2020年黑龙江省哈尔滨市中考数学试卷一、选择题（共10小题）.1．（3分）8-的倒数是( )A ．18-B ．8-C ．8D ．182．（3分）下列运算一定正确的是( )A ．224a a a +=B ．248a a a =C ．248()a a =D ．222()a b a b +=+3．（3分）下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )A ．扇形B ．正方形C ．等腰直角三角形D ．正五边形4．（3分）五个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，其左视图是( )A ．B ．C ．D ．5．（3分）如图，AB 为O 的切线，点A 为切点，OB 交O 于点C ，点D 在O 上，连接AD 、CD ，OA ，若35ADC ∠=︒，则ABO ∠的度数为( )A ．25︒B ．20︒C ．30︒D ．35︒6．（3分）将抛物线2y x =向上平移3个单位长度，再向右平移5个单位长度，所得到的拋物线为( )A ．2(3)5y x =++B ．2(3)5y x =-+C ．2(5)3y x =++D ．2(5)3y x =-+7．（3分）如图，在Rt ABC ∆中，90BAC ∠=︒，50B ∠=︒，AD BC ⊥，垂足为D ，ADB ∆与ADB '∆关于直线AD 对称，点B 的对称点是点B '，则CAB '∠的度数为( )A ．10︒B ．20︒C ．30︒D ．40︒ 8．（3分）方程2152x x =+-的解为( ) A ．1x =- B ．5x = C ．7x = D ．9x = 9．（3分）一个不透明的袋子中装有9个小球，其中6个红球、3个绿球，这些小球除颜色外无其他差别，从袋子中随机摸出一个小球．则摸出的小球是红球的概率是( )A ．23B ．12C ．13D ．1910．（3分）如图，在ABC ∆中，点D 在BC 边上，连接AD ，点E 在AC 边上，过点E 作//EF BC ，交AD 于点F ，过点E 作//EG AB ，交BC 于点G ，则下列式子一定正确的是( )A ．AE EF EC CD =B ．EF EG CD AB =C ．AF BG FD GC = D ．CG AF BC AD= 二、填空题（每小题3分，共计30分）11．（3分）将数4790000用科学记数法表示为 ．12．（3分）在函数7x y x =-中，自变量x 的取值范围是 ． 13．（3分）已知反比例函数k y x =的图象经过点(3,4)-，则k 的值为 ． 14．（312466+的结果是 ． 15．（3分）把多项式269m n mn n ++分解因式的结果是 ．16．（3分）抛物线23(1)8y x =-+的顶点坐标为 ． 17．（3分）不等式组1,3352x x ⎧-⎪⎨⎪+<⎩的解集是 ．18．（3分）一个扇形的面积是213cm π，半径是6cm ，则此扇形的圆心角是 度．19．（3分）在ABC ∆中，60ABC ∠=︒，AD 为BC 边上的高，63AD =，1CD =，则BC 的长为 ．20．（3分）如图，在菱形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，点E 在线段BO 上，连接AE ，若2CD BE =，DAE DEA ∠=∠，1EO =，则线段AE 的长为 ．三、解答题（其中21～22题各7分，23～24题各8分，25～27题各10分，共计60分）21．（7分）先化简，再求代数式221(1)122x x x --÷++的值，其中4cos301x =︒-． 22．（7分）如图，方格纸中每个小正方形的边长均为1，线段AB 和线段CD 的端点均在小正方形的顶点上．（1）在图中画出以AB 为边的正方形ABEF ，点E 和点F 均在小正方形的顶点上；（2）在图中画出以CD 为边的等腰三角形CDG ，点G 在小正方形的顶点上，且CDG ∆的周长为1010+．连接EG ，请直接写出线段EG 的长．23．