第7讲│ 命题立意追溯
命题立意追溯
应用意识——通过解三角形进行数学建模 示例 某城市有一块不规则的绿地如图2－7－2所示，城建 部门欲在该地上建造一个底座为三角形的环境标志，
图2－7－2
第7讲│ 命题立意追溯
小李、小王设计的底座形状分别为△ABC、△ABD， 经测量AD＝BD＝14，BC＝10，AC＝16，∠C＝∠D. (1)求AB的长度； (2)若建造环境标志的费用与用地面积成正比，不考虑 其他因素，小李、小王谁的设计使建造费用最低，请说明 理由．
第7讲 │ 二轮复习建议
预计2013年对该部分的考查会延续前几年的命题方向， 并有适度的创新，如把平面向量、三角恒等变换等结合起来 进行考查． 复习建议：该部分的知识点不多，但可以与三角函数、 平面向量、实际应用题等问题相互交汇，具有较为广阔的命 题背景．从五年来课程标准卷的考查情况看，该部分出现过 一个实际应用题、一个解三角形与三角变换交汇的解答题， 出现过两个难度为C级的解三角形的试题，因此复习该部分 时要重在引导学生提高使用正弦定理、余弦定理解一般的斜 三角形的能力(实际应用题也是解一般的斜三角形)．
第7讲│ 要点热点探究
[思考流程] (1)(分析)欲求cosC只要求出cos2B ⇨ (推理)只 需求出cosB ⇨ (结论)在8b＝5c，C＝2B下使用正弦定理即得． (2)(分析)欲求cosC的最小值，建立cosC关于边a，b，c的 关系式 ⇨ (推理)代入a2＋b2＝2c2消去c得关于a，b的关系式 ⇨ (结论)使用基本不等式a2＋b2≥2ab即得．
第7讲 │ 主干知识整合
3．面积公式 1 abc 1 S＝ absinC.导出公式：S＝ (R为外接圆半径)，S＝ (a 2 4R 2 ＋b＋c)r(r为内切圆半径)． 4．常用技巧 (1)利用正弦定理实现边角互化； π (2)若三角形ABC为锐角三角形，则A＋B> ，sinA>cosB， 2 cosA<sinB，a2＋b2>c2.类比三角形ABC为钝角三角形可得相 应结论.
第7讲 │ 主干知识整合
主干知识整合
第7讲 │ 主干知识整合
1.正弦定理 a b c ＝ ＝ ＝2R(R为外接圆半径)， sinA sinB sinC 变形：a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC. 2．余弦定理 a2＝b2＋c2－2bccosA， 变形： b2＋c2－a2 b＋c2－a2 cosA＝ ＝ －1. 2bc 2bc
第7讲│ 要点热点探究
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探究点二
三角形的面积问题
例2 在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b， c，已知向量m＝(cosA，cosB)，n＝(2c＋b，a)，且m⊥n. (1)求角A的大小； (2)若a＝4，求△ABC面积的最大值．
第7讲│ 要点热点探究
[思考流程] (1)(条件)m⊥n，即已知三角形的边角的一个 方程 ⇨ (目标)求角A ⇨ (方法)根据正弦定理把边的关系转化 为角的三角函数方程即可得出； (2)(条件)a＝4和第一问求出的角A ⇨ (目标)求三角形面 积的最大值 ⇨ (方法)根据余弦定理和不等式的知识得出bc的 最大值即可．
第7讲│ 要点热点探究
ห้องสมุดไป่ตู้
(2)设A，B，C对边分别为a，b，c，由已知等式利用正 a2＋c2－b2 a2＋b2－c2 弦、余弦定理得b＋c＝a ＋ ， 2ac 2ab 2 2 2 b ＋c －a ＝0. 整理得(b＋c) ∴b2＋c2＝a2，∴△ABC为直角三角形，且∠A＝90° .
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正弦定理与余弦定理的几种问题
[答案] (1)A
(2)C
[解析] (1)本题考查三角函数的倍角公式及正弦定理， 考查运算求解能力，属中档题． 4 由正弦定理得8sinB＝5sinC，∵C＝2B，∴cosB＝ ，∴ 5 4 7 2 2 cosC＝cos2B＝2cos B－1＝25 －1＝ . 25 a2＋b2－c2 a2＋b2 2ab 1 (2)由余弦定理知cosC＝ ＝ ≥ ＝ .故选 2ab 4ab 4ab 2 C.
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三角形的面积问题 解：(1)∵m⊥n， ∴m· n＝(cosA，cosB)· (2c＋b，a)＝(2c＋b)cosA＋acosB ＝0.(2分) 由正弦定理可得(2sinC＋sinB)cosA＋sinAcosB＝0， 即2sinCcosA＋(sinBcosA＋sinAcosB)＝0， 整理可得sinC＋2sinCcosA＝0. 1 2π ∵0＜C＜π，∴sinC＞0，∴cosA＝－ ，∴A＝ .(5分) 2 3
第7讲│ 要点热点探究
(2)由余弦定理可得，a2＝b2＋c2－2bccosA，即16＝b2＋ 16 2 c ＋bc≥3bc(当且仅当b＝c时取等号)，故bc≤ .(8分) 3 1 3 4 3 故△ABC的面积为S＝ bcsinA＝ bc≤ ，当且仅当b 2 4 3 4 3 4 3 ＝c＝ 时，△ABC的面积取得最大值 .(12分) 3 3
第7讲│ 要点热点探究
[规范评析] 在含有边角混合等式的问题中，如何进行转 化是问题的关键．当等式中含有角的余弦、正弦时首先要考 虑使用正弦定理把边的关系转化为角的三角函数关系，以便 于问题的解决．在解三角形问题中要注意方程思想的应用， 正弦定理、余弦定理本身就是一个方程，当已知三角形面积 时得边角的一个方程，就把求解的元素纳入到方程中，通过 方程解三角形．
•规律 当已知三角形的两边和其中一个边的对角求解第三边时， 可以使用正弦定理，也可以使用余弦定理．使用余弦定理就是根 据余弦定理本身是一个方程，这个方程联系着三角形的三个边和 其中的一个内角，在这类试题中要注意方程思想的运用． 1 •技巧 在与三角形面积S＝ absinC有关的问题中，注意使用不等 2 a＋b2 . 式ab≤ 2 •易错 当已知两边及一边的对角，而使用正弦定理解三角形时， 可能有一解、两解，注意讨论；在求与三角形内角有关的三角函 数取值范围、最值时忽视角的范围.
