随机误差的分析处理
--- 统计方法
N次测量结果 --- xi ( i =1, 2, …, N )
1 测量列 数据特点


数据列表明，各次测值不尽相同，这说明各次测量中含 有随机误差，这些误差的出现没有确定的规律，即前一 个数据出现后，不能预测下一个数据的大小。 但就数据整体而言，却明显具有某种统计规律，这个规 律可以用统计直方图来表示。
第二章 误差的基本性质与处理
§2.1 随机误差
教学目的和要求：

通过本节内容的教学，使学生对随机 误差的产生原因、特点及处理方法有一 个整体的认识。要求学生清楚随机误差 的产生原因、特征，服从正态分布随机 误差的特征；掌握随机误差特征值的确 定方法；了解随机误差的分布；正确求 解极限误差；掌握不等精度测量的数据 处理方法。
测量列图示 测量结果与直方图
2 统计直方图

统计直方图在对称性方面 有一些偏离理想正态分布 的情形。 对于测量状态比较完好的 光电类测量仪器，其随机 误差的分布往往较好的呈 现正态分布的特征 对于测量状态不完好的光 电类测量仪器，特别是对 传动机械部件磨损较严重 而规律尚未掌握的仪器， 其测量随机误差可能就呈 现其他分布的特征。
对防震台充气减震、 关空调减少气流、 开机对激光器预热 等。
戴工作手套装夹工件， 调整光路要尽量减少 离焦、倾斜，并使干 涉条纹疏密适当，人 员尽量远离测量光路； 必要的话，适当增加 重复测量次数取算术 平均值等
随机误差的本质特征
1、具有随机性：测量过程中误差的大小和符 号以不可预知形式的形式出现。 2、产生在测量过程之中：影响随机误差的因 素在测量开始之后体现出来。 3、与测量次数有关系：增加测量次数可以减 小随机误差对测量结果的影响。
主要内容：

1.概述：产生原因、随机误差特性、随机误差处理的基本 原则。 2.随机误差的分布：正态分布、非正态分布。 3.算术平均值原理：算术平均值原理、残余误差。 4.测量的标准差：单次测量的标准偏差、贝塞尔公式、算 术平均值的标准偏差、标准差的其它估计方法。 5.极限误差：极限误差的定义、单次测量的极限误差、算 术平均值的极限误差。 6.不等精度测量：权、单位权、加权算术平均值、加权算 术平均值的标准差。
2.2.1 随机误差产生的原因
随机误差是由人们不能掌握，不能控制，不 能调节，更不能消除的微小因素造成。这些因素 中，有的是尚未掌握其影响测量准确的规律；有 的是在测量过程中对其难以完全控制的微小变化， 而这些微小变化又给测量带来误差。
激光数字波面干涉仪的随机误差主要来源
氦氖激光源辐 射激光束的频 率不够稳定造 成激光波长的 漂移 放置测量主机和被 测试样的隔震台不 能很好消除外界的 低频震动 操作人员的装夹 调整不当引起被 采集的测量干涉 图像质量低、条 纹疏密不当 离散化采样误差、 各次装夹定位不 一致 CCD光电探测器 采集信号及其 电信号处理电 路造成干涉图 像信号的随机 噪声 空气尘埃的漂 浮、稳压电源 供电电压的微 小波动 采集干涉图像的摄 像头变焦倍数过小 造成较大的离散化 采样误差
2 i i 1 n

概率分布函数
n

F ( )

1 f ( )d 2



e
2 2 2
d
正态分布的分布密度函数：
f()
= 1.0
1 f ( ) e 2
数学期望
方 差
E }
2 2 2
= 1.5
= 2.0



f ( )d 0
D{δ }＝σ2
E E ( ) } 2 f ( )d
2
标准偏差

D( )
平均误差 或然误差
2.1.3 算术平均值
（一）算术平均值的意义
在等精度测量条件下，对某被测量进行多次重 复测量，得到一系列测量值,常取算术平均值
x1 , x2 ,..., xn
测量装置方面的因素
仪器所在实验 室气流和温度 的波动
测量环境方面的因素
操作人员方面的因素
减小随机误差的技术途径
(1) 测量前，找出并消除或减小 其随机误差的物理源;
(2) 测量中，采用适当的技术 措施，抑制和减小随机误差; (3) 测量后，对采集的测量 数据进行适当处理，抑制和 减小随机误差。
视需要，有针对性地对采集的测量干涉图进 行预处理，如用低通滤波、平滑滤波等方法 来消除中高频随机噪声，用高通滤波法则可 以有效消除低频随机噪声。
n
i
xi nx0
i 1
n
根据随机误差的抵偿性，当n充分大时，有
1 n x xi x0 n i 1

i 1
n
i
n
0
2 在正态分布条件下，满足最大似然原理
该测量事件发生的概率最大
3 满足最小二乘原理
1 n x xi n i 1
作为测量结果的最佳估计。
无限多次测量算术平均值作为真值的理论依据
证明方法有四种： 1.大数定律；2.似然原理；3.最 小二乘法；4.随机误差抵偿性 1. 若测量次数无限增多，且无系统误差下，由概率 论的大数定律知，算术平均值以概率为1趋近于真值
因为

i 1
分布：正态分布（高斯分布） --- 大多数； 均匀分布 --- 量化误差、舍入误差； 其它 --- 正弦分布、二次分布、卡方分布、指 数分布、 分布、 分布等
正态分布计算
概率密度函数 误差 = l – L0
2 2 2
1 f ( ) e 2
均方根误差/标准差
f ( )
50
40

30

20
10
0 0.114 0.116 0.118
0.12
0.122 0.124 0.126 0.128
样本n无限增加，分段间隔区域趋于0，直方图就形成 了一条光滑连续的曲线，即概率密度曲线。
2.1.2 正态分布
服从正态分布随机误差 的特征

f ( )
1．对称性 2．单峰性 3．有界性 4．抵偿性 由随机误差的对称性知，在有限次测量中，绝对值相同 的正负误差出现的次数大致相同。因此，取这些误差的算 术平均值时，绝对值相同的正负误差产生相互抵消现象， 从而导致了随机误差的第四个特性——抵偿性。