初中数学试卷
桑水出品
解题技巧专题：等腰三角形中辅助线的作法
——形成精准思维模式，快速解题◆类型一利用“三线合一”作辅助线
一、已知等腰作垂线(或中线、角平分线)
1．如图，在△ABC中，AB＝AC，AE⊥BE于点E，
且BE＝1
2
BC，若∠EAB＝20°，则∠BAC＝
__________.
2．如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC边的中点，过点D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，
F.
(1)求证：DE＝DF；
(2)若∠A＝90°，图中与DE相等的有哪些线段(不说明理由)？
3．如图，△ABC中，AC＝2AB，AD 平分∠BAC交BC 于D，E是AD上一点，且EA＝EC，求证：EB⊥AB.
二、构造等腰三角形
4．如图，△ABC的面积为1cm2，AP垂直∠ABC 的平分线BP于P，则△PBC的面积为 ( ) A．0.4cm2 B．0.5cm2
C．0.6cm2 D．0.7cm2
5．如图，已知△ABC是等腰直角三角形，∠A ＝90°，BD平分∠ABC交AC于点D，CE⊥BD.求证：BD＝2CE.
◆类型二巧用等腰直角三角形构造全等
6．(2016·铜仁中考)如图，在△ABC中，AC ＝BC，∠C＝90°，D是AB的中点，DE⊥DF，点E，F分别在AC，BC上，求证：DE＝DF.
◆类型三等腰(边)三角形中截长补短或作平行线构造全等
7．如图，已知AB＝AC，∠A ＝108°，BD平分∠ABC交AC于D，求证：BC＝AB＋CD.
8．如图，过等边△ABC的边AB上一点P，作PE⊥AC于E，Q为BC延长线上一点，且PA＝CQ，连PQ交AC边于D.
(1)求证：PD＝DQ；
(2)若△ABC的边长为1，求DE的长．
参考答案与解析
1．40°
2．(1)证明：如图，连接AD .∵AB ＝AC ，D 是BC 的中点，∴∠EAD ＝∠FAD .又∵DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，∴DE ＝DF .
(2)解：若∠BAC ＝90°，图中与DE 相等的有线段DF ，AE ，AF ，BE ，CF .
3．证明：如图，作EF ⊥AC 于F .∵EA ＝EC ，∴
AF ＝FC ＝12
AC .∵AC ＝2AB ，∴AF ＝AB .∵AD 平分∠BAC ，∴∠BAD ＝∠CAD .又∵AE ＝AE ，∴△ABE ≌△AFE (SAS)，∴∠ABE ＝∠AFE ＝90°.∴EB ⊥AB .
4．B
5．证明：如图，延长BA 和CE 交于点M .∵CE ⊥BD ，∴∠BEC ＝∠BEM ＝90°.∵BD 平分∠ABC ，∴∠MBE ＝∠CBE .又∵BE ＝BE ，∴△BME ≌△
BCE (ASA)，∴EM ＝EC ＝12
MC .∵△ABC 是等腰直角三
角形，∴∠BAC ＝∠MAC ＝90°，BA ＝AC ，∴∠ABD ＋∠BDA ＝90°.∵∠BEC ＝90°，∴∠ACM ＋∠CDE ＝90°.∵∠BDA ＝∠EDC ，∴∠ABE ＝∠ACM .又∵AB ＝AC ，∴△ABD ≌△ACM (ASA)，∴DB ＝MC ，∴BD ＝2CE .
6．证明：如图，连接CD .∵AC ＝BC ，D 是AB
的中点，∴CD 平分∠ACB ，CD ⊥AB ，∴∠CDB ＝90
°.∵∠ACB ＝90°，∴∠BCD ＝∠ACD ＝45°，∴∠B ＝180°－∠CDB －∠BCD ＝45°，∴∠ACD ＝∠B ＝∠BCD ，∴CD ＝BD .∵ED ⊥DF ，∴∠EDF ＝∠EDC ＋∠CDF ＝90°.又∵∠CDF ＋∠BDF ＝90°，∴∠EDC ＝∠BDF ，∴△ECD ≌△FBD (ASA)，∴DE ＝DF .
7．证明：如图，在线段BC 上截取BE ＝BA ，连接DE .∵BD 平分∠ABC ，∴∠ABD ＝∠EBD .又∵BD ＝BD ，∴△ABD ≌△EBD (SAS)，∴∠BED ＝∠A ＝108°，∴∠DEC ＝180°－∠DEB ＝72°.又∵AB ＝AC ，∠A
＝108°，∴∠ACB ＝∠ABC ＝1
2×(180°－108°)＝
36°，∴∠CDE ＝∠DEB －∠ACB ＝180°－36°＝72°，∴∠CDE ＝∠DEC ，∴CD ＝CE ，∴BC ＝BE ＋EC ＝AB ＋CD .
8．(1)证明：如图，过P 作PF ∥BC 交AC 于点F ，∴∠AFP ＝∠ACB ，∠FPD ＝∠Q ，∠PFD ＝∠QCD .∵△ABC 为等边三角形，∴∠A ＝∠ACB ＝60°，∠AFP ＝60°，∴△APF 是等边三角形，∴AP ＝PF .∵AP ＝CQ ，∴PF ＝CQ ，∴△PFD ≌△QCD (ASA)，∴PD ＝DQ .
(2)解：∵△APF 是等边三角形，PE ⊥AC ，∴AE ＝EF .∵△PFD ≌△QCD ，∴CD ＝DF ，∴DE ＝EF ＋DF ＝12AC .又∵AC ＝1，∴DE ＝12
.。