解：在△ ABC 中，∠ C＝90， AC＝3， BC＝4， ∴ AB＝5. ∵ BD 为直径， ∴∠DEB＝90 ∠C ∵∠ABC ＝∠DBE ∴△ACB ∽△DEB， ∴ DE BD ,
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3．(2010·上海)下列命题中，是真命题的为( ) A．锐角三角形都相似 B．直角三角形都相似 C．等腰三角形都相似 D．等边三角形都相似 【解析】本题考查相似三角形的判定方法． 【答案】D
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【答案】3
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14．(2010·陕西)如图，在△ABC 中，D 是 AB 边上一点，连结 CD.要使 △ADC 与△ABC 相似，应添加的条件是________．
【解析】∠ACD＝∠B、∠ADC＝∠ACB 或AADC＝AACB，答案不唯一，只需写出一个条件 即可．
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相似三角形 综合训练
训练时间：60分钟 分值：100分
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一、选择题(每小题 4 分，共 48 分) 1．(2009 中考变式题)如图，小正方形的边长均为 1，则下列图中的三角形(阴影部分)与 △ABC 相似的是( ) 【解析】观察△ACB 得∠ACB＝135°，被选项中只有 A 图三角形含 135°角． 【答案】A
是 △ABC
的
中
位
线
，
∴DE
＝
1 2
BC
，
BC
＝
2DE.
由
DE∥BC
得
△ADE∽△ABC， AADB＝AAEC或AADE ＝AABC.
【答案】A
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8.(2012.中考预测题)在平行四边形ABCD中,点E在射线AD 上,BE与对角线AC交于点F,若BC=8,DE=4,AF=3,求FC的长
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(第 6 题) 6．如图，△ABC 内接于⊙O，AD 是△ABC 的边 BC 上的高，AE 是⊙O 的直径，连结 BE，△ABE 与△ADC 相似吗？请证明你的结论． △ABE 与△ADC 相似．理由如下：在△ABE 与△ADC 中 ∵AE 是⊙O 的直径，∴∠ABE ＝90°，∵AD 是△ABC 的边 BC 上的高，∴∠ADC＝90°，∴∠ABE＝∠ADC.又∵同弧所对 的圆周角相等，∴∠BEA＝∠DCA.∴△ABE∽△ADC.
图1
解 : 如图(1),E在线线AD上 ∵平行四边行ABCD ∴AD ∥BC ∴△AEF ∽△CBF
∴ AF AE 4 1 CF BC 8 2
∴CF 2AF 6
图2
如图(2) : E在AD的延长线上 同(1)得, AF AE 12 3
CF BC 8 2 CF 2 AF 2 3 2
10.(2009 中考变式题)如图，P 是 Rt△ABC 斜边 AB 上任意一点(A、B 两点 除外)，过 P 点作一直线，使截得的三角形与 Rt△ABC 相似，这样的直线可以 作( )
A．1 条 B．2 条 C．3 条 D．4 条
【解析】如图所示的三条直线 l1、l2、l3.
【答案】C
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等于( )
A．3
B．4
C．6
D．8
【解答】(1)∵DE∥BC ∴∠ADE＝∠B 又∵∠A＝∠A ∴△ADE∽△ABC
∴ AD＝ AE， 3 ＝
6
，
AB AC 4 AC
∴AC＝8.故选D.
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(2)(2010·烟台)如图，在△ABC中，点D在线段BC上，且△ABC∽△DBA，则下列
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11．(2012 中考预测题)兴趣小组的同学要测量树的高度，在阳光下，一 名同学测得一根长为 1 米的竹竿的影长为 0.4 米，同时另一名同学测量树的 高度时，发现树的影子不全落在地面上，有一部分落在教学楼的第一级台阶 上，测得此影子长为 0.2 米，一 级台阶高为 0.3 米，如图所示，若此时落在 地面上的影长为 4.4 米，则树高为( )
相似三角形
相似三角形的定义
定义：如果两个三角形的各角对应相等 ，各边对应 成比例 ，那么这两 个三角形相似．
相似三角形的性质
1．相似三角形的对应角 相等，对应边 成比例． 2．相似三角形的对应高的比、对应角平分线的比、对应中线的比都等于相似比． 3．相似三角形的周长之比等于相似比，面积之比等于相似比的平方 ．
6．(2010·苏州)如图，在△ABC 中，D、E 两点分别在 BC、AC 边上，若 BD＝CD，∠B ＝∠CDE，DE＝2，则 AB 的长度是( )
A．4 B．5 C．6 D．7
【解析】∵∠B＝∠CDE，所以 AB∥DE.因为 BD＝CD，则 DE 为△ABC 的中位线，则 AB＝2DE＝4.