（8分）为了丰富同学们的课余生活，冬威中学开展以“我最喜欢的课外活动小组”为主题的调查活动，围绕“在绘画、剪纸、舞蹈、书法四类活动小组中，你最喜欢哪一类？（必选且只选一类）”的问题，在全校范围内随机抽取部分学生进行问卷调查，将调查结果整理后绘制成如图所示的不完整的条形统计图，其中最喜欢绘画小组的学生人数占所调查人数的30%．请你根据图中提供的信息回答下列问题：（1）在这次调查中，一共抽取了多少名学生？（2）请通过计算补全条形统计图；（3）若冬威中学共有800名学生，请你估计该中学最喜欢剪纸小组的学生有多少名．24．（8分）已知：在ABC∆中，AB AC=，点D、点E在边BC上，BD CE=，连接AD、AE．（1）如图1，求证：AD AE=；（2）如图2，当45DAE C∠=∠=︒时，过点B作//BF AC交AD的延长线于点F，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中的四个等腰三角形，使写出的每个等腰三角形的顶角都等于45︒．25．（10分）昌云中学计划为地理兴趣小组购买大、小两种地球仪，若购买1个大地球仪和3个小地球仪需用136元；若购买2个大地球仪和1个小地球仪需用132元．（1）求每个大地球仪和每个小地球仪各多少元；（2）昌云中学决定购买以上两种地球仪共30个，总费用不超过960元，那么昌云中学最多可以购买多少个大地球仪？26．（10分）已知：O是ABC∆的外接圆，AD为O的直径，AD BC⊥，垂足为E，连接BO，延长BO交AC于点F．（1）如图1，求证：3BFC CAD∠=∠；（2）如图2，过点D作//DG BF交O于点G，点H为DG的中点，连接OH，求证：BE OH=；（3）如图3，在（2）的条件下，连接CG，若DG DE=，AOF∆925，求线段CG的长．27．（10分）已知：在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线AB与x轴的正半轴交于点A，与y轴的负半轴交于点B，OA OB=，过点A作x轴的垂线与过点O的直线相交于点C，直线OC的解析式为34y x=，过点C作CM y⊥轴，垂足为M，9OM=．（1）如图1，求直线AB的解析式；（2）如图2，点N在线段MC上，连接ON，点P在线段ON上，过点P作PD x⊥轴，垂足为D，交OC于点E，若NC OM=，求PEOD的值；（3）如图3，在（2）的条件下，点F为线段AB上一点，连接OF，过点F作OF的垂线交线段AC于点Q，连接BQ，过点F作x轴的平行线交BQ于点G，连接PF交x轴于点H，连接EH，若DHE DPH∠=∠，2GQ FG AF-=，求点P的坐标．参考答案一、选择题（每小题3分，共计30分）1．（3分）8-的倒数是( )A ．18-B ．8-C ．8D ．18 解：8-的倒数是18-， 故选：A ．2．（3分）下列运算一定正确的是( )A ．224a a a +=B ．248a a a =C ．248()a a =D ．222()a b a b +=+ 解：A 、2222a a a +=，原计算错误，故此选项不合题意；B 、246a a a =，原计算错误，故此选项不合题意；C 、248()a a =，原计算正确，故此选项合题意；D 、222()2a b a ab b +=++，原计算错误，故此选项不合题意．故选：C ．3．（3分）下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )A ．扇形B ．正方形C ．等腰直角三角形D ．正五边形解：A 、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；B 、既是轴对称图形又是中心对称图形，故本选项符合题意；C 、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；D 、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意．故选：B ．