二次根式1、 算术平方根的定义：一般地，如果一个正数x 的平方等于a ，那么这个正数x 叫做a 的算术平方根。

2、 解不等式（组）：尤其注意当不等式两边乘(除以)同一个负数，不等号方向改变。

如：-2x ＞4，不等式两边同除以-2得x ＜-2。

不等式组的解集是两个不等式解集的公共部分。

如3、 分母≠04、 绝对值：｜a ｜=a （a ≥0）；｜a ｜= - a （a ＜0）一、 二次根式的概念一般地，我们把形如 a （a ≥0）的式子叫做二次根式，“ ”称为二次根号。

★ 正确理解二次根式的概念，要把握以下五点：（1） 二次根式的概念是从形式上界定的，必须含有二次根号“ ”，“ ”的根指数为2，即“2 ”，我们一般省略根指数2，写作“ ”。

如25 可以写作 5 。

（2） 二次根式中的被开方数既可以是一个数，也可以是一个含有字母的式子。

（3） 式子 a 表示非负数a 的算术平方根，因此a ≥0， a ≥0。

其中a ≥0是 a 有意义的前提条件。

（4） 在具体问题中，如果已知二次根式 a ，就意味着给出了a ≥0这一隐含条件。

（5） 形如b a （a ≥0）的式子也是二次根式，b 与 a 是相乘的关系。

要注意当b 是分数时不能写成带分数，例如83 2 可写成8 2 3 ，但不能写成2 232 。

练习：一、判断下列各式，哪些是二次根式？（1） 6 ； （2）-18 ； （3）x 2+1 ；（4）3-8 ； （5）x 2+2x+1 ； （6）3｜x ｜ ； （7）1+2x （x ＜- 12 ）二、当x 取什么实数时，下列各式有意义？（1）2-5x ； （2）4x 2+4x+1二、二次根式的性质：练习：计算（1）（35 ）2 (2) （4 3 ）2 (3) （-62) （4）- （- 18）2 （6）x 2-2x+1 + x 2-6x+9 （1≤x ≤3） ★（ a ）2（a ≥0）与a 2 的区别与联系：三、代数式用基本运算符号（基本运算包括加、减、乘、除、乘方和开方）把数或表示数的字母连接起来的式子叫代数式。

例：3，x ，x+y ，3x （x ≥0），-ab ，s t（t ≠0，x 3都是代数式 注（1）单独一个数或字母也是代数式；（2）代数式中不能含有关系符号（＞，＜，=等）（1） 将两个代数式用关系符号（＞，＜，=等）连接起来的式子叫关系式，方程和不等式都是关系式。

如2x+3＞3x-5是关系式。

练习：下列式子：①0；②π2③2+x=4；④x-23 ＞1；⑤2a+3b ；⑥2-x (x ≤2)，其中是代数式的有（ ）列代数式的常用方法：（1） 直接法：根据问题的语言叙述直接写出代数式。

（2） 公式法：根据公式列出代数式。

（3）探究规律法：将蕴含在一组数或一组图形中的排列规律用代数式表示出来。

练习：列代数式（1）把a本书平均分给若干名学生，若每人分5本，还余3本，则学生人数为（）（2）若圆A的半径r是圆B的半径的5倍，则这两个圆的周长之和为（）典型例题剖析题型一：二次根式有意义的条件当x取何值时，下列各式在实数围有意义？（1）x+5-3-2x；（2）2x-11-x；（3）x-3+3+x题型二：利用二次根式的非负性化简求值已知a2+b-2=4a-4，求ab的值。

题型三：二次根式非负性的简单应用已知实数x，y满足｜x-4｜+y-8=0，则以x，y的值为两边长的等腰三角形的周长是（）题型四：利用a2 =｜a｜并结合数轴化简求值已知实数a，b在数轴上的位置如图所示。

试化简：a2+b2+（a-b）2+（b-1）2-（a-1）2题型五：a2 =｜a｜与三角形三边关系的综合应用在△ABC中，a，b，c是三角形的三边长，化简（a-b+c）2-2｜c-a-b｜题型六：逆用（ a ）2 = a（a≥0）在实数围分解因式在实数围分解因式：（1）x4-4；（2）x4-4x2+4二次根式的乘除1、单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。

2、单项式与单项式相除，把系数与同底数幂分别相除，作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式。

一、 二次根式的乘法法则a ．b =ab （a ≥0，b ≥0）即：二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变（1） 进行二次根式的乘法运算时，一定不能忽略其被开方数a ，b 均为非负数这一条件。

（2） 推广① a ． b ． c =abc （a ≥0，b ≥0，c ≥0）②a b ．c d =ac bd ③乘法交换律和结合律在二次根式的乘法中任然可应用。

练习：（1）28 ．7 ；（2）14 ．256 ；（3）4xy ．1y(4)627 ．（-2 3 ） 二、二次根式乘法法则的逆用ab = a ． b （a ≥0，b ≥0）即积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根的积 利用这个性质可以把二次根式化简，在进行二次根式的化简运算时，先将被开方数进行因式分解或因数分解，然后再将能开得尽方的因式或因数开方后移到根号外。

