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2014数理统计复习资料


单因子方差分析
例4.1.1 在饲料养鸡增肥的研究中,某研究 所提出三种饲料配方:A1是以鱼粉为主的饲 料,A2是以槐树粉为主的饲料,A3是以苜蓿 粉为主的饲料。选取 24 只相似的雏鸡随机 均分为三组,每组各喂一种饲料,60天后观 察它们的重量。试验结果如下表所示, 比较 三种饲料的效果是否有显著差异?
FZ (z) 1 P( X1 z, X 2 z, , X n z)
1 P( X1 z)P( X 2 z) P(X n z)
1
n
(1
P( X
i
z))
0
nz
z0
i 1
1 e z 0
fZ
(
z)
n
0
nz
e
z0 z0

Z ~ En
E(Z)
n
E(nZ )
故 nZ 是 的无偏估计量.
例3.3.2 某厂生产的产品优质品率一直保持在 40%,近期对该厂生产的该类产品抽检 20
件,其中优质品7件,在 0.05下能否认为
优质品率仍保持在40%?
解:以p 表示优质品率,x 表示20件产品中的优质
品件数,则 x ~ b20, p, 待检验的假设为
H0 : p 0.4 vs H1 : p 0.4
(3)
选取枢轴量
K
5S 2
2
~ 2 (5)
s2 0.051.
查表得
2 0.975
(5)
12.833,
2 0.025
(5)
0.831
由公式 (4) 得 的置信区间为
( 5 s2 , 5 s2 ) ( 0.0199, 0.3069 )
2 0.975
(5)
2 0.025
(5)
3.3.2 比例的检验
例4 设总体 X 的密度函数为
f
(x; )
1
x
e
x 0,
0 为常数
0
x0
( X1, X 2 , , X n ) 为 X 的一个样本
证明 X 与 n min{ X1, X 2 , , X n}都是 的无偏
估计量

X
~
E1
E(X )
故 E(X ) E(X )
X 是 的无偏估计量.

Z min{ X1, X 2 , , X n}
3.75
2
4
6
4
2
2
由于 2 3未.7落5 入拒绝域,故接受原假设,
没有理由认为转盘不均匀。
在分布拟合检验中使用p 值也是方便的。
本例中,以T 记服从 2(5)的随机变量,则使用
统计软件可以算出
p P T 3.75 0.5859.
这个p 值就反映了数据与假设的分布拟合程度的 高低,p 值越大,拟合越好。
表4.1.1 鸡饲料试验数据
饲料A
鸡 重(克)
A1 1073 1009 1060 1001 1002 1012 1009 1028 A2 1107 1092 990 1109 1090 1074 1122 1001
A3 1093 1029 1080 1021 1022 1032 1029 1048
例1 某工厂生产一批滚珠, 其直径 X 服从正态分
布N( 2), 现从某天的产品中随机抽取6件,测得
直径为
15.1 , 14.8 , 15.2 , 14.9 , 14.6 , 15.1
(1) 若 2=0.06, 求 的置信度为95%的 置信区间; (2) 若 2未知,求 的置信度为95%的置信区间; (3) 求方差 2的置信度为95%的置信区间.
附带指出,该拒绝域的显著性水平实际上不是 0.05,而是0.0160+0.021=0.0370 。 由于观测值没有落入拒绝域,故接受原假设。
§3.4 分布拟合检验
例3.4.1 为募集社会福利基金,某地方政府发 行福利彩票,中彩者用摇大转盘的方法确定 最后中奖金额。大转盘均分为20份,其中金 额为5万、10万、20万、30万、50万、100万 的分别占2份、4份、6份、4份、2份、2份。 假定大转盘是均匀的,则每一点朝下是等可 能的,于是摇出各个奖项的概率如下:
解:这是一个典型的分布拟合优度检验,总体 共有6类,其发生概率分别为0.1、0.2、0.3、 0.2、0.1和0.1,这里k=6,检验拒绝域为:
2
2 1
5
,
2 0.95
5
11.07.
若取 =0.05,则查附表3知
由本例数据可以算出
2 =
2 22 6 42 6 62 3 42 3 22 0 22
A3 93 29 80 21 22 32 29 48 354 125316 20984 1133 505177 91363
解 (1) X ~ N (, 0.06) 即 N (,0.01)
6
X ~ N (0,1)
0.1
z1
2
z0.975
1.96
由给定数据算得
x
1 6
6 i1
xi
14.95
由公式 (1) 得 的置信区间为
( 14.95 1.96 0.1, 14.95 1.96 0.1 ) ( 14.75, 15.15 )
额度 5万 10万 20万 30万 50万 100万
概率 0.1 0.2 0.3 0.2 0.1 0.1
现20人参加摇奖,摇得5万、10万、20万、30万、 50万和100万的人数分别为2、6、6、3、3、0, 由于没有一个人摇到100万,于是有人怀疑大转 盘是不均匀的,那么该怀疑是否成立呢?这就需 要对转盘的均匀性作检验。
(2)

T
X S
~
t (5)
查表得 t0.975 (5) 2.5706
6
由给定数据算得 x 14.95
s2
1 5
(
6 i 1
xi2
6x2)
0.051.
s 0.226
由公式 (2) 得 的置信区间为
(x
s 6
t0.975
(5),
x
s 6
t0.975(5)Fra bibliotek)(14.71, 15.187 )
拒绝域为
W x c1 或 x c2
下求c1与c2: 由于
P x 3 0.0160 0.025 P x 4 0.0510,
故取 c1=3,又因为
P x 11 0.0565 0.025 P x 12 0.0210,
从而c2=12,拒绝域为 W x 3或 x 12
例4.1.2 采用例4.1.1的数据,将原始数据减去1000,
列表给出计算过程:
表4.1.4 例4.1.2的计算表
水 平
数据(原始数据-1000)
m
Ti
2
Ti
yi2j
j 1
A1 73 9 60 1 2 12 9 28 194 37636 10024
A2 107 92 -10 109 90 74 122 1 585 342225 60355
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