定积分与微积分基本定理一、目标与策略明确学习目标及主要的学习方法是提高学习效率的首要条件，要做到心中有数！学习目标：● 了解定积分的实际背景，了解定积分的基本思想，了解定积分的概念、几何意义.● 直观了解微积分基本定理的含义，并能用定理计算简单的定积分.● 应用定积分解决平面图形的面积、变速直线运动的路程和变力作功等问题，在解决问题的过程中体验定积分的价值. 重点难点：● 重点：正确计算定积分，利用定积分求面积.● 难点：定积分的概念，将实际问题化归为定积分问题.学习策略：● 运用“以直代曲”、“以不变代变”的思想方法，理解定积分的概念.● 求定积分主要是要找到被积函数的原函数，也就是说，要找到一个函数，它的导函数等于被积函数. ● 求导运算与求原函数运算互为逆运算.二、学习与应用常见基本函数的导数公式（1）()f x C =（C 为常数），则'()f x =（2）()n f x x =（n 为有理数），则'()f x =（3）()sin f x x =，则'()f x =（4）()cos f x x =，则'()f x =（5）()x f x e =，则'()f x =（6）()x f x a =，则'()f x =“凡事预则立，不预则废”。
科学地预习才能使我们上课听讲更有目的性和针对知识回顾——复习 学习新知识之前，看看你的知识贮备过关了吗？（7）()ln f x x =，则'()f x =（8）()log a f x x =，则'()f x =函数四则运算求导法则设()f x ，()g x 均可导（1）和差的导数：[()()]'f x g x ±=（2）积的导数：[()()]'f x g x ⋅=（3）商的导数：()[]'()f xg x = （()0g x ≠）知识点一：定积分的概念如果函数)(x f 在区间[,]a b 上连续，用分点b x x x x x a n n =<<⋅⋅⋅<<<=-1210将区间[,]a b 分为n 个小区间，在每个小区间[]i i x x ,1-上任取一点i ξ（i =1,2,3…,n ），作和式11()()n n i i i i b a f x f nξξ==-∆=∑∑，当∞→n 时，上述和式无限趋近于某个常数，这个常数叫做)(x f 在区间[,]a b 上的 .记作 .即()b af x dx ⎰＝ ，这里， 分别叫做积分下限与积分上限， 叫做积分区间， 叫做被积函数， 叫做积分变量， 叫做被积式.说明：（1）定积分的值是一个 ，可正、可负、可为零；（2）用定义求定积分的四个基本步骤： 知识点二：定积分的几何意义设函数)(x f 在区间[]b a ,()a b ≠上连续.在[]b a ,上，当0)(≥x f 时，定积分⎰ba dx x f )(在几何上表示由曲线)(x f y =以及直线b x a x ==,与x 轴围成的曲边梯形的 ；知识要点——预习和课堂学习认真阅读、理解教材，尝试把下列知识要点内容补充完整，带着自己预习的疑惑认真听课学习。
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预习和课堂学习更多知识点解析请学习网校资源ID : #tbjx6#233073在[]b a ,上，当0)(≤x f 时，由曲线)(x f y =以及直线b x a x ==,与x 轴围成的曲边梯形位于x 轴下方，定积分⎰ba dx x f )(在几何上表示曲边梯形的 ；在[]b a ,上，当)(x f 既取正值又取负值时，曲线)(x f y =的某些部分在x 轴的上方，而其他部分在x 轴下方，如果我们将在x 轴上方的图形的面积赋予正号，在x 轴下方的图形的面积赋予负号；在一般情形下，定积分⎰ba dx x f )(的几何意义是曲线)(x f y =，两条直线b x a x ==,与x 轴所围成的各部分面积的 .知识点三：定积分的性质（1）()ba kf x dx =⎰ （k 为常数）（2）[]12()()ba f x f x dx ±=⎰（3）()ba f x dx =⎰ （其中bc a <<）（4）利用函数的奇偶性求积分：若函数()y f x =在区间[],b b -上是奇函数，则()bb f x dx -=⎰ ；若函数()y f x =在区间[],b b -上是偶函数，则()bb f x dx -=⎰ .知识点四：微积分基本定理微积分基本定理（或牛顿－莱布尼兹公式）:如果)(x f 在[]b a ,上连续，且'()()F x f x =，则()b af x dx =⎰ .其中 叫做)(x f 的一个原函数.注意：（1）求定积分主要是要找到被积函数的 ，也就是说，要找到一个函数，它的 等于被积函数.由此，求导运算与求原函数运算互为 运算.（2）由于[]()'(),F x c f x +=()F x c +也是)(x f 的 函数，其中c 为常数. 