(B g) A,
(13) g(A B ) B g( A) A g( B )
(14) (A B ) (B g ) A (A g) B B ( gA)
A ( gB )
(15) g( u)= 2u u （其中Δu为调和量） (16) ( u)= 0
(17) g( A)= 0
如下的一个数性微分算子
A
g
r ( Axi
Ay
r j
r r Azk )g i
x
r j
y
r k
z
Ax
x
Ay
y
Az
z
,
它既可作用在数性函数u（M）上，又可作用在
矢性函数B（M）上。如
A
g
u
Ax
u x
Ay
u y
Az
u z
,
A
g
Bቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
Ax
B x
Ay
B y
Az
B z
,
应当注意这里 A g 与 gA 是完全不同的。
证
(uv)
r i
x
r j
y
r k
z
uv
r i
(uv)
r j
(uv)
r k
(uv)
x
y
z
(u
v
v
u
r )i
(u
v
v
u )
r j
x x
y y
(u
v
v
u
r )k
z z
u
v x
r i
v y
r j
v z
r k
v
u x
r i
u y
r j
u z
r k
uvvu
算子
r i
r j
r k
证 根据 算子的微分性质，并按乘积的微分
法
则，有 g(A B ) g(A Bc ) g(Ac B )
由矢量混合积的轮换性：
ar g(br
cr
)
cr
g(ar
r b
)
r b
g(cr
ar )
将上式两端中的常矢都轮换到▽的前面，同 时使得变矢都留在▽的后面
所以
g(A B ) g(A Bc ) g(Ac B ) g(A Bc ) g(B Ac ) Bc g( A) Ac g( B ) B g( A) A g( B ).
u
v
(24) f (r) f (r) rr f (r)rr 0, r
(25)
[
f
(r
)rr
]
r 0,
(26)
(r
3rr
)
r 0
(r
0),
（27）奥氏公式
Ò A gdS gAdV,
S
（28）斯托克斯公式
l A gdl ( A) gdS. S
例1 证明 (uv) u v v u.
例8 验证格林第一公式
Ò (u v) gdS ( vg u uv)dV
S
与格林第二公式
Ò (u v v u) gdS (uv vu)dV.
S
证 在奥氏公式Ò AgdS gAdV
S
A u v, 并应用公式（10）有
中，取
Ò (u v)gdS g(u v)dV
S
x
j
y
k
z
g(
Axi
Ay
j
Azk )
Ax Ay Az x y z
div A,
rrr i jk
A x y z
Ax Ay Az
( Az
Ay
r )i
(Ax
Az
r )j
(Ay
Az
r )k
y z
z x
x y
rot A,
由此可见，数量场u的梯度与矢量场A的散度与旋 度都可用 表示。
此外，为了在某些公式中使用方便，我们还引进
证 根据 算子的微分性质，并按乘积的微分
法则，有
(uv) (ucv) (uvc ).
在上式右端，我们根据乘积的微分法则把暂时看 成常数的量，附以下标c，待运算结束后，再将 其除去。依此，根据公式（1）就得到
(uv) ucv vc u uv v u
例2 证明 g(uA) u gA + u gA
x y z
子, ,
x y z
实际上是三个数性微分算
的线性组合，而这些数性微分算子是服从
乘积的微分法则的，就是当他们作用在两个函数的
乘积时，每次只对其中一个因子运算，而把另一个
因子看作 常数。因此作为这些数性微分算子的线性 组合的 ，在其微分性质中，自然也服从乘积的微
分法则。
明确这一点，就可以将例1简化成下面的方法来 证明。
在 ▽算子的运算中，常常用到三个矢量的
混合积公式
ar
r g(b
cr
)
cr
g(ar
r b
)
r b
g(cr
ar )
及二重矢量积公式
ar
r (b
cr
)
(ar
gcr
r )b
(ar gbr
)cr
,
这些公式都有几种写法，因此在应用这些公式 时，就要利用它的这个特点，设法将其中的常 矢都移到▽的前面，同时使得变矢都留在▽ 的后面。
证：根据 算子的微分性质，并按乘积的微分
法
则，有 g(uA) gucA+ guAc
由公式（2），（7）分别有
g(ucA) uc gA u gA.
guAc u gAc ugA
所以
g(uA) u gA + u gA
例3 证明 g(A B) B g( A) A g( B)
(18) ( A)= ( gA) A
r
r
r
（其中 A Axi Ay j Azk）
在下面的公式中
rr
r xi
r yj
r zk ,
r
rr
,
(19) r rr rr 0,
r
(20) grr 3,
(21)
rr
r 0,
(22) f (u) f (u) u,
(23) f (u, v) f u f v,
现在我们把用 表示的一些常见公式列 在下面，以便于查用，其中u，v是数性函数， A，B为矢性函数。
(1) (cu) c u （c为常数）， (2) g（cA）= c gA （c为常数）， (3) （cA）= c A （c为常数），
(4)（u v）= u v (5) g（A B）= gA gB (6) （A B）= A B (7) g（uc）= ugc （c为常矢）， (8) （uc）= u c （c为常矢）， (9)（uv）= u v v u (10) g(uA) u gA ugA (11) (uA) u A u A (12) (A gB）= A ( B ) (A g) B + B ( A)
哈密顿算子
哈密顿引进了一个矢性微分算子：
r i
r j
r k
x y z
称为哈密顿算子或 算子。
算子本身并无意义，而是一种微分运算
符
号，同时又被看作是矢量。
其运算规则如下：
u
r i
x
r j
y
r k
z
u
u x
r i
u y
r j
u z
r k
grad u,
r r r r r r
A i
(u g v uv)dV.
同理
Ò (v u)gdS (v g u vu)dV ,
S
将此两式相减，即得格林第二公式。