第九章练习题及参考解答9.1 设真实模型为无截距模型：22i i Y X u α=+回归分析中却要求截距项不能为零，于是，有人采用的实证分析回归模型为： 122i i Y X ββε=++ 试分析这类设定误差的后果。
练习题9.1参考解答：22222222, i i i i iiX Y x y X xαβ==∑∑∑∑))()()()()()()()()()()22222222222222222222222222222222222222222222 iiiiii i iiiiiiiiiiiii iii i iiiiii i ix X u X u x Y Y x y x x xx X X u u x x u u x xx x u u x u u x u u x x x x x uxααβαααααα+-+-===-+-+-==+---==+=+=+∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑)()()()()()()()()()()2222222222222222222222222222|0,|222|,||||||||i i i i i i ii iii ii i ii j i j E u X E u X i j i E X x u Var X E E XX E X x x u x uE X E X x x xE u X x u x x u u E X x βαβββαα=≠=⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪=-=+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫+ ⎪== ⎪ ⎪⎝⎭∑∑∑∑∑∑∑∑∑))))()()()()2|0222222222222|i j ui j i j i jE u u X i i uu i i x x E u u X x x x x σσσ≠==+==∑∑∑∑∑∑1424314243()2222222222222222222i iiii i i ii i iiiiX Y X X u X X u X u X XXXαααα++====+∑∑∑∑∑∑∑∑)()222222||i i i X u E X E X X ααα⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭∑∑)()()()()()()()()()()22222222222222222222222222222|0|0,|||||||||i j i i ui ii i i i j i j i ji iii iii j i j i E u u X E u X E u X X u Var X E E X X E X X X u X X u u X uE X E X X X XE u X X X E u u X σααααα≠===⎛⎫⎛⎫ ⎪=-=+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫+⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎪⎝⎭⎝⎭+=∑∑∑∑∑∑∑∑)))1424314243()()222222222222ji u iu iiX X XX σσ≠==∑∑∑∑∑()()22||Var X Var X βα⇒≠))另外,无截距项回归模型的残差不等于有截距项回归模型的残差，故由这两个模型残差平方和对2u σ的估计也应不等。
具体应从两个模型残差平方和的期望与方差两个方面进行进一步的讨论，这里从略。
9.2 在现代投资理论中的资本资产定价模型（CAPM ）设定中，一定时期内的证券平均收益率与证券波动性（通常由贝塔系数β度量）有以下关系()12i i i R u ααβ=++ （1） 其中，i R i =证券的平均收益率，i i ββ=证券的真正系数，i u =随机扰动项； 由于i β证券的真正系数不可直接观测，通常采用下式进行估算： *1i it m t r r e αβ=++ （2）其中，it r t i =时间证券的收益率，i m r t =时间的市场收益率（通常是某个股票市场的综合指数的收益率），t e =残差项；*β是真正β系数的一个估计值，且有*1i i v ββ=+，i v 是观测误差。
在实际的分析中，我们采用的估计式不是（1）而是： ()*12i i i R u ααβ=++ （3） （1）观测误差i v 对2α的估计会有什么影响？（2）从（3）估计的2α会是真正2α的一个无偏估计吗？若不是，会是真正2α的一致性估计吗？练习题9.2参考解答：这是考察对解释变量观测误差理解的习题。
由（3）的OLS 估计可得：()()()**2**iiiiiiR R ββαββ--=-∑∑)定义：*111i i v v n βββ=+=+∑， ()()()**12121211i i i i R u u v u nααβααβααβ=++=++=+++∑()**11i i i i v v v v ββββ-=+-+=-()()()()()()()()()()()()()*12121*212112 i i i i i i i i i i R R u v u v u u v v u u v v u u ααβααβαββαββα-=++-+++=-++-=+-++-=-+-()()()()()()()()()()()()()()()**222**22222iiiiiiii i iiiiiiiiR R v v v v u u v v v v v v u u v v u u v v v v ββααββαα----+-==---+----==+--∑∑∑∑∑∑∑∑)()()()()()()()()222222lim lim 1lim 1lim ,i i n n i i i n i n i i i v v u u p p v v p v v u u n p v v n Cov v u Var v αααα→∞→∞→∞→∞⎛⎫-- ⎪=+ ⎪-⎝⎭--=+-=+∑∑∑∑)9.3 1978年-2003年的全国居民消费水平与国民收入的数据如下。