【答案】A
A．1∶2
B ．1∶4
C．2∶1
D．4∶1
2．如图所示，Rt△ABC∽Rt△DEF，则 cos E 的值等于( A )
A.1 B. 2 C. 3 D. 3
22
2
3
(第 2 题)
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(第 3 题) 3．如图，在平行四边形 ABCD 中，E 是 BC 上的点，AE 交 BD 于点 F，如果BBCE＝23， 那么FBDF＝23.
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7．(2010·河南)如图，△ABC 中，点 D、E 分别在 AB、AC 的中点，则下列结论：①BC
＝2DE；②△ADE∽△ABC；③AADE ＝AABC.其中正确的有(
)
A．3 个 B．2 个 C．1 个 D．0 个
【 解 析 】 ∵DE
相似三角形的判定
1．两边对应成比例 ，且夹角 相等的两个三角形相似． 2．两角对应 相等 的两个三角形相似． 3．三边对应 成比例 的两个三角形相似．
相似三角形的基本图形
(1)(2010·北京)如图，在△ABC中，点D、E分别在AB、
AC边上，DE∥BC，若AD∶AB＝3∶4，AE＝6，则AC
5．(2009 中考变式题)如图，在正方形网格上，若使△ABC∽△PBD，则点 P 在( )
A．P1 处
B．P2 处
C．P3 处
D．P4 处
【解析】若△ABC∽△PBD，则∠DPB＝∠CAB＝135°，而 P3 点满足这一条件． 【答案】C
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【解析】∵BDCE＝AADC，即11..85＝ACA－C 1，解得 AC＝6. 【答案】6
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三、解答题(共 36 分)
17．(12分)(2011中考变式题)如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝ 4，O为BC边上一点，以O为圆心，OB为半径作半圆与BC边和AB边分别交于点 D、点E，连结DE.当BD＝3时，求线段DE的长；
33
综上所述, CF 6或2
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9.(2011.牡丹江)在△ABC中,AB=6,AC=9，点D在边AB所在 的直线上且AD=2,过点D作DE∥BC交边AC所在直线于点E,求 CE的长。
图1
图2
解 : 如图(1)当点D在线段AB上时 如图(2),当点D在
4．如图，∠DAB＝∠CAE，请补充一个条件：________，使得△ABC∽△ADE.
(第 4 题) 答案不唯一，如∠B＝∠D 或∠C＝∠AED 或AADB ＝AACE等．
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(第 5 题) 5．已知△ABC，延长 BC 到 D，使 CD＝BC，取 AB 的中点 F，连结 FD 交 AC 于点 E. (1)求AAEC的值；(2)若 AB＝a，FB＝EC，求 AC 的长． 答案：(1)AAEC＝23 (2)AC＝32a
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2．(2012 中考预测题)如图，在△ABC 中，若 DE∥BC，AD＝1，DE＝4 cm，则 BC 的长为( ) DB 2
A．8 cm B．12 cm C．11 cm D．10 cm
【解析】∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴ADA＋DDB＝DBCE，即13＝B4C，∴BC＝12 cm. 【答案】B
13．(2010·上海)如图，△ABC 中，点 D 在边 AB 上，满足∠ACD＝∠ABC， 若 AC＝2，AD＝1，则 DB＝________.
【解析】∵∠ACD＝∠ABC，∠BAC＝∠CAD，∴△ADC∽△ACB，∴AACB＝AADC，∴AB·AD ＝AC2，则 AB＝4，所以 BD＝AB－AD＝3.
DB AB (3)答案不唯一，如∠D＝∠C 或∠E＝∠B 或AD＝AE.
AC AB
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1．已知△ABC∽△DEF，且 AB∶DE＝1∶2，则△ABC 的面积与△DEF 的面积之比为( B )
【答案】2 或 4.5
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