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除了原点矩外，还定义相对于均值a的n阶矩为n阶中心 矩，即
E[( X a)n ] (x a)n f (x)dx
（2ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ3-28）
显然，随机变量的二阶中心矩就是它的方差，即
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我们定义随时间变化的无数个随机变量的集合为随机 过程。随机过程的基本特征是：它是时间t的函数，但在 任一确定时刻上的取值是不确定的，是一个随机变量；或 者，可将它看成是一个事件的全部可能实现构成的总体， 其中每个实现都是一个确定的时间函数，而随机性就体现 在出现哪一个实现是不确定的。通信过程中的随机信号和 噪声均可归纳为依赖于时间t的随机过程。
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图2-8 白噪声的双边带功率谱密度和自相关函数
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如果白噪声又是高斯分布的，我们就称之为高斯白噪 声。由式（2.6-22）可以看出，高斯白噪声在任意两个不 同时刻上的取值之间，不仅是互不相关的，而且还是统计 独立的。应当指出，我们所定义的这种理想化的白噪声在 实际中是不存在的。但是，如果噪声的功率谱均匀分布的 频率范围远远大于通信系统的工作频带，我们就可以把它 视为白噪声。
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2.7.2 随机过程通过乘法器
在通信系统中，经常进行乘法运算，所以乘法器在通 信系统中应用非常广泛，下面我们计算平稳随机过程通过 乘法器后，输出过程的功率谱密度。
Pf
() lim T
FT () 2
T
（2.5-10）
式中，FT () 是f(t)的截短函数 fT (t) 的频谱函数。f(t) 和 fT (t) 的波形如图2-6所示。
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图2-6 功率信号及其截短函数
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1、数学期望（统计平均值） 随机过程 (t) 的数学期望定义为
E[ (t)] xf1(x,t)dx
（2.4-5）
并记为 E[ (t)] a(t) 。随机过程的数学期望是时间的函 数。
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D[ X ] E{( X a)2} 2
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2.4随机过程的一般表述
2.4.1 随机过程的概念
前面所讨论的随机变量是与试验结果有关的某一个随 机取值的量。例如，在给定的某一瞬间测量接收机输出端 上的噪声，所测得的输出噪声的瞬时值就是一个随机变量。 显然，如果连续不断地进行试验，那么在任一瞬间都有一 个与之相应的随机变量，于是这时的试验结果就不仅是一 个随机变量，而是一个在时间上不断变化的随机变量的集 合。
5、R(0) R() 2 [方差， (t)的交流功率]（2.5-9）
由上述性质可知，用自相关函数几乎可以表述的主要 特征，因而上述性质有明显的实用价值。
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二、平稳随机过程的功率谱密度
随机过程的频谱特性是用它的功率谱密度来表述的。 由式（2.2-31）可知，对于任意的确定功率信号f(t) 其功率谱密度为
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Pf
lim
T
F
T
2
（2.2-31）
则整个频率范围内信号的总功率与功率谱之间的关系 可表示为
P 1
2
Pf
d
（2.2-32）
可以证明：功率信号 f (t)的自相关函数和功率谱密度是
一对傅里叶变换，即 Rf ( ) Pf
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2、 R( ) R( ) [R( )是偶函数] 3、 R( ) R(0) [R( )的上界]
（2.5-6） （2.5-7）
4、 R() E2[（t)] [ (t)的直流功率] （2.5-8）
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图2-5 随机过程波形
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二、随机过程的数字特征
分布函数或概率密度函数虽然能够较全面地描述随机 过程的统计特性, 但在实际工作中，有时不易或不需求出 分布函数和概率密度函数，而用随机过程的数字特征来描 述随机过程的统计特性，更简单直观。
)
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2.8窄带高斯噪声
2.8.1 窄带高斯噪声的统计特征
一、窄带高斯噪声的概念 设系统的带宽为，中心频率为，当时称该系统为窄带 系统。当高斯白噪声通过窄带系统时，其输出噪声只能 集中在中心频率附近的带宽之内，称这种噪声为窄带高 斯噪声。窄带高斯噪声的原理框图及相关波形如图2-11 所示。
第二章：信号与噪声
2.1 信号的分类 2.2 确知信号的分析 2.3 随机变量的统计特征 2.4 随机过程的一般表述 2.5 平稳随机过程 2.6 高斯随机过程 2.7 随机过程通过系统的分析 2.8 窄带高斯噪声 2.9 周期平稳随机过程
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2.1信号的分类
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2.1.1确知信号与随机信号
随机变量的统计规律用概率分布函数或概率密度函数 来描述。
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F ( x)
F ( x)
x
P(X x)
F(x) P(X x)
（2.3-1）
F(x) P(X x) P(xi ) xi x P(xi )(i 1, 2,3, )
i 1, 2,3,
（2.3-2）
xi
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可见，概率密度函数是分布函数的导数。从图 形上看，概率密度就是分布函数曲线的斜率。
概率密度函数有如下性质：
（1） f (x) 0
（2.3-5）
（2）
f (x)dx 1
（3）
b
f (x)dx P(a X b)
a
（2.3-6） （2.3-7）
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对于离散随机变量，其概率密度函数为
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2.1.2周期信号与非周期信号
周期信号是每隔一个固定的时间间隔重复变化的信号。 周期信号满足下列条件
f (t) f (t nT),n 0, 1, 2. 3, , t
（2.1-1）
式中，为的周期，是满足式（2.1-1）条件的最小时 段。非周期信号是不具有重复性的信号。
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平稳随机过程通过乘法器的数学模型如图2-10所示
图2-10平稳随机过程通过乘法器
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（4）X(t)的平均功率为
SX
RX (t,t ) | 0
1 (a2 2
2
本节我们介绍基于概率论的随机变量及其统计特征， 它是随机过程和随机信号分析的基础。
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2.3.1 随机变量
在概率论中，将每次实验的结果用一个变量来表示， 如果变量的取值是随机的，则称变量为随机变量。例如， 在一定时间内电话交换台收到的呼叫次数是一个随机变量。
当随机变量的取值个数是有限个时，则称它为离散随 机变量。否则就称为连续随机变量。
确知信号是指能够以确定的时间函数表示的信号，它 在定义域内任意时刻都有确定的函数值。例如电路中的正 弦信号和各种形状的周期信号等。
在事件发生之前无法预知信号的取值，即写不出明确 的数学表达式，通常只知道它取某一数值的概率，这种具 有随机性的信号称为随机信号。例如，半导体载流子随机 运动所产生的噪声和从目标反射回来的雷达信号（其出现 的时间与强度是随机的）等都是随机信号。所有的实际信 号在一定程度上都是随机信号。
,
F0 c0 a0
Fn
cn 2
e jn
(称为复振幅)；
Fn
cn 2
e jn
Fn*
（是 Fn
的共轭）。
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（a）非周期信号
（b）构造的周期信号
图2-1 非周期信号
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图2-4 瑞利分布 后面我们将介绍的窄带高斯噪声的包络就是服从瑞利 分布。
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2.3.4随机变量的数字特征
前面讨论的分布函数和概率密度函数，能够较全面地 描述随机变量的统计特性。然而，在许多实际问题中，我 们往往并不关心随机变量的概率分布，而只想了解随机变 量的某些特征，例如随机变量的统计平均值，以及随机变 量的取值相对于这个平均值的偏离程度等。这些描述随机 变量某些特征的数值就称为随机变量的数字特征。
下面结合自相关函数的性质，归纳功率谱的性质如下：
1、 P () 0 （非负性）