全等三角形培优竞赛训练题
1、已知正方形ABCD中，E为对角线BD上一点，过E点作EF丄BD交BC于F,连接DF , G为DF中点，连接EG, CG.
(1 )直接写出线段EG与CG的数量关系；
(2)将图1中厶BEF绕B点逆时针旋转450，如图2所示，取DF中点G,连接EG, CG.
你在(1)中得到的结论是否发生变化?写出你的猜想并加以证明.
(3)将图1中厶BEF绕B点旋转任意角度，如图3所示，再连接相应的线段，问(1) 中的结论是否仍然成立？
图1图2图3
学习参考
2、数学课上，张老师出示了问题：如图1 ,四边形ABCD是正方形，点E是边BC的中点. AEF 90°，且EF交正方形外角DCG的平行线CF于点F，求证：AE= EF.
经过思考，小明展示了一种正确的解题思路：取AB的中点M ,连接ME，则
AM = EC,易证△ AME =△ ECF ,所以AE EF .
在此基础上，同学们作了进一步的研究：
(1)小颖提出：如图2,如果把点E是边BC的中点”改为点E是边BC上(除B, C外)的任意一点”，其它条件不变，那么结论AE=EF'仍然成立，你认为小颖的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由；
(2)小华提出：如图3，点E是BC的延长线上(除C点外)的任意一点，其他条
件不变，结论AE= EF”仍然成立.你认为小华的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由
图1图2图3
3、已知Rt A ABC 中，AC BC,Z C 90, D 为AB 边的中点，EDF 90°
EDF绕D点旋转，它的两边分别交AC、CB （或它们的延长线）于E、F.
1
当EDF绕D点旋转到DE AC于E时（如图1），易证S A DEF S A CEF S A ABC-
2
当EDF绕D点旋转到DE和AC不垂直时，在图2和图3这两种情况下，上述结论是
否成立？若成立，请给予证明；若不成立，S A DEF、S A C EF、S A ABC又有怎样的数量关
系？请写出你的猜想，不需证明
F 图
1图2
4、在厶ABC中，AB BC 2, ABC 120°将厶ABC绕点B顺时针旋转角(0 °90 °得厶ABC i, A i B交AC于点E , AG分别交
AC、BC于D、F两点.
(1)如图1，观察并猜想，在旋转过程中，线段EA1与FC有怎样的数量关系？并证明你的结论；
(2 )如图2，当 30°寸，试判断四边形 BCQA 的形状，并说明理由；
(3 )在(2)的情况下，求ED 的长.C
C
D F
A i
1
5、如图9,若厶ABC和厶ADE为等边三角形，M , N分别EB, CD的中点，易证：
CD=BE , △ AMN是等边三角形.
(1)当把△ ADE绕A点旋转到图10的位置时，CD=BE是否仍然成立？若成立请证明，若不成立请说明理由；(4分)
(2)当厶ADE绕A点旋转到图11的位置时，△ AMN是否还是等边三角形？若是，
请给出证明，并求出当AB=2 AD时，△ ADE 与△ABC及厶AMN的面积之比；若不是，请说明理由.(6分)
6、点C为线段AB上一点,△ ACM, △ CBN都是等边三角
形，线段AN,MC 交于点E, BM,CN 交于点F。

求证：
(1 ) AN=MB.
（2）△ CEF为等边三角形
（3）将厶ACM绕点C按逆时针方向旋转一定角度，其他条件不变，（1）中的结论是
否依然成立？（只回答不证明），
（4）AN与BM相交所夹锐角是否发生变化，（只回答不证明）。

7、问题：已知△ ABC中，BAC 2 ACB，点D是厶ABC内的一点，且AD CD , BD BA.探究DBC与ABC度数的比值
请你完成下列探究过程：
先将图形特殊化，得出猜想，再对一般情况进行分析并加以证明.
(1)当BAC 90时，依问题中的条件补全右图.
观察图形，AB与AC得数量关系为__________
当退出DAC 15时，可进一步推出DBC的度数为_______________ _ 可得到DBC与ABC度数的比值为____________
(2)当BAC 90时，请你画出图形，研究DBC与ABC度数的比值是否与
(1 )中的结论相同，写出你的猜想并加以证明
8、直线 CD 经过 BCA 的顶点 C , CA=CB . E 、F 分别是直线 CD 上两点，且 BEC CFA .
(1 )若直线CD 经过 BCA 的内部，且E 、F 在射线CD 上，请解决下面两个问题： ①如图 1，若 BCA 90°, 90°，则 EF _________ BE AF (填“”，“”或
②如图2，若0° BCA 180°，若使①中的结论仍然成立，则 与BCA 应满足 的关系是 ________________ ；
三条线段的数量关系，并给予证明
图1
图2 图
3(2)如图3，若直线CD 经过 BCA 的外部，
BCA ，请探究EF 、与BE 、
AF
学习参考
9、⑴如图1,在正方形ABCD中，点E,F分别在边BC,
CD 上,AE,BF 交于点O, A OF= 90 ° 求证：BE= CF.
第23题图1
⑵如图2,在正方形ABCD中,点E,H,F,G分别在边AB,
BC,CD,DA 上,EF,GH 交于点O, zFOH = 90 ° EF
=4.求GH的长°
第23题图2
(3)已知点E ,H ,F ,G 分别在矩形 ABCD 的边AB ,BC ,CD ,DA 上，EFGH 交于点0,
/F0H = 90 °F = 4.直接写出下列两题的答案 ：
①如图3,矩形ABCD 由2个全等的正方形组成，求GH 的长；
CD 2AD, tan ABC 2，过点D 作DE // AB ,交 BCD 的平分线于点 E,
连接
10
如图，直角梯形 ABCD 中 AD // BC BCD 90° ,且
②如图4,矩形ABCD 由n 个全等的正方形组成，求GH 的长(用n 的代数式表示).
BE.
(1)求证：BC CD ；
(2)将厶BCE绕点C,顺时针旋转90。

得到△ DCG ,连接EG..求证：CD垂直平分EG.
(3 )延长BE交CD于点P.求证：P是CD的中点.
G
11、已知：如图，AF平分ZBAC, BC丄AF, 垂足
为E,点D与点A关于点E对称，PB分别与线段CF,
AF相交于P, M .
⑴求证：AB= CD ；
⑵若ZBAC=2 ZMPC ,请你判断/F与ZMCD
的数量关系，并说明理由•
12、如图，四边形ABCD是正方形,△ ABE是等边三角形，M为对角线BD （不含B
点）上任意一点，将BM绕点B逆时针旋转60 °得到BN，连接EN、AM、CM.
⑴求证：△AMB^A ENB;
⑵ ①当M点在何处时，AM + CM的值最小；
A
②当M点在何处时，AM + BM + CM的值最小，并说明理
由；
M。