≥(当且仅当a b =时,取等号),即()22>0c c c ≥,所以2c ≥,所以+M a b ===≥(当且仅当a b =时,取等号), 当D 为边AB 的中点时,因为90C ∠=︒,1CD =,所以2c =,2224a b c +==, 因为有222a b ab +≥(当且仅当a b =时,取等号),即42ab ≥,所以2ab ≤,所以+N a b ===≤(当且仅当a b =时,取等号),当a ,b 变化时,记{}max ,m M N =(即M 、N 中较大的数),则m 的最小值为(此时,a b =);故选:C.【点睛】本题考查解直角三角形中的边的关系和基本不等式的应用,以及考查对新定义的理解,属于中档题.20.B【分析】在三角形ABC 中,根据1a =,c =45B =︒,利用余弦定理求得边b ,再利用正弦定理sin sin b c B C=求解. 【详解】在三角形ABC 中, 1a =,c =45B =︒,由余弦定理得:2222cos b a c ac B =+-,13221252=+-⨯⨯=,所以5b=,由正弦定理得:sin sinb cB C=,所以2sin42sin55c BCb===,故选:B【点睛】本题主要考查余弦定理和正弦定理的应用,所以考查了运算求解的能力,属于中档题. 21.C【分析】利用平面向量的数量积的运算性质可得(CA CB+2222)()0CA CB CA CB b a-=-=-=,从而可得答案.【详解】解:在ABC中,(CA CB+2222)()0CA CB CA CB b a-=-=-=,a b∴=,ABC∴为等腰三角形,故选:C.【点睛】本题考查三角形形状的判断,考查向量的数量积的运算性质,属于中档题.22.B【分析】根据方程有实根得到24cos 0a a bθ∆=-≥,利用向量模长关系可求得1cos2θ≤,根据向量夹角所处的范围可求得结果.【详解】关于x 的方程20x a x a b++⋅=有实根240a a b∴∆=-⋅≥设a与b的夹角为θ,则24cos0a a bθ-≥又20a b=≠24cos0b bθ∴-≥1cos2θ∴≤又[]0,θπ∈,3πθπ⎡⎤∴∈⎢⎥⎣⎦本题正确选项:B【点睛】本题考查向量夹角的求解问题,关键是能够利用方程有实根得到关于夹角余弦值的取值范围,从而根据向量夹角范围得到结果.23.D【分析】首先利用正弦定理求得sin 2sin 2A B =,进一步利用三角函数的诱导公式求出结果.【详解】解:已知:cos cos a A b B =,利用正弦定理:2sin sin sin a b c R A B C===, 解得:sin cos sin cos A A B B =,即sin 2sin 2A B =, 所以:22A B =或21802A B =︒-,解得:A B =或90A B +=︒所以:ABC 的形状一定是等腰或直角三角形故选:D .【点评】本题考查的知识要点:正弦定理的应用,三角函数的诱导公式的应用,属于中档题. 24.A【分析】已知等式左边第一项利用诱导公式化简,根据sin C 不为0得到sin()sin A B C -=,再利用两角和与差的正弦函数公式化简.【详解】ABC ∆中,sin()sin A B C +=,∴已知等式变形得:2sin sin()sin C A B C -=,即sin()sin sin()A B C A B -==+, 整理得:sin cos cos sin sin cos cos sin A B A B A B A B -=+,即2cos sin 0A B =, cos 0A ∴=或sin 0B =(不合题意,舍去),0A π<<90A ∴=︒,则此三角形形状为直角三角形.故选:A【点睛】此题考查了正弦定理,以及三角函数中的恒等变换应用,熟练掌握公式是解本题的关键,属于中档题.25.D【分析】作出图形,过点S 作SE AC ⊥于E ,SH AB ⊥于H ,依题意可求得SE 在BDS ∆中利用正弦定理可求BD 的长,从而可得山顶高BC .【详解】解:依题意,过S 点作SE AC ⊥于E ,SH AB ⊥于H ,30SAE ∠=︒,1000AS =米,sin30500CD SE AS ∴==︒=米,依题意,在Rt HAS ∆中,453015HAS ∠=︒-︒=︒,sin15HS AS ∴=︒,在Rt BHS ∆中,30HBS ∠=︒,22000sin15BS HS ∴==︒,在Rt BSD ∆中,sin75BD BS =︒2000sin15sin75=︒︒2000sin15cos15=︒︒1000sin30=⨯︒500=米, 1000BC BD CD ∴=+=米,故选:D .【点睛】本题主要考查正弦定理的应用,考查作图与计算的能力,属于中档题.26.无27.B【分析】先根据正弦定理化边得C 为直角,再根据余弦定理得角B ,最后根据直角三角形解得a.【详解】因为222sin sin sin 0A B C +-=,所以222b c 0a +-=, C 为直角,因为2220a c b ac +--=,所以2221cosB ,223a c b B ac π+-===, 因此13a ccosπ==选B.【点睛】 解三角形问题,多为边和角的求值问题,这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系,从而达到解决问题的目的.28.A【分析】设出()()()11AP mAB m AF mAB m AD DF =+-=+-+,求得()2113m AP AB m AD +=+-,再利用向量相等求解即可. 【详解】 连接AF ,因为B ,P ,F 三点共线,所以()()()11AP mAB m AF mAB m AD DF =+-=+-+,因为2CF DF =,所以1133DF DC AB ==, 所以()2113m AP AB m AD +=+-. 