4．（3分）五个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，其左视图是( )A ．B ．C ．D ．解：从左边看第一层是两个小正方形，第二层右边一个小正方形，故选：C ．5．（3分）如图，AB 为O 的切线，点A 为切点，OB 交O 于点C ，点D 在O 上，连接AD 、CD ，OA ，若35ADC ∠=︒，则ABO ∠的度数为( )A ．25︒B ．20︒C ．30︒D ．35︒ 解：AB 为圆O 的切线，AB OA ∴⊥，即90OAB ∠=︒，35ADC ∠=︒，270AOB ADC ∴∠=∠=︒，907020ABO ∴∠=︒-︒=︒．故选：B ．6．（3分）将抛物线2y x =向上平移3个单位长度，再向右平移5个单位长度，所得到的拋物线为( )A ．2(3)5y x =++B ．2(3)5y x =-+C ．2(5)3y x =++D ．2(5)3y x =-+ 解：由“上加下减”的原则可知，将抛物线2y x =向上平移3个单位所得抛物线的解析式为：23y x =+；由“左加右减”的原则可知，将抛物线23y x =+向右平移5个单位所得抛物线的解析式为：2(5)3y x =-+；故选：D ．7．（3分）如图，在Rt ABC ∆中，90BAC ∠=︒，50B ∠=︒，AD BC ⊥，垂足为D ，ADB ∆与ADB '∆关于直线AD 对称，点B 的对称点是点B '，则CAB '∠的度数为( )A ．10︒B ．20︒C ．30︒D ．40︒解：90BAC ∠=︒，50B ∠=︒，40C ∴∠=︒，ADB ∆与ADB '∆关于直线AD 对称，点B 的对称点是点B '，50AB B B '∴∠=∠=︒，10CAB AB B C ''∴∠=∠-∠=︒，故选：A ．8．（3分）方程2152x x =+-的解为( ) A ．1x =- B ．5x = C ．7x = D ．9x =解：方程的两边同乘(5)(2)x x +-得：2(2)5x x -=-，解得9x =，经检验，9x =是原方程的解．故选：D ．9．（3分）一个不透明的袋子中装有9个小球，其中6个红球、3个绿球，这些小球除颜色外无其他差别，从袋子中随机摸出一个小球．则摸出的小球是红球的概率是( )A ．23B ．12C ．13D ．19解：袋子中一共有9个除颜色不同外其它均相同的小球，其中红球有6个，∴摸出的小球是红球的概率是6293=， 故选：A ．10．（3分）如图，在ABC ∆中，点D 在BC 边上，连接AD ，点E 在AC 边上，过点E 作//EF BC ，交AD 于点F ，过点E 作//EG AB ，交BC 于点G ，则下列式子一定正确的是( )A ．AE EF EC CD =B ．EF EG CD AB =C ．AF BG FD GC = D ．CG AF BC AD = 解：//EF BC ，∴AF AE FD EC=， //EG AB ，∴AE BG EC GC =， ∴AF BG FD GC=， 故选：C ．二、填空题（每小题3分，共计30分）11．（3分）将数4790000用科学记数法表示为 64.7910⨯ ．解：64790000 4.7910=⨯，故答案为：64.7910⨯．12．（3分）在函数7x y x =-中，自变量x 的取值范围是 7x ≠ ． 解：由题意得70x -≠，解得7x ≠．故答案为：7x ≠．13．（3分）已知反比例函数k y x =的图象经过点(3,4)-，则k 的值为 12- ． 解：反比例函数k y x=的图象经过点(3,4)-， 3412k ∴=-⨯=-，故答案为：12-．14．（3+的结果是． 解：原式==．故答案为：．15．（3分）把多项式269m n mn n ++分解因式的结果是 2(3)n m + ． 解：原式2(69)n m m =++2(3)n m =+．故答案为：2(3)n m +．16．（3分）抛物线23(1)8y x =-+的顶点坐标为 (1,8) ． 解：抛物线23(1)8y x =-+是顶点式， ∴顶点坐标是(1,8)．