第7讲│ 要点热点探究
变式题 (1)在△ABC 中，B＝60° ，AC＝ 3，则 AB＋2BC 的最大值为________． (2)在△ABC 中，已知 sinB＋sinC＝sinA(cosB＋cosC)，则 △ABC 的形状为________．
第7讲│ 要点热点探究
[答案] (1)2 7 (2)直角三角形
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► 例3 探究点三 解三角形的实际应用
如图2－7－1，某测量人员，为了测量西江北岸不能到达的两 点A，B之间的距离，她在西江南岸找到一个点C，从C点可以观察 到点A，B；找到一个点D，从D点可以观察到点A，C；找到一个点 E，从E点可以观察到点B，C；并测量得到数据：∠ACD＝90° ，∠ ADC＝60° ，∠ACB＝15° ，∠BCE＝105° ，∠CEB＝45° ，DC＝CE ＝1 km. (1)求△CDE的面积；(2)求A，B之间的距离．
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[规范评析] 解三角形就是根据正弦定理和余弦定理得出 方程进行的．当已知三角形边长的比时使用正弦定理可以转 化为边的对角的正弦的比值，本例第一题就是在这种思想指 导下求解的；当已知三角形三边之间的关系式，特别是边的 二次关系式时要考虑根据余弦定理把边的关系转化为角的余 弦关系式，再考虑问题的下一步解决方法．
第7讲│ 命题立意追溯
[思考流程] (1)(条件)AD＝BD＝14，BC＝10，AC＝ 16，∠C＝∠D ⇨ (目标)求AB的长度 ⇨ (方法)在△ABC， △ABD中分别使用余弦定理得关于cosC，cosD的方程，得 出cosC，在△ABC中再次使用余弦定理可得； (2)(条件)AD＝BD＝14，BC＝10，AC＝16，∠C＝∠D ⇨ (目标)比较两个三角形面积的大小 ⇨ (方法)使用三角形面 积公式可得所求面积．
题型(频率)
第7讲 │ 二轮复习建议
二轮复习建议
命题角度：该部分的命题围绕三点展开．第一点是围绕利 用正弦定理定理解三角形展开，目的是考查使用这两个定理解 一般的斜三角形，通常是选择题或者填空题；第二点是围绕解 三角形在实际问题中的应用展开，考查使用正弦定理、余弦定 理以及三角函数的知识解决实际应用问题的能力，一般以解答 题的方式进行考查；第三点是三角函数、三角恒等变换和解三 角形的交汇，目的是考查综合运用知识解决问题的能力，一般 以解答题的方式进行考查．解三角形是高考中的一个重要命题 点．
[解析] (1)A＋C＝120° ⇒C＝120° －A，A∈(0° ，120° )，由 BC AC ＝ ＝2得BC＝2sinA， sinA sinB AB AC ＝ ＝2⇒AB＝2sinC＝2sin(120° －A)＝ 3 cosA＋ sinC sinB sinA， ∴AB＋2BC＝ 3cosA＋5sinA＝ 28sin(A＋φ)＝2 7 sin(A ＋φ)，故最大值是2 7.
第7讲│ 要点热点探究
要点热点探究
► 探究点一 正弦定理与余弦定理的应用 例1 (1)[2012· 天津卷] 在△ABC中，内角A，B，C所对 的边分别是a，b，c.已知8b＝5c，C＝2B，则cosC＝( ) 7 7 7 24 A. B．－ C．± D. 25 25 25 25 (2)[2012· 陕西卷] 在△ABC中，角A，B，C所对边的长分 别为a，b，c，若a2＋b2＝2c2，则cosC的最小值为( ) 3 2 1 1 A. B. C. D．－ 2 2 2 2
第7讲│ 命题立意追溯
[命题阐释] 本题立意是考查利用解三角形的知识进行 数学建模，解决实际问题的能力．首先需要把实际问题涉 及的三角形的元素确定下来，确定“谁的设计建造费用最 低”这个问题的数学模型，即“谁设计的三角形面积较 小，谁的设计使建造费用最低”，体现了使用解三角形知 识建立数学模型的过程，考查了应用意识．
第7讲│ 要点热点探究
[规范评析] 解三角形的实际应用问题就是把求解的量纳 入到一个可以使用正弦定理、余弦定理求解的三角形中，这 个三角形的一些元素如果不完全具备就要借助于其他的三角 形求解，如本题中就是先根据两个可解三角形求出了我们需 要求解的三角形的两边长度．