利用行列式的性质将一些非0元素化为0
2 1 00 0 0 1 2 10 0 0 0 1 20 0 0 Dn 0 0 02 1 0 0 0 01 2 1 0 0 00 1 2
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拆元法
计算行列式
将行列式的一行(列)分成两个数的和
x a a a a x a a a a x a a a a x
n阶行列式的计算
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主要有如下几种方法
行列式定义法 化三角形法 按行列展开法 综合法 递推法 消去化零法 拆元法
加边法 数学归纳法 利用线性方程组的解 利用递推方程组 乘以已知行列式 利用拉普拉斯定理 特征值法
注意观察行列式特点, 如行(列)和为常数
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递推法
求n阶三对角行列式的值
0 0
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x y y y xy y y y xy 0 y y z x y y zx x y y zx xy y y z z x y 0 z x y 0 zx x y z z zx 0 z zx 0 0 zx
0
0
1 0
0
0
0
1 0
0
0
Dn
0
0
0 0
0
0
0 1
0
0
00
1
通常这样的行列式, n阶和n-1阶形状相同
一定要计算1阶,2阶,3阶的情况 得到递推公式
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消去法
求n阶三对角线型行列式的值
x a a a 0 0
a x a a xa 0
(x a) 来自 a 2a
0
a a x a 2a x a
n1
n
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x a aa a x a a a a a a a a x
xaa 0a 0a
a
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x a a a xaa a a
a x a a 0a x a
a
a


a
0a
a a
a a a x 0a a x xa a a a a a
0 x a a x a


0 a a a a a
0 a x a a x
常见于证明题,想办法得到递推公式
1 1 11
x1
x2
x3 xn
Dn x12 x22 x32 xn2
(xi x j )


1 jin
x n1 1
x n1 2
x n1 3

x n1 n
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利用递推方程组
求n阶行列式的值
x y yy z x yy z z xy z z zx
xy 0 0 0 y zx xy 0 0 y
0 zx xy 0 y
0 0 0 xy y 0 0 0 zx xy
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总结
对于n阶行列式,尝试求出n=1,2,3,4,5的情况 注意观察行列式的特点: 1. 处理箭形或者三角形行列式 2. 各行各列的和为常数 3. 各行或者各列存在相似的比例关系,或者有某种重复出现 的情况 4. 行列式有递推的情况 5. 行列式分成小块
a
xa a a
a a x
xa 0 0 0 a a a a
a x a a a x a a


a a a a a a
a a a x a a a x
x a a
a a a
a x a
0 x a 2a
(x a)
a a a x 0 0 0 x
n1
n
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加边法
计算行列式(爪型行列式)
通常这样的行列式行(列)有重复出现的元素
b a1 a2
a3 an
a1 b a2 a3 an
a1
a2 b a3 an (b 0)

a1
a2
a3 b an
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数学归纳法
证明范得蒙得（Vandermonde)行列式