m>1时,X的全部取值为:m,m+1,m+2,…
P{X=m+1}=P{第m+1次试验时成功并 且在前m次试验中成功了m-1次}
7
常见的离散型随机变量的分布 (1) 0 – 1 分布
X = xk 1
0
Pk
p 1-p
0<p<1
应用场合 凡试验只有两个可能的结果，常用 0 – 1分布描述，如产品是否合格、人口性别统 计、系统是否正常、电力消耗是否超标等等.
(n 1) p 1 k (n 1) p
14
当( n + 1) p = 整数时,在 k = ( n + 1) p与 ( n + 1) p – 1 处的概率取得最大值
当( n + 1) p 整数时, 在 k = [( n + 1) p ]
处的概率取得最大值
对固定的 n、p, P ( X = k) 的取值呈不 对称分布 固定 p, 随着 n 的增大，其取值的分布 趋于对称
场 ⑤ 放射性物质发出的 粒子数；
合 ⑥ 一匹布上的疵点个数；
⑦ 一个容器中的细菌数；
⑧ 一本书一页中的印刷错误数；
23
都可以看作是源源不断出现的随机 质点流 , 若它们满足一定的条件, 则称为 Poisson 流, 在 长为 t 的时间内出现的质
点数可X见t ~泊P松( 分t )布的应用是相当广泛的，
而且由下面定理可以看到二项分布与泊松
分布有着密切的联系。
泊松定理 在二项分布 B(n, pn ) 中，如果
lim npn ( 0 是常数），则成立
lim
n
Cnk
pnk
(1
pn )nk
k e
k!
(k 0,1,).
24
例7 某种药品的过敏反应率为0.0001，
今有20000人使用此药品，求20000人中发生过 敏反应的人数不超过3的概率。
对应概率为 p1, p2 ,, pk ,, 即
P( X xk ) pk (k 1,2,)
则称上式为离散型随机变量X的概率分布，又
称分布律。
分布律也可以通过列表表示：
X
x1 x2 xk
P
p1 p2 pk
其中第一行表示随机变量所有可能的取
值，第二行表示这些取值所对应的概率。 2
P 0.273•
由图表可见 , 当 k 2或3 时， 分布取得最大值
P8(2) P8(3) 0.273 此时的 k 称为最可能成功次数
••••••••• 012345678
x
10
0.25 0.2
0.15 0.1
0.05
2
4
6
8
11
设 X ~ B(20,0.2)
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 ~ 20 .01 .06 .14 .21 .22 .18 .11 .06 .02 .01 .002 < .001
P{ X k} 0.001, 当 k 11时
19
图示概率分布
20
(3) Poisson 分布
设随机变量所有可能取的值为0, 1, 2,,而取各个 值的概率为
P{ X k} ke , k 0,1,2,,
k!
其中 0是常数.则称X 服从参数为的泊松分 布,记为 X ~ P().
P
(
X
0)CC5333
1 10
P(
X
1)CC32C53 21
6 10
P(
X
2)CC31C53 22
3 10
其分布律为
X 012
pk 0.1 0.6 0.3
4
例2 某射手连续向一目标射击，直到命中
为止，已知他每发命中的概率是p，求所需射
击发数X的概率函数分布列. 解: 显然，X 可能取的值是1,2,… ，
0.1756
16
(2) 令X 表示命中次数,则 X ~ B(5000,0.001)
P(X 1) 1 P(X 1) 1 P(X 0)
1
C
0 5000
(0.001)0
(0.999)5000
0.9934.
※ 小概率事件虽不易发生，但重 复次数多了，就成大概率事件.
17
例5 按规定,某种型号电子元件的使用寿命超过 1500 小时的为一级品.已知某一大批产品的一级 品率为0.2, 现在从中随机地抽查20只.问20只元件 中恰有 k 只(k 0,1,,20) 一级品的概率是多少?
15
例4 独立射击5000次, 每次命中率为0.001, 求 (1) 最可能命中次数及相应的概率； (2) 命中次数不少于1 次的概率.
解 (1) k = [( n + 1)p ] = [( 5000+ 1)0.001] =5
P5000(5) C55000(0.001)5 (0.999)4995
25
如果利用近似公式
Cnk p k (1
p)nk
k e
k!