因为E 是BC 的中点, 所以1122AE AB BC AB AD =+=+. 因为AP AE λ=, 所以()211132m AB m AD AB AD λ+⎛⎫+-=+ ⎪⎝⎭, 则213112m m λλ+⎧=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩, 解得34λ=. 故选:A【点睛】本题主要考查平面向量的线性运算,考查了平面向量基本定理的应用,属于基础题. 29.B【分析】将PA PB ⋅转化为2||2PC -,利用圆心到直线的距离求得||PC 的取值范围求得PA PB ⋅的最小值.【详解】 ()()()()PA PB PC CA PC CB PC CA PC CA ⋅=+⋅+=+⋅-2222||||||22PC CA PC =-=-≥-52=.故选B. 【点睛】本小题主要考查向量的线性运算,考查点到直线距离公式,考查化归与转化的数学思想方法,属于中档题.30.D【分析】根据条件利用平方法得到向量数量积的数值,结合向量数量积与夹角之间的关系进行求解即可.【详解】∵非零向量a ,b 满足2a b a b b +=-=,∴平方得22a b a b +=-,即2222||2||2a b a b a b a b ++⋅=+-⋅ ,则0a b ⋅=,由2a b b +=, 平方得222||24||a b a b b ++⋅=,得223a b =,即3a b =则2a b b +=,22|3|a b a a a b b +⋅=+⋅=(),则向量a b +与a 的夹角的余弦值23||323a b a b cos a b a b bθ+⋅===+⋅⋅(), ,0.6πθπθ≤≤∴=, ,故选D.【点睛】本题主要考查向量数量积的应用,求解向量数量积的大小是解决本题的关键. 31.A【解析】分析:根据向量加法、减法法则将BD AC ⋅转化为()()AD AB AB BC -+即可求解. 详解:由题可得:BD AC ⋅=()()AD AB AB BC -+=2211()()24222BC AB AB BC BC AB -+=-=-=-,故选A. 点睛:考查向量的线性运算,将问题转化为已知的信息()()AD AB AB BC -+是解题关键. 32.B【分析】先根据向量的模将||+||m n n +转化为关于||n 的函数,再利用导数求极值,研究单调性,进而得最大值.【详解】 ()22224419||=1||3m m n m nn m n =+∴+=+⋅+=,,,22n m n +⋅=,()2222=52-m n m m n n n ∴+=++⋅,25||+||m n n n n ∴+=-+,令()(0x x f x x n =<≤=,则()'1f x =,令()'0f x =,得x =∴当0x << ()'0f x >x << ()'0f x <, ∴当2x =时, ()f x 取得最大值2f ⎛= ⎝⎭,故选B. 【点睛】 向量的两个作用:①载体作用:关键是利用向量的意义、作用脱去“向量外衣”,转化为我们熟悉的数学问题;②工具作用:利用向量可解决一些垂直、平行、夹角与距离问题. 33.B【分析】过点F 分别作//FM AB 交AC 于点M ,作//FN AC 交AB 于点N ,由平行线得出三角形相似,得出线段成比例,结合14AD AB →→=,12AE AC →→=,证出37AM AC →→=和17AN AB →→=,最后由平面向量基本定理和向量的加法法则,即可得AB →和AC →表示AF →. 【详解】 解:过点F 分别作//FM AB 交AC 于点M ,作//FN AC 交AB 于点N , 已知14AD AB →→=,12AE AC →→=, //FN AC ,则MFE ABE △△和MCF ACD △△, 则:MF ME AB AE =且MF MC AD AC=, 即:2MF ME AB AC =且14MF MC AC AB =,所以124MC MF ME AB AC AC ==, 则:8MC ME =,所以37AM AC =, 解得:37AM AC →→=, 同理//FM AB ,NBF ABE △△和NFD ACD △△, 则:NF NB AE AB =且NF ND AC AD=, 即:12NF NB AB AC =且14NF ND AC AB =,所以142NB NF ND AC AB AB ==, 则:8NB ND =,即()8AB AN AD AN -=-, 所以184AB AN AB AN ⎛⎫-=-⎪⎝⎭,即28AB AN AB AN -=-, 得:17AN AB =, 解得:17AN AB →→=, 四边形AMFN 是平行四边形,∴由向量加法法则,得AF AN AM →→→=+, 所以1377AF AB AC →→→=+.故选:B.【点睛】本题考查平面向量的线性运算、向量的加法法则和平面向量的基本定理,考查运算能力. 34.D【分析】 由正弦定理可得,3sin 2B =,根据b a >,可得B 角的大小. 【详解】 由正弦定理可得,sin 3sin b A B a ==, 又0,,π<<>∴>B b a B A ,60︒∴=B 或120B =.故选:D【点睛】本题考查了正弦定理的应用,考查了运算求解能力和逻辑推理能力,属于基础题目. 35.B【分析】首先利用三角函数的平方关系得到sin A ,然后根据平面向量的数量积公式得到所求.【详解】解:因为ABC 的面积为30,且12cos 13A =,所以5sin 13A =,所以1||||sin 302AB AC A ⨯=,得到||||626AB AC ⨯=⨯, 所以12|||||cos 62614413AB AC AB AC A =⨯=⨯⨯=; 故选:B .【点睛】 本题考查了平面向量的数量积以及三角形的面积;属于中档题.。

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