(x ,,t)x ,dv ,利用电荷守恒定律(1) 两种介质的分界面上不带自由电荷时，电力线的曲折满足tan 2tan 1(2)tan 2tan 1其中1,,2分别为两种介质的电导率。
2二证明题2.已知一个电荷系统的偶极矩定义为p(t)v3证明:中1和2分别为两种介质的介电常数， 1和2分别为界面两侧电力线与法线的夹 角.当两种导电介质内流有稳恒电流时，分界面上电力线曲折满足解：(1 )考虑到界面上无自由电荷，故知:Dm D 2n 即D 1 cos 1 D 2 cos 2且n (E 2 E 1) 0即 E 1t E 2tE 1 sin 1 E 2 sin 2D 1 1E 1D 2 2E 20证明的变化率为dpdtJ (x ,t)dv v 解： p(t) (x ,,t)x ,dv ,(T 就是方向符号) vX ’与时间无关，取的 p(t) 一个分量为 P i (t) dP i (t)dt (x , ,t)x i dv , vP i (t) (X i’,t)dv v -(x J i ) ds J i dv , s v x 「 J j dv (x , J i )dv (J i )dvv v v(p 上的乱码为p 上一个点，rou 也是，dv 后都有一小撇) 考虑到积分区域的表面比电荷所在区域大得多时，表面上的电流为 0。
(x 「JJ ds =os所以 dP i ⑴dt J i dv v故得 dp dtJ(x ,,t)dv ,vE 1sin 1 E 2 sin 2 1E 1cos2 E 2 cos即得 tan2 tan 1E it E 2t 即 E i sin 1 E 1sin 2且J 11E 1J 22 E 2故得uvuv v10.设A 和 是满足洛伦兹规范的失势和标势。
引入一矢量函数Z （x,t ）（即赫芝uv uv 1 Z势），使 gZ ，证明A 冷上c t（字母上边的均为方向符号，其中g 为称号） uv 1证明：在洛伦兹规范gA 二 0c t下A 和遵从达朗贝尔方程：（12Auv0J，21 2 / 02丄22丄2ctc t将uvgZ (3)代入 (1) 式得 uv 1 (AZ) =0(4)ct因为 (1) 式对任意点任意时刻都成立， 故方程(2)4）对任意点任意时刻也成立,电场具有球对称性分布，利用（2） —直导电介质内流有稳恒电流故J 0可知 J 1n J 2n 即J 1cos 1J 2COS 2又知稳恒电流的电场与静电场之边界条件相同，故uv uv 1 Z 因此括号内两个矢量最多只相差一个无散场， 令其为0,便有A -上 （5）c t三计算题1有一内外半径分别为 门和r 2的空心介质球，介质的介电常数为，使介质内均匀带静止 电荷 f ，求（1） 空间各点的电场（2） 极化体电荷和极化面电荷分布解：（1）空间各点的电场由于自由电荷均匀分布在介质球内, 高斯2 COS1 sin 1定理可解得/33 (D ri )f(r 3 r i 3) f3 o r 3(r D) (r i r j) 在（r ir a ）范围内存在极化体电荷/ 33L(r 2r i ) fE 2 3r3 r 2(r 2 r i ) f—- (i -)3r 2ri)0^ri3) f(r)3 r 23在r=r i 的球面上的极化面电荷p(前边是r=ri)n (P 2 P 3)P 3 0 P，2 e °E‘2E，2r ri沿向流有稳恒自由电流 J f ，导体的磁导率(r r i )（3） 极化体电荷和极化面电荷分布:pPPe 0E (ri)0EEp(r i) 0Ef()——(r ir D)或p(i 」）f在 r=r 2 球面上的 1 勺极化面 电荷p(前边是r=r2)n (P 2 P i ) n (「 i) 0E 22.内外半径分别为r i 和r 2的无穷长中空导体圆柱,为。
求磁感应强度和磁化电流。
解：沿中空倒替圆柱轴向流动的均匀自由电流J f 所产生的磁感应强度具有轴对称性， 因而可应用安培环路定律求 B 三个不同区域的 B 可分别算出/ 2 20(J r1 )2 2(r 口)2r3(r(ri(r现在计算磁化电流:J MJ M m H磁化电流面密度为n是柱面外法线单位矢径当r=r2 时，H H2当r=ri时D)r i)m H1)J f (—2If1)J fm n HM2(—1)2 2^J2 J f2「2H H20 M10a的半球凸部（如图），半球的球心在导体平面上，点16.在接地的导体平面上有一半径为电荷Q位于系统的对称轴上，并与平面相距为b（b>a），试用电象法求空间电势。
解：如图，根据一点电荷附近置一无限大接地导体平板和一点电荷附近置一接地导体球两个模型，可确定三个镜像电荷的电量和位置。
2ae z ；Q2bbe z，所以Q iQ3Qa cQ，bQ，ri-Q，ba2「；[ - R2)COSR2 b2 2Rbcos 4ab222a Rcos b __________ a ]b. R2 a22a Rcos\ b2 b(a)17.有一点电荷Q 位于两个互相垂直的接地导体平面所 围成的直角空间内，它到两个平面的距离为 a 和b , 求空间电势。
解：用电像法，可以构造如图所示的三个象电荷来代替两导体板的作用。
