等比数列及其前n 项和（讲义）
知识点睛
一、等比数列 1． 等比数列的概念
如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q (0)q ≠表示． （1）等比中项
（2）等比数列的通项公式：11n n a a q -=．
2. 等比数列的性质
（1）通项公式的推广：*()，n m n m a a q m n N -=∈．
（2）若{}n a 是等比数列，且*()，，，k l m n k l m n N +=+∈， 则k l m n a a a a =⋅⋅．
（3）若{}n a 是等比数列，则k a ，k m a +，2k m a +，…*()，k m N ∈组成公比为m q 的等比数列．
（4）若{}n a 是等比数列，则{}n a λ，{}||n a ，1{}n
a ，{}2
n a 也是等比数列． （5）若{}n a ，{}n b 是等比数列，则{}n n a b ⋅，{
}n
n
a b 也是等比数列． （6）当数列{}n a 是各项均为正数的等比数列时， 数列{}lg n a 是公差为lg q 的等差数列． 二、
等比数列的前n 项和公式
1. 对于等比数列
1a ，2a ，3a ，…，n a ，…
当1q ≠时，
它的前n 项和的公式为1(1)
1n n a q S q -=-或11n n a a q S q
-=-．
当1q =时，
它的前n 项和的公式为1n S na =． 推导过程：错位相减法
2. 等比数列各项和的性质
（1）若m S ，2m S ，3m S 分别是等比数列{}n a 的前m 项，前2m 项，前3m 项的和，则m S ，2m m S S -，32m m S S -成等比数列，其公比为m q ． （2）等比数列的单调性
①当101a q >⎧⎨>⎩或10
01a q <⎧⎨<<⎩时，{}n a 是递增数列；
②当1001a q >⎧⎨<<⎩或101
a q <⎧⎨>⎩时，{}n a 是递减数列；
③当101a q ≠⎧⎨=⎩时，{}n a 是常数列；
④当0q <时，{}n a 是摆动数列．
精讲精练
1. 设{}n a 为等比数列，且4652a a a =-，则公比是（ ）
A ．0
B ．1或-2
C ．-1或2
D ．-1或-2
2. 等比数列{}n a 中，1||1a =，528a a =-，52a a >，则n a =（ ）
A ．1(2)n --
B ．1(2)n ---
C ．(2)n -
D ．(2)n --
3. 设1a ，2a ，3a ，4a 成等比数列，其公比为2，则
12
34
22a a a a ++的值为（ ）
A ．14
B ．
12
C ．18
D ．1
4. 在等比数列{}n a 中，0n a >，且211a a =-，439a a =-，则45a a +的值为（ ）
A ．16
B ．27
C ．36
D ．81
5. 已知{}n a 为等比数列，472a a +=，568a a =-，则110a a +=（ ）
A ．7
B ．5
C ．-5
D ．-7
6. 已知{}n a 是等比数列，且0n a >，243546225a a a a a a ++=，
那么35a a +的值为（ ） A ．5
B ．-5
C ．±5
D ．25
7. 已知数列{}n a 满足130n n a a ++=，24
3a =-，则{}n a 的前10项和等于（ ）
A ．106(13)---
B ．101
(13)9
--
C ．103(13)--
D ．103(13)-+
8. 1111111
1(1)(1)(1)224242
n n S -=+++++++++++=……（ ）
A ．2
n n
B ．112n n -+
C ．11222n n --+
D ．11
2
n n --
9. 各项均为正数的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若2n S =，314n S =，则4n S =
（ ） A ．80 B ．30 C ．26 D ．16
10. 一个有穷等比数列的首项为1，项数为偶数，其奇数项之和为85，偶数项之
和为170，则这个数列的项数为________．
11. 已知定义在(0)(0)-∞+∞，，上的函数()f x ，若对任意给定的等比数列{}n a ，
{}()n f a 仍然是等比数列，则称
()f x 为“保等比数列函数”
．现有定义在(0)(0)-∞+∞，，上的如下函数：
①2()f x x =；②()2x f x =；③()f x =()ln ||f x x =． 其中是“保等比数列函数”的()f x 的序号为_____________．
12. 已知{}n a 是等差数列，其前n 项和为n S ，{}n b 是等比数列，且112a b ==，
4427a b +=，4410S b -=．
（1）求数列{}n a 与{}n b 的通项公式；
（2）记1121n n n n T a b a b a b -=+++…，*n N ∈，求T n ．
回顾与思考
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【参考答案】
1．C 2．A 3．A 4．B
5．D
6．A
7．C
8．C
9．B
10．8 11．①③
12．（1）31n a n =-，2n n b =；（2）152610n n T n +=--⋅。