注：（1）公式中的a ，b 可以是数，也可以是代数式，但必须满足a ≥0，b ≥0，实际上，公式中的a ，b 是限制公式右边的，对公式的左边，只要ab ≥0即可，如（-4）×（-9） ≠-4 ．-9 。

（2）在本章中如果没有特别说明，所有的字母都表示正数。

推广：abcd = a ． b ． c ． d （a ≥0，b ≥0，c ≥0，d ≥0）练习：化简 （1）300 ； （2）（-14）×（-112） ；（3）200a 5b 4c 3 ； （4）132-122 ； （5）16x 4+32x 2三、二次根式的除法法则 a b =a b （a ≥0，b ＞0）即：二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变。

注：（1）a 必须是非负数，b 必须是正数，式子才成立。

若a ，b 都是负数，虽然a b＞0，a b 有意义，但 a ， b 在实数围无意义；若b=0，则a b无意义。

（2）如果被开方数是带分数，应先将其化成假分数，如414 必须先化成174，以免出现414 = 4 ×14这样的错误。

（3）在二次根式的计算中，最后结果应不含能开得尽方的因数或因式，同时分母中不含二次根式。

推广：（m a ）÷（n b ）=（m ÷n ）×（ a ÷ b ），其中a ≥0，b ＞0，n ≠0。

练习：计算（1）48 ÷ 6 ； （2）-27 ÷（310 38 ）； （3）a 4b4a 3b ÷（-a 4b ； （4）72a 2b 6b 四、二次根式除法法则的逆用a b = a b（a ≥0，b ＞0）即商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根。

注：公式中的a ，b 可以是数，也可以是代数式，但必须满足a ≥0，b ＞0。

公式中的a ，b 是限制公式右边的，对公式的左边，只要a b≥0即可。

例如计算-3-4 ，不能写为-3-4 =-3 -4 ，而应写为-3-4 =34 = 3 4 = 3 2 。

利用这个公式，同样可以达到化简二次根式的目的，在化简被开方数是分数（或分式）的二次根式时，先将其化为 a b（a ≥0，b ＞0）的形式，然后利用分式的基本性质，分子和分母同乘上一个适当的因式，化去分母中的根号即可。

当被开方数是带分数时，应先把它化成假分数。

练习：化简（1）549 ； （2）81×125144 ； （3）121b 516a 2五、最简二次根式的概念★满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次根式。

（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。

★对于最简二次根式的概念我们可作如下解释：（1）被开方数中不含分母，因此被开方数是整数或整式；（2）被开方数中每一个因数或因式的指数都是1。

★化简二次根式的一般方法（1）0.3 ；（2）25xy ；（3）yx；（4）x3；（5）a3+6a2+9a ；（6）2（x2-y2）；（7）32n ；（8）23拓展：分母有理化：二次根式的除法可以用化去分母中的根号的方法来进行，这种化去分母中根号的变形叫做分母有理化。

分母有理化的方法是根据分式的基本性质，将分子和分母都乘上分母的有理化因式．．．．．（两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含二次根式，就说这两个代数式互为有理化因式），化去分母中的根号。

分母有理化因式不唯一，但以运算最简便为宜。

常用的有理化因式有：a与a；a+b与a+b；a-b与a-b；a+b与a-b；a b+c d与a b-c d等。

练习：把下列二次根式化成最简二次根式：（1）240；（2）1.25；（3）1720；（4）75a2b典型例题剖析题型一：二次根式乘除法法则成立的条件（1）若x+3．x-3=（x+3）（x-3）成立，则（）A、x≥3B、x≥-3C、-3≤x≤3D、x为任意实数（2）如果xx-6=xx-6成立，那么（）A、x≥6B、0≤x≤6C、x≥0D、x＞6 题型二：二次根式的化简化简：（1）12ab ．9a 34； （2）412-402； （3）x 4+x 2 题型三：二次根式的乘法混合运算计算：（1）212÷328×（-5227）；（2）2a 2-b 26a ×a 3a+6b ÷（45a-b b ） 题型四：利用二次根式的性质把根号外的非负因数（式）移到根号把下列各式中根号外的因数（式）移到根号： （1）535；（2）-32；（3）-2a 12a ；（4）-a - 1a ；（5）x y x（x ＜0，y ＜0） 题型五：二次根式的大小比较比较大小：（1）72与311； （2）-211与-3 5二次根式的加减1、同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项，例如3ab 与-4ab2、合并同类项：把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项，合并同类项后，所得项的系数是合并前各同类项的系数和，且字母部分不变。

3、整式的加减：一般地，几个整式相加减，如果有括号就先去括号，然后再合并同类项。

4、平方差公式：（a+b ）（a-b ）=a 2-b 2完全平方公式（a ±b ）2=a 2±2ab+b 25、多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加，即（a+b ）（m+n ）=am+an+bm+bn一、可以合并的二次根式★将二次根式化成最简二次根式，如果被开方数相同，则这样的二次根式可以合并。

合并的方法与合并同类项类似，把括号外的因数（式）相加，根指数和被开方数不变，合并的依据是乘法分配律，如m a+n a=（m+n ） a练习：化简下列二次根式，并指出哪些是可以合并的二次根式。