( np)
计算，可以得到： 200000.0001 2，且
P(X 3) P(X 0) P(X 1) P(X 2) P(X 3)
20 e2 21 e2 22 e2 23 e2
§2.2离散型随机变量及其分布律
如果随机变量的取值是有限个或可数个 (即能与自然数的集合一一对应），则称该变
量为离散型随机变量。
为了描述随机变量 X ，我们不仅需要知 道随机变量X的所有可能取值，而且还应知道 X 取每个值的概率.为此我们有以下定义：
1
定义 设X是一个离散型随机变量，它可
能取值为 x1, x2 ,, xk ,,并且取各个值的
称 X 服从参数为 p 的几何分布。
对于离散型随机变量，如果知道了它的 概率函数,也就知道了该随机变量取值的概率 规律.下一节，我们将介绍连续型随机变量。
6
例3 进行独立重复试验，每次成功的概率为p， 令X表示直到出现第m次成功为止所进行的试 验次数，求X的分布律。 解:m=1时, P{X k} (1 p)k1 p, k 1,2,...
21
例6 设某国每对夫妇的子女数X服从参数为的泊松分 布,且知一对夫妇有不超过1个孩子的概率为3e-2.求 任选一对夫妇,至少有3个孩子的概率。 解:由题意,
22
在某个时段内：
① 大卖场的顾客数；
应 用
② 市级医院急诊病人数； ③ 某地区拨错号的电话呼唤次数； ④ 某地区发生的交通事故的次数.
则称 X 服从参数为n, p 的二项分布，记作
X ~ B(n, p)
0–1 分布是 n = 1 的二项分布
9
二项分布的取值情况 设
X
~
B( 8,
1 3
)
P8 (k)
P( X
k) C8k ( 13)k (1
)1 8k 3
,
k 0,1,,8
0 1 2 34 5 6 7 8
.039 .156 .273 .273 .179 .068 .017 .0024 .0000
设 Ak = {第 k 发命中}，k 1,2, ，
于是
P(X 1)P(A1) p P(X 2)P(A1A2 ) (1 p) p P(X 3)P( A1A2 A3) (1 p)2 p
5
类似地，有
P(X k)(1 p)k1p, k 1,2,
这就是求所需射击发数X的分布列.
P{ X 0} 0.012 P{ X 4} 0.218 P{ X 8} 0.022 P{ X 1} 0.058 P{ X 5} 0.175 P{ X 9} 0.007 P{ X 2} 0.137 P{ X 6} 0.109 P{ X 10} 0.002 P{ X 3} 0.205 P{ X 7} 0.055
P
由图表可见 , 当 k 4 时，
0.22 •
分布取得最大值
P20(4) 0.22
• • • •• •• • • • • • • • • • • • • • • x
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
20
12
0.2 0.15
0.1 0.05
5
10
15
20
13
二项分布中最可能出现次数的定义与推导
注 其分布律可写成
P( X k) pk (1 p)1k , k 0,1
8
(2) 二项分布 n 重Bernoulli 试验中, X 是事件A 在 n 次试 验中发生的次数 , P (A) = p ,若
Pn (k) P( X k) Cnk pk (1 p)nk , k 0,1,, n
若P(X k) P(X j), j X 可取的一切值
则称 k 为最可能出现的次数
记 pk P(X k) Cnk pk (1 p)nk , k 0,1,, n
pk1 (1 p)k 1 pk p(n k 1)
pk (1 p)(k 1) 1 pk1 p(n k)
分布律的性质
pk 0, k 1,2,
pk 1
k 1
非负性 规范性
反过来，假如有一列数 pk 满足
pk 0 且 pk 1 k 1
则该数列可以定义为某离散型随机变量的分 布律。
3
例1 如右图所示，从中任取3个
球。取到的白球数X是一个随机变
量。X可能取的值是0,1,2。取每个值的概率为
分析 这是不放回抽样.但由于这批元件的总数很 大, 且抽查元件的数量相对于元件的总数来说又很 小,因而此抽样可近似当作放回抽样来处理.