知识点五：应用定积分求曲边梯形的面积（一）如图，由三条直线x a =，x b =()a b <，x 轴（即直线()0y g x ==）及一条曲线()y f x =(()0f x ≥)围成的曲边梯形的面积S = ；（二）如图，由三条直线x a =，x b =()a b <，x 轴（即直线()0y g x ==）及一条曲线()y f x = (0)(≤x f )围成的曲边梯形的面积S = ；（三）由三条直线,(),x a x b a c b x ==<<轴及一条曲线()y f x =（不妨设在区间[,]a c 上()0f x ≤，在区间[,]c b 上()0f x ≥）围成的图形的面积S = .（四）如图，由曲线11()y f x=22()y f x=12()()f x f x≥及直线x a=，x b=()a b<围成图形的面积S= .知识点六：定积分在物理中的应用（一）变速直线运动的路程作变速直线运动的物体所经过的路程S，等于其速度函数()(()0)v v t v t=≥在时间区间[,]a b上的，即S=.（二）变力作功物体在变力()F x的作用下做直线运动，并且物体沿着与()F x相同的方向从x a=移动到x b=()a b<，那么变力()F x所作的功W=.类型一：利用定积分的几何定义求定积分例1．说明定积分224x dx-⎰所表示的几何意义，并根据其意义求出定积分的值.解：总结升华：举一反三：【变式1】由siny x=，0x=，2xπ=以及x轴围成的图形的面积写成定积分是；经典例题-自主学习认真分析、解答下列例题，尝试总结提升各类型题目的规律和技巧，然后完成举一反三。
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更多精彩内容请学习网校资源ID: #jdlt0#233073【变式2】用定积分表示下列图形的阴影部分的面积（不计算）（1）（2）【变式3】说明下列定积分所表示的几何意义，并根据其意义求出定积分的值.（1）4(1)x dx+⎰；（2）43dx ⎰；(3) (2010 广东模拟)224x dx --⎰类型二：运用微积分定理求定积分例2．运用微积分定理求定积分（1）22x dx⎰，（2）0sin xdxπ⎰，（3）11edxx⎰解：总结升华： 举一反三：【变式1】计算下列定积分的值：（1）⎰-π0)cos (sin dx x x ；（2）dx x x x ⎰+-212)1(；（3）⎰-+0)(cos πdx e x x .【变式2】计算下列定积分的值：（1）220(31)x x dx -+⎰，（2）dx x x ⎰+20)sin (π，（3）180(8)x x dx -⎰类型三：运用积分的性质求定积分例3．求定积分：301x dx -⎰； 解：总结升华： 举一反三：【变式1】设()f x 是连续函数，若20()2f x dx =⎰，40()3f x dx =⎰，则42()f x dx =⎰ ；【变式2】已知函数2,10,(),0 1.x x f x x x --≤<⎧=⎨≤≤⎩，计算11()f x dx -⎰.例4．求定积分：1321(cos )x x x dx -+⎰；解：总结升华：举一反三：【变式1】设()f x 是偶函数，若20()2f x dx =⎰，则22()f x dx -=⎰ ； 【变式2】求定积分：2222cos 2x dx ππ-⎰类型四：利用定积分求平面图形面积例5．求直线32+=x y 与抛物线2x y =所围成的图形面积.解：总结升华： 举一反三：【变式1】求由曲线214y x =（0x ≥），94y =，0x =围成的平面图形的面积.【变式2】求由曲线x y x y x y 2,,2===围成的平面图形的面积.【变式3】求抛物线2y x =与直线230x y --=所围成的图形的面积.类型五：利用定积分解决物理问题例6．汽车以每小时36公里的速度行驶，到某处需要减速停车，设汽车以匀减速度2a =米/秒2刹车，问从开始刹车到停车，汽车走了多少距离？解：总结升华： 举一反三：【变式1】,A B 两地相距25千米，甲以速度1()3v t t =千米/小时从A 到B 直线行驶，同时乙以速度2()(5)v t t =+千米/小时从B 到A 直线行驶，则甲、乙两人从出发到相遇所用的时间为（ ）A ．60分钟 B.100分钟 C.120分钟 D.150分钟【变式2】由截面积为22cm 的水管往外流水，打开水管时，水流速度2()6(/)V t t t cm s =-，那么从0()t s =到6()t s =这段时间内流动的水量是 3()cm .【变式3】一质点在直线上从时刻0()t s =以速度2()43(/)V t t t m s =-+运动，则该质点在时刻4()t s =时运动路程为（ ）A ．43m B.83m C.4m D.8m三、总结与测评要想学习成绩好，总结测评少不了！课后复习是学习不可或缺的环节，它可以帮助我们巩固学习效果，弥补知识缺漏，提高学习能力。
（一）如何正确理解定积分的概念：（二）()a bf x dx ⎰、|()|b af x dx ⎰与|()|baf x dx ⎰的几何意义：（三）利用定积分求由两条曲线围成的平面图形面积的步骤：知识点：定积分与微积分基本定理测评系统分数： 模拟考试系统分数：如果你的分数在80分以下，请进入网校资源ID ：#cgcp0#233073 做基础达标部分ID ：#cgcp1#233073的练习，如果你的分数在80分以上，你可以进行能力提升题目ID ：#cgcp2#233073的测试。