故答案为：(1,8)．17．（3分）不等式组1,3352x x ⎧-⎪⎨⎪+<⎩的解集是 3x - ． 解：13352x x ⎧-⎪⎨⎪+<⎩①②，由①得，3x -；由②得，1x <-，故此不等式组的解集为：3x -．故答案为：3x -．18．（3分）一个扇形的面积是213cm π，半径是6cm ，则此扇形的圆心角是 130 度． 解：设这个扇形的圆心角为n ︒，2613360n ππ⨯=， 解得，130n =，故答案为：130．19．（3分）在ABC ∆中，60ABC ∠=︒，AD 为BC边上的高，AD =1CD =，则BC 的长为 5或7 ．解：在Rt ABD ∆中，60ABC ∠=︒，63AD =，636tan 3AD BD B ∴===， 如图1、图2所示：617BC BD CD =+=+=，615BC BD CD =-=-=，故答案为：7或5．20．（3分）如图，在菱形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，点E 在线段BO 上，连接AE ，若2CD BE =，DAE DEA ∠=∠，1EO =，则线段AE 的长为 22 ．解：设BE x =，则2CD x =，四边形ABCD 为菱形，2AB AD CD x ∴===，OB OD =，AC BD ⊥，DAE DEA ∠=∠，2DE DA x ∴==，3BD x ∴=，32OB OD x ∴==， OE BE BO +=，312x x ∴+=，解得2x =， 即4AB =，3OB =，在Rt AOB ∆中，22437OA =-=，在Rt AOE ∆中，221(7)22AE =+=．故答案为22．三、解答题（其中21～22题各7分，23～24题各8分，25～27题各10分，共计60分）21．（7分）先化简，再求代数式221(1)122x x x --÷++的值，其中4cos301x =︒-． 解：原式12(1)1(1)(1)x x x x x -+=+-+ 21x =+， 34cos301412312x =︒-=⨯-=-， ∴原式2332311==-+． 22．（7分）如图，方格纸中每个小正方形的边长均为1，线段AB 和线段CD 的端点均在小正方形的顶点上．（1）在图中画出以AB 为边的正方形ABEF ，点E 和点F 均在小正方形的顶点上；（2）在图中画出以CD 为边的等腰三角形CDG ，点G 在小正方形的顶点上，且CDG ∆的周长为1010+．连接EG ，请直接写出线段EG 的长．解：（1）如图，正方形ABEF 即为所求．（2）如图，CDG ∆即为所求．23．（8分）为了丰富同学们的课余生活，冬威中学开展以“我最喜欢的课外活动小组”为主题的调查活动，围绕“在绘画、剪纸、舞蹈、书法四类活动小组中，你最喜欢哪一类？（必选且只选一类）”的问题，在全校范围内随机抽取部分学生进行问卷调查，将调查结果整理后绘制成如图所示的不完整的条形统计图，其中最喜欢绘画小组的学生人数占所调查人数的30%．请你根据图中提供的信息回答下列问题：（1）在这次调查中，一共抽取了多少名学生？（2）请通过计算补全条形统计图；（3）若冬威中学共有800名学生，请你估计该中学最喜欢剪纸小组的学生有多少名．解：（1）1530%50÷=（名)，答：在这次调查中，一共抽取了50名学生；（2）501520510---=（名)，补全条形统计图如图所示：（3）2080032050⨯=（名)，答：冬威中学800名学生中最喜欢剪纸小组的学生有320名．24．（8分）已知：在ABC∆中，AB AC=，点D、点E在边BC上，BD CE=，连接AD、AE．（1）如图1，求证：AD AE=；（2）如图2，当45DAE C∠=∠=︒时，过点B作//BF AC交AD的延长线于点F，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中的四个等腰三角形，使写出的每个等腰三角形的顶角都等于45︒．