向量基本定理与不等式,、三角函数相结合
例题1： 在Rt ABC ∆中，090A ∠=，点D 是边BC 上的动点，且3AB =,4AC =,(0,0)AD AB AC λμλμ=+>>，则当λμ取得最大值时， AD 的值为 解析：由090A ∠=可将三角形放入平面直角坐标系中，建立如图坐标系，
其中()00A ，，()30B ，，()04C ，
∵(0,0)AD AB AC λμλμ=+>>∴1λμ+= ∵2λμλμ+≥14λμ≤当且仅当12λμ==时取等号 ()()111133004222222AD AB AC AB AC λμ⎛⎫=+=
+=+= ⎪⎝⎭，，， ∴2235222AD ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭
变式1： 已知点A 在线段BC 上（不含端点），O 是直线BC 外一点，且20OA aOB bOC --=,则221a b a b b
+++的最小值是___________ 分析：本题主要考查了不等式，不等式求最值问题，属于中档题。

解决此类问题，重要的思路是如何应用均值不等式或其他重要不等式，很多情况下，要根据一正、二定、三取等的思路去思考，本题根据条件构造21a b +=，研究的式子分别加1后变形，即可形成所需条件，应用均值不等式.
解析：由20OA aOB bOC --=可得， 2OA aOB bOC =+，根据A 、B 、C 三点共线可得21a b +=，且0,0a b >>，
所以()222222211222221222a b a b a a b b a b a b a b b a b a b b a b a b
+++++++=-+-=+-≥+++++++ 所以最小值为222，故填222.
变式2： 给定两个长度为1的平面向量,OA OB ，它们的夹角为120.如图1所示，点C 在以
O 为圆心的圆弧AB 上变动.若,OC xOA yOB =+其中,x y R ∈，
则x y +的最大值是______. 思考方向一 ：考虑特值法
解法1 当C 与A 重合时，10,OC OA OB =⨯+⨯1x y +=，
当C 与B 重合时，01,OC OA OB =⨯+⨯1x y +=，
当C 从AB 的端点向圆弧内部运动时，1x y +>，
于是猜想当C 是AB 的中点时，x y +取到最大值.
当C 是AB 的中点时，由平面几何知识OACB 是菱形，
∴,OC OA OB =+∴11 2.x y +=+=
猜想x y +的最大值是2.
思考方向二：考虑坐标法
建立如图3，所示的平面直角坐标系，设AOC α∠=，则13(1,0),(,),(cos ,sin )22A B C αα-. 于是OC xOA yOB =+可化为：13(cos ,sin )(1,0)(,)22
x y αα=+-， ∴1cos ,23sin .2x y y αα⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
（1）
解法2：函数法求最值
由方程组（1）得： 1cos sin ,32sin .3x y ααα⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
∴3sin cos 2sin(30)x y ααα+=+=+，
又0120α≤≤，∴当30α=时，max () 2.x y +=
解法3：不等式法求最值
由方程组（1）得：222221sin cos ()3x y xy x y xy αα=+=+-=+-， ∴211()33xy x y =+-，由0,0x y >>，及2x y xy +≥得：2()4x y xy +≥， ∴2()4x y +≤，∴2x y +≤，当且仅当1x y ==时取等号，∴max () 2.x y +=
思考方向三：考虑向量的数量积的运算
解法：两边点乘同一个向量
∵,OC xOA yOB =+∴,.
OC OA xOA OA yOB OA OC OB xOA OB yOB OB ⎧⋅=⋅+⋅⎪⎨⋅=⋅+⋅⎪⎩ 设AOC α∠=，则 120BOC α∠=-，又||||||1OC OA OB ===，
∴1cos ,21cos(120).2x y x y αα⎧=-⎪⎪⎨⎪-=-+⎪⎩
，∴2[cos cos(120)]2sin(30)x y ααα+=+-=+， ∴当30α=时，max () 2.x y +=
解法5：两边平方法
∵,OC xOA yOB =+∴2
2(),OC xOA yOB =+
∴2221()3x y xy x y xy =+-=+- 22
2
()()()344x y x y x y ++≥+-⋅=， ∴2x y +≤，当且仅当1x y ==时取等号，
∴max () 2.x y +=
思考方向四：考虑平行四边形法则
过C 作CM ∥OB 交OA 于M ，作CN ∥OA 交OB 于N ，则OMCN 是平行四边形，由向量加法的平行四边形法则得：OC OM ON =+，在OMC ∆中，设AOC α∠=， 则 120BOC α∠=-， 且||,||.OM x MC y ==
解法6：利用正弦定理
sin sin sin OM MC OC OCM COM OMC
==∠∠∠， 1sin(60)sin sin 60x y αα==+，由等比性值得：1sin(60)sin sin 60
x y αα+=++， ∴2sin(30)x y α+=+，∴当30α=时，max () 2.x y +=
解法7：利用余弦定理
222||||||2||||cos60,OC OM MC OM MC =+-⋅
∴2221()3x y xy x y xy =+-=+-22
2
()()()344x y x y x y ++≥+-⋅=， ∴2x y +≤，当且仅当1x y ==时取等号，∴max () 2.x y +=
小结：仔细研究上面的解法，可以发现在解决向量问题时一般有三种转化策略，一是利用向量的坐标运算，二是利用向量的代数运算特别是数量积的运算，三是利用向量的几何意义转化为平面几何问题求解.在解答最值问题时，本文利用了函数法和不等式法.当然，本题作为一个填空题或者选择题，能够利用特值和猜想的办法是很好的.
变式3： 若非零向量a b 、满足a b b -=，则下列不等式恒成立的为（ ） A. 22b a b >- B. 22b a b <- C. 22a a b >- D. 22a a b <-
解析：若两向量共线，则由于非零向量a b 、，且a b b -=，
∴必有a =2b ；代入可知只有A. C 满足；若两向量不共线，注意到向量模的几何意义， ∴可以构造如图所示的三角形，使其满足OB =AB =BC ；令OA =a ,OB =b ,则BA =a b - ∴CA =2a b -且a b b -=；又BA +BC >AC ∴a b -+b >2a b -∴22b a b >-。