2012年重庆市高考数学试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共计50分．在每小题给出的四个备选选项中，只有一个是符合题目要求的
（
2．（5分）（2012•重庆）不等式≤0的解集为（）
．．．．
由不等式
可得，解得﹣
的解集为
22
4．（5分）（2012•重庆）的展开式中常数项为（）
B
的展开式通项公式中，令
的展开式通项公式为
=0
=
5．（5分）（2012•重庆）设tanα，tanβ是方程x2﹣3x+2=0的两个根，则tan（α+β）的值为
==
6．（5分）（2012•重庆）设x，y∈R，向量=（x，1），=（1，y），=（2，﹣4）且⊥，
∥，则|+|=（）
B
，以及|
=，==）且⊥，∥，则有
，故
|=
7．（5分）（2012•重庆）已知f（x）是定义在R上的偶函数，且以2为周期，则“f（x）为
8．（5分）（2012•重庆）设函数f（x）在R上可导，其导函数为f′（x），且函数y=（1﹣x）f′（x）的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是（）
9．（5分）（2012•重庆）设四面体的六条棱的长分别为1，1，1，1，和a，且长为a的
，，，
AE=ED=
．
10．（5分）（2012•重庆）设平面点集
B
∵或
y=故阴影部分面积为圆的面积的一半，即
二、填空题（共5小题，每小题5分，满分25分）
11．（5分）（2012•重庆）若（1+i）（2+i）=a+bi，其中a，b∈R，i为虚数单位，则a+b=4．
12．（5分）（2012•重庆）=．
把要求的式子化为，即，再利用极限及其运算法
===，
故答案为：．
把要求的式子化为
13．（5分）（2012•重庆）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且
，则c=．
cosA=，cosB=
=，sinB==
=sinAcosB+cosAsinB=×+×=
=得：==
故答案为：
14．（5分）（2012•重庆）过抛物线y2=2x的焦点F作直线交抛物线于A，B两点，若
，则|AF|=．
，
+x|BF|=
，所以
）
x+
|AF|==
故答案为：
15．（5分）（2012•重庆）某艺校在一天的6节课中随机安排语文、数学、外语三门文化课和其他三门艺术课各1节，则在课程表上的相邻两节文化课之间最多间隔1节艺术课的概率
为（用数字作答）．
节艺术课，则排法种数为（）=216三门文化课中相邻排列，则排法种数为=720
解：把语文、数学、外语三门文化课排列，有
••
=144
而所有的排法共有
=
三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16．（13分）（2012•重庆）设，其中a∈R，曲线y=f（x）在点（1，
f（1））处的切线垂直于y轴．
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）求函数f（x）的极值．
由（Ⅰ）知，（
，确定函数的单调性，即可求得函
，∴
由（Ⅰ）知，（
17．（13分）（2012•重庆）甲、乙两人轮流投篮，每人每次投一球．约定甲先投且先投中者获胜，一直到有人获胜或每人都已投球3次时投篮结束．设甲每次投篮投中的概率为，乙
每次投篮投中的概率为，且各次投篮互不影响．
（Ⅰ）求甲获胜的概率；
（Ⅱ）求投篮结束时甲的投篮次数ξ的分布列与期望．
=（
（（
=（
（（
×+；
（
）（=
（=
×+2×+3×=．
18．（13分）（2012•重庆）设f（x）=4cos（ωx﹣）sinωx﹣cos（2ωx+π），其中ω＞0．（Ⅰ）求函数y=f（x）的值域
（Ⅱ）若f（x）在区间上为增函数，求ω的最大值．
）在区间
﹣
cos sin
[]
[
所以，解不等式得=
[
）在区间上为增函数
⊆[
．解得，故的最大值是
19．（12分）（2012•重庆）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=4，AC=BC=3，D为AB的中点
（Ⅰ）求点C到平面A1ABB1的距离；
（Ⅱ）若AB1⊥A1C，求二面角A1﹣CD﹣C1的平面角的余弦值．
CD==
=2D==2
，，从而，，
h=2=，=2，
的法向量为，则有⊥，⊥
••，即，取=，的法向量为，则⊥，⊥，即=0=
＜，＞=，
20．（12分）（2012•重庆）如图，设椭圆的中心为原点O，长轴在x轴上，上顶点为A，左右焦点分别为F1，F2，线段OF1，OF2的中点分别为B1，B2，且△AB1B2是面积为4的直角三角形．
（Ⅰ）求该椭圆的离心率和标准方程；
（Ⅱ）过B1做直线l交椭圆于P，Q两点，使PB2⊥QB2，求直线l的方程．
，
为直角，从而
|B||OA|=
（Ⅰ）设椭圆的方程为
，∴
S=
∴椭圆标准方程为；
=
，∴
21．（12分）（2012•重庆）设数列{a n}的前n项和S n满足S n+1=a2S n+a1，其中a2≠0．（Ⅰ）求证：{a n}是首项为1的等比数列；
（Ⅱ）若a2＞﹣1，求证，并给出等号成立的充要条件．
时，等号成立，设
（
，∴
等号成立
，，所以要证的不等式可化为
（
时，
时，与
（即
，等号成立的充要条件是。