【解答】（1）证明：AB AC =，B C ∠=∠， 在ABD ∆和ACE ∆中，AB AC B C BD CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()ABD ACE SAS ∴∆≅∆，AD AE ∴=；（2）AD AE =，ADE AED ∴∠=∠，//BF AC ，45FDB C ∴∠=∠=︒，45ABC C DAE ∠=∠=∠=︒，BDF ADE ∠=∠，F BDF ∴∠=∠，BEA BAE ∠=∠，CDA CAD ∠=∠，∴满足条件的等腰三角形有：ABE ∆，ACD ∆，DAE ∆，DBF ∆．25．（10分）昌云中学计划为地理兴趣小组购买大、小两种地球仪，若购买1个大地球仪和3个小地球仪需用136元；若购买2个大地球仪和1个小地球仪需用132元．（1）求每个大地球仪和每个小地球仪各多少元；（2）昌云中学决定购买以上两种地球仪共30个，总费用不超过960元，那么昌云中学最多可以购买多少个大地球仪？解：（1）设每个大地球仪x 元，每个小地球仪y 元，根据题意可得：31362132x y x y +=⎧⎨+=⎩， 解得：5228x y =⎧⎨=⎩，答：每个大地球仪52元，每个小地球仪28元；（2）设大地球仪为a 台，则每个小地球仪为(30)a -台，根据题意可得： 5228(30)960a a +-，解得：5a ，答：最多可以购买5个大地球仪．26．（10分）已知：O 是ABC ∆的外接圆，AD 为O 的直径，AD BC ⊥，垂足为E ，连接BO ，延长BO 交AC 于点F ．（1）如图1，求证：3BFC CAD ∠=∠；（2）如图2，过点D 作//DG BF 交O 于点G ，点H 为DG 的中点，连接OH ，求证：BE OH =；（3）如图3，在（2）的条件下，连接CG ，若DG DE =，AOF ∆的面积为925，求线段CG 的长． 【解答】证明：（1）AD 为O 的直径，AD BC ⊥，BE EC ∴=，AB AC ∴=， 又AD BC ⊥，BAD CAD ∴∠=∠，OA OB =，BAD ABO ∴∠=∠，BAD ABO CAD ∴∠=∠=∠，BFC BAC ABO ∠=∠+∠，3BFC BAD EAD ABO CAD ∴∠=∠+∠+∠=∠；（2）如图2，连接AG ，AD是直径，∴∠=︒，AGD90点H是DG中点，∴=，DH HG又AO DO=，=，AG OH∴，2//OH AG∴∠=∠=︒，90AGD OHDDG BF，//BOE ODH∴∠=∠，又90∠=∠=︒，BO DO=，OEB OHD∴∆≅∆，()BOE ODH AAS∴=；BE OH（3）如图3，过点F作FN AD⊥，交AD于N，设2==，DG DE x∴==，DH HG x∆≅∆，BOE ODH∴==，OE DH x∴===，OD x OA OB32222∴=-=-=，BE OB OE x x x92∠=∠，BAE CAEtan tan BE NF BAE CAE AE AN ∴∠=∠==， ∴224x NF x AN=， 2AN NF ∴=，BOE NOF ∠=∠，tan tan BE NF BOE NOF OE ON ∴∠=∠==， ∴22x NF x ON=， 24ON NF ∴=， 524AO AN ON NF ∴=+=， AOF ∆的面积为925， ∴21152922245AO NF NF ⨯⨯=⨯=， 625NF ∴=， 52334AO NF x ∴===， 1x ∴=，22BE OH ∴==，4AE =，2DG DE ==，2216826AC AE CE ∴=+=+=，如图3，连接AG ，过点A 作AM CG ⊥，交GC 的延长线于M ，由（2）可知：22AG OH ==四边形ADGC 是圆内接四边形，ACM ADG ∴∠=∠，又90AMC AGD ∠=∠=︒，ACM ADG ∴∆∆∽， ∴AD AG DG AC AM CM ==， ∴642226AM CM==， 263CM ∴=，833AM =， 2264463233GM AG AM ∴=-=-=， 263CG GM CM ∴=-=． 27．