表9.8 1978年-2003年的全国居民消费水平与国民收入的数据(单位：亿元)数据来源：中经网统计数据库，若依据弗里德曼的持久收入假设，消费函数的真正模型应为 t t t CC GNI u αβ=++1）试用Eviews 软件，采用两种以上检验方法对实证分析模型 12t t t CC GDP γγμ=++ 进行变量设定检验；2）若*i i i GNI GDP ω=+，试用对实证分析模型 12t t t CC GDP γγε=++ 进行测量误差检验。
练习题9.3参考解答： 表一：Dependent Variable: CCMethod: Least Squares Date: 02/23/10 Time: 13:14 Sample: 1978 2008 Included observations: 31Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob.C 953.8174 199.5824 4.779065 0.0000 GDP 0.046908 0.001874 25.03650 0.0000 R-squared 0.955781 Mean dependent var 4302.419 Adjusted R-squared 0.954256 S.D. dependent var 3856.352 S.E. of regression 824.7889 Akaike info criterion 16.33047 Sum squared resid Schwarz criterion 16.42299 Log likelihood -251.1223 F-statistic 626.8265 Durbin-Watson stat 0.084298 Prob(F-statistic) 0.000000DW 检验：d=0.084298，对n=31和'1k =，5%的德宾-沃森d-统计量的临界值为1.363L d =和 1.496,U d =0.084298 1.363L d <= ，表明存在显著的遗漏变量现象。
LM 检验：对表一回归结果可得残差EE ，用EE 关于搜有其他变量进行回归，得： 表二：Dependent Variable: EE Method: Least Squares Date: 02/23/10 Time: 13:35 Sample: 1978 2008 Included observations: 31Variable Coefficient Std. Error t-StatisticProb. C -1067.730 65.24516 -16.36488 0.0000 GDP -0.060605 0.021441 -2.826553 0.0089 GNI -0.010518 0.020965 -0.501700 0.6201 CN 0.578727 0.528423 1.095197 0.2835 CT 2.291424 0.372030 6.159240 0.0000 R-squared 0.975368 Mean dependent var -1.76E-13 Adjusted R-squared 0.971578 S.D. dependent var 810.9259 S.E. of regression 136.7125 Akaike info criterion 12.82033 Sum squared resid 485948.3 Schwarz criterion 13.05162 Log likelihood -193.7151 F-statistic 257.3803 Durbin-Watson stat 0.468998 Prob(F-statistic)0.000000表三：Dependent Variable: EE Method: Least Squares Date: 02/23/10 Time: 13:39 Sample (adjusted): 1979 2008 Included observations: 30 after adjustmentsVariable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob.C -1085.046 42.52413 -25.51600 0.0000 GNI -0.046047 0.005595 -8.229520 0.0000 GNI(-1) -0.040838 0.008031 -5.085222 0.0000 CT 2.893753 0.088852 32.56811 0.0000 R-squared 0.982871 Mean dependent var 23.99358 Adjusted R-squared 0.980895 S.D. dependent var 813.5201 S.E. of regression 112.4456 Akaike info criterion 12.40638 Sum squared resid 328744.1 Schwarz criterion 12.59321 Log likelihood -182.0957 F-statistic 497.3078 Durbin-Watson stat 1.665816 Prob(F-statistic) 0.000000再计算2300.98287129.48613nR =⨯=，查表()20.02539.34840χ=，显然，29.499.35>，拒绝0H ：无约束回归模型，认为存在遗漏变量。