Q [ 1 140 .(x X o )2(y a)2 (z b)2.(x X o )2 (y a)2 (z b)2 .(X X o )2 (y a)2 (z b)2 .(x X o )2 (y a)2 (z b)2 ],(y,z 0)20.有一块磁矩为 m 的小永磁体，位于一块磁导率非常大的实物的平坦界面附近的真空中, 求作用在小永磁体上的力 F 。
解：根据题意，因为无穷大平面的 谊艮大，则在平面上所有的 H 均和平面垂直，类比于静电 场，构造磁矩 m 关于平面的镜像 m',则外场为： B e0 m m R mcos而m A 34 r 4 r 2m ,2 cos sin 、 B e 0 , -( 3 er 3 e ) 4r r m 受力为:c 23 o m 2F (m )B e r 2a (1 cos 64 a 421. 一平面电磁波以 45。
从真空入射到 r 2 数和折射系数。
3 (2 cos e r sin e ) 4 r )e z 的介质，电场强度垂直于入射面， 求反射系 解：设n 为界面法向单位矢量， S 、 S'>S"分别为入射波、反射波和折射波的玻印 亭矢量的周期平均值，则反射系数 R 和折射系数T 定义为： 2 n ? COS E 02- n 1 cos E o又根据电场强度垂直于入射面的菲涅耳公式，可得 — 2 小小小H 2 COS---- , T II 2 COS 30，代入上式，2 3 2 R -J 1 COS 「COS 根据折射定律可得：R 2 32 、3 ' II22.有两个频率和振幅都相等的单色平面波沿/2 , 方向偏振，但相位比前者超前 怎样的两个线偏振？) 解：偏振方向在 x 轴上的波可记为 E x A o cos( t X 在y 轴上的波可记为kz) E yA o COS ( tkz 0y 0X合成得轨迹方程为:E 2E 2x yA [cos 2( t< 1 • 2 COS COS " 2 1 R (,1 COS / 2 COS ")得 z 轴传播，一个波沿 X 方向偏振，另一个沿 y 求合成波的偏振。
(反之，一个圆偏振可以分解为 A o COS( t ox )/ 2) A o COS ( t0y )0x )cos 2( t0y)]A0[COS2( t 0x) Sin2( t ox)] Ao所以，合成的振动是一个圆频率为的沿z轴方向传播的右旋圆偏振。
[反之一个圆偏振可以分解为两个偏振方向垂直，同振幅，同频率，相位差为/2的线偏振的合成。
] (另一问)。
23.已知海水的r1 , 1S • m-1，试计算频率为50, 106和109Hz的三种电磁波在海水中的透入深度。
解：取电磁波以垂直于海水表面的方式入射，透射深度为：26. 一对无限大的平行理想导体板，相距为b,电磁波沿平行于板面的z方向传播，设波在x方向是均匀的，求可能传播的波模和每种波模的截止频率。
解：在导体板之间传播的电磁波满足亥姆霍兹方程：(2k2)E 0k :孑0 0E 0令U (x, y, z)是E的任意一个直角分量，由于E在x方向上是均匀的，所以U(x,y,z) U(y,z) Y(y)Z(z)在y方向由于有金属板作为边界，所以取驻波解；在z方向是无界空间，取行波解。
所以通解为：U (x, y, z) (C1S in k y y D1cosk y y)e ikzz由边界条件：n E 0和E n/ n 0定解，得到E x A sin(n y/ b)e l(kzz；E y A> cos(n y/b)e i(kzz t}；E z A S sin(n y/b)e i(kzz t}且k /C n /b k z，( n 0,1,2, )又由E 0得: A1 独立，与A2, A S无关，A2n /b ik z A3令k z=0得截止频率：C n c/b30.设有两根互相平行的尺，在各自静止的参考系中的长度均为，它们以相同速率v相对于某一参考系运动，但运动方向相反，且平行于尺子。
求站在一根尺上测量另一根尺的长度。
解：根据相对论速度交换公式可得'2系相对于'1的速度大小是2 2(1)v' 2v /(1 v2/ C2)•••在'1系中测量'2系中静长为0 l的尺子的长度为l l01 v'2/C2(2)将( 1) 代入(2)即得：l l0(1 v2/C2)/(1 v2/c2) (3) 此即是在'1系中观测到的相对于‘2静止的尺子的长度。
解：取地面为静止的参考系'。
取X轴与X’轴向一致，令t=o时并令此处为在为系与系中光经过t X'右X'左即: d'右'的原点，如图。
l o/C的时间后同时照亮左右两塔,但在，列车为运动的参'系中观察两塔的位置坐标l o vt2 / 2v/clo_vt_2 / 2v /c___ [o_、1 v2/clo—2(1v/c) 、1 v/c=T^(1 v/c)v / c2(1v/c) , d'左丨0、1 v2/c2(1 v/c)d'左2vl o_ c c2.1 v2/c2d'右31.静止长度为l o的车厢，以速度v相对于地面S运行，车厢的后壁以速度u o向前推出一个小球，求地面观察者看到小球从后壁到前壁的运动时间。