（10分）已知：在平面直角坐标系中，点O 为坐标原点，直线AB 与x 轴的正半轴交于点A ，与y 轴的负半轴交于点B ，OA OB =，过点A 作x 轴的垂线与过点O 的直线相交于点C ，直线OC 的解析式为34y x =，过点C 作CM y ⊥轴，垂足为M ，9OM =． （1）如图1，求直线AB 的解析式；（2）如图2，点N 在线段MC 上，连接ON ，点P 在线段ON 上，过点P 作PD x ⊥轴，垂足为D ，交OC 于点E ，若NC OM =，求PE OD的值； （3）如图3，在（2）的条件下，点F 为线段AB 上一点，连接OF ，过点F 作OF 的垂线交线段AC 于点Q ，连接BQ ，过点F 作x 轴的平行线交BQ 于点G ，连接PF 交x 轴于点H ，连接EH ，若DHE DPH ∠=∠，2GQ FG AF -=，求点P 的坐标．解：（1）CM y ⊥轴，9OM =，9y ∴=时，394x =，解得12x =， (12,9)C ∴，AC x ⊥轴， (12,0)A ∴，OA OB =，(0,12)B ∴-，设直线AB 的解析式为y kx b =+，则有12120b k b =-⎧⎨+=⎩， 解得112k b =⎧⎨=-⎩， ∴直线AB 的解析式为12y x =-．（2）如图2中，90CMO MOA OAC ∠=∠=∠=︒，∴四边形OACM 是矩形，12AO CM ∴==，9NC OM ==，1293MN CM NC ∴=-=-=，(3,9)N ∴，∴直线ON 的解析式为3y x =，设点E 的横坐标为4a ，则(4,0)D a ，4OD a ∴=，把4x a =，代入34y x =中，得到3y a =， (4,3)E a a ∴，3DE a ∴=， 把4x a =代入，3y x =中，得到12y a =，(4,12)P a a ∴，12PD a ∴=，1239PE PD DE a a a ∴=-=-=，∴94PE OD =．（3）如图3中，设直线FG 交CA 的延长线于R ，交y 轴于S ，过点F 作FT OA ⊥于T ．//GF x 轴，90OSR MOA ∴∠=∠=︒，90CAO R ∠=∠=︒，90BOA BSG ∠=∠=︒，OAB AFR ∠=∠， 90OFR R AOS BSG ∴∠=∠=∠=∠=︒，∴四边形OSRA 是矩形，OS AR ∴=，12AR OA ==，OA OB =，45OBA OAB ∴∠=∠=︒，904545FAR ∴∠=︒-︒=︒，FAR AFR ∴∠=∠，FR AR OS ∴==，OF FQ ⊥，90OSR R OFQ ∴∠=∠=∠=︒， 90OFS QFR ∴∠+∠=︒， 90QFR FQR ∠+∠=︒， OFS FQR ∴∠=∠，()OFS FQR AAS ∴∆≅∆， SF QR ∴=，45SFB AFR ∠=∠=︒， 45SBF SFB ∴∠=∠=︒， SF SB QR ∴==，SGB QGR ∠=∠，BSG R ∠=∠， ()BSG QRG AAS ∴∆≅∆， 6SG GR ∴==，设FR m =，则AR m =，AF =，12QR SF m ==-，GQ FG -=，66GQ m m ∴=+-=+， 222GQ GR QR =+，222(6)6(12)m m ∴+=+-， 解得4m =，8FS ∴=，4AR =，OAB FAR ∠=∠，FT OA ⊥，FR AR ⊥， 4FT FR AR ∴===，90OTF ∠=︒， ∴四边形OSFT 是矩形， 8OT SF ∴==，DHE DPH ∠=∠，tan tan DHE DPH ∴∠=∠，∴DE DH DH PD=， 由（2）可知3DE a =，12PD a =， ∴312a DH DH a=， 6DH a ∴=，12tan 26PD a PHD DH a ∴∠===， PHD FHT ∠=∠， tan 2TF FHT HT ∴∠==， 2HT ∴=，OT OD DH HT =++， 4628a a ∴++=， 35a ∴=， 125OD ∴=，3361255PD =⨯=， 12(5P ∴，36)5．。