平行线的判定三只钟的故事一只小钟被主人放在了两只旧钟当中,两只旧钟滴答、滴答的走着。
一只旧钟对小钟说:“来吧,你也该工作了。
可是我有点担心,你走完三千两百万次以后,恐怕会吃不消的。
”“天哪!三千两百万次。
”小钟吃惊不已,“要我做这么大的事?办不到,办不到!”另一支旧钟说:“别听他胡说八道,不用害怕,你只要每秒滴答摆一下就行了。
”“天下哪有这么简单的事情?”小钟将信将疑,“如果这样,我就试试吧。
”小钟很轻松地每秒滴答摆一下,不知不觉中,一年过去了,它摆了三千两百万次。
成功就是这样,把简单的事做到极致,就能成功。
1.如图,已知B,E分别是线段AC,DF上的点,AF交BD于G,交EC于H,∠1=∠2,∠D=∠C,求证:DF∥AC.2.如图,四边形ABCD中,∠A=∠C=90°,BF、DE分别平分∠ABC、∠ADC.判断DE、BF是否平行,并说明理由.3.如图,已知AD平分∠BAC,且AD⊥BC于D,点E、A、C在同一直线上,∠DAC=∠EFA,延长EF交BC于G,说明为什么EG⊥BC.4.如图,已知B、C、D三点在同一条直线上,∠B=∠1,2=∠E,根据这些条件你能判断AC∥ED吗?请说明你的理由.1.如图,①、②、③的图形中能肯定∠1>∠2的序号是_________.2.如图所示,与∠C构成同旁内角的有_________个.3.如图,在直线DE与∠O的两边相交,则∠O的同位角是_________,∠8的内错角是_________,∠1的同旁内角是_________.4.观察图中角的位置关系,∠1和∠2是_________角,∠3和∠1是_________角,∠1和∠4是_________角,∠3和∠4是_________角,∠3和∠5是_________角.5.如图填空.(1)若ED,BC被AB所截,则∠1与_________是同位角.(2)若ED,BC被AF所截,则∠3与_________是内错角.(3)∠1 与∠3是AB和AF被_________所截构成的_________角.(4)∠2与∠4是_________和_________被BC所截构成的_________角.6.一个四边形的四个内角一共能形成_________对同旁内角.7.如图所示,同位角一共有_________对,内错角一共有_________对,同旁内角一共有有_________对.8.8条直线两两相交,且任3条直线不交于同一点,则共可形成_________对内错角.9.下列说法:①两条直线被第三条直线所截,内错角相等;②相等的角是对顶角;③同角的余角相等;④互补的两个角一定有一个为钝角,另一个角为锐角.⑤已知∠AOB=80°,∠BOC=20°,那么∠AOC=60°.其中正确的有_________(填序号)10.下列说法正确的有(填序号):_________.①同位角相等;②一条直线有无数条平行线;③在同一平面内,两条不相交的线段是平行线;④在同一平面内,如果a∥b,b∥c,则a∥c;⑤过一点有且只有一条直线与已知直线平行.11.如图,两只手的食指和拇指在同一个平面内,它们构成的一对角可看成是_________.12.已知a,b,c为平面内三条不同直线,若a⊥b,c⊥b,则a与c的位置关系是_________.13.如图所示,用直尺和三角尺作直线AB,CD,从图中可知,直线AB与直线CD的位置关系为_________.14.如图所示,当_________时,有CE∥AB成立.(只需要写出一个条件即可)15.如图,∠1=∠2,要判断AB∥DF,需要增加条件_________.16.两条平行直线被第三条直线所截,则:①一对同位角的角平分线互相平行;②一对内错角的角平分线互相平行;③一对同旁内角的角平分线互相平行;④一对同旁内角的角平分线互相垂直.其中正确的结论是_________.(注:请把你认为所有正确的结论的序号都填上)17.如图是一条街道的两个拐角,∠ABC与∠BCD均为140°,则街道AB与CD的关系是_________,这是因为_________.18.如图所示的方格纸中,每小方格的边长都为1cm.请在方格纸上画图并回答问题.已知点A.(1)在点A的正东方向取一点B,使A、B两点间的距离为4cm;(2)过点A画直线AB的垂线;(3)在点A的正北方向取一点C,使AC=AB;(4)以点A为端点,画A点的北偏东45°方向的射线交BC于D点;(5)过点D画直线AB的平行线交AC于点E;(6)在线段AB上取一点F,使得AF=3FB,并画射线EF.(7)写出图中∠ACD的一个同位角:_________;点B到直线AC的距离_________;用数字1在图上标出∠CDE的对顶角.19.如图所示,指出下列各组角是由哪两条直线被哪一条直线所截得的,并说出它们是什么角?∠1和∠2;∠2和∠6;∠6和∠A;∠3和∠5;∠3和∠4;∠4和∠7.20.如图所示,①∠C与∠D是同位角;②∠A与∠D是内错角;③∠CFB与∠A,∠D 都是同位角;④∠D与∠CAB是同位角.你认为哪些判断是对的,哪些是错误的.21.如图所示,已知BE平分∠ABC,CF平分∠BCD,图中内错角有多少对?22.如图所示,同位角一共有_________对,分别是__________________;内错角一共有_________对,分别是_________;同旁内角一共有_________对,分别是_________._________.23.已知:如图,∠A=∠F,∠C=∠D.求证:BD∥CE.24.将一副三角板拼成如图所示的图形,过点C作CF平分∠DCE交DE于点F.(1)求证:CF∥AB;(2)求∠DFC的度数.25.将一副三角尺按如图方式叠在一起,保持三角尺ACD不动,将三角尺BCE的CE边与CA边重合,然后绕点C按顺时针或逆时针.方向任意转动一个角度,当∠ACE(∠ACE<180°)等于多少度时,这两块三角尺各有一条边互相平行,写出∠ACE角度所有可能的值,并画图.26.已知:E是AB、CD外一点,∠D=∠B+∠E,求证:AB∥CD.27.已知:如图,AB∥CD,∠ABE=∠DCF,请说明∠E=∠F的理由.28.如图,已知∠BED=∠B+∠D,求证:AB∥CD.29.四边形ABCD中,∠B=∠D=90°,AE、CF分别是∠BAD和∠DCB的内角平分线和外角平分线,(1)分别在图1、图2、图3下面的横线上写出AE与CF的位置关系;(2)选择其中一个图形,证明你得出的结论.30.如图,某湖上风景区有两个观望点A,C和两个度假村B,D.度假村D在C正西方向,度假村B在C的南偏东30°方向,度假村B到两个观望点的距离都等于2km.(1)在图中标出A,B,C,D的位置,并求道路CD与CB的夹角;(2)如果度假村D到C是直公路,长为1km,D到A是环湖路,度假村B到两个观望点的总路程等于度假村D到两个观望点的总路程.求出环湖路的长;(3)根据题目中的条件,能够判定DC∥AB吗?若能,请写出判断过程;若不能,请你加上一个条件,判定DC∥AB.平行线的判定答案典题探究1. 证明:∵∠1=∠2,∠1=∠3(对顶角相等),∴∠2=∠3,∴BD∥EC,∴∠DBC+∠C=180°(两直线平行,同旁内角互补);又∵∠D=∠C,∵∠DBC+∠D=180°,∴DF∥AC(同旁内角互补,两直线平行).2.解:ED∥BF;证明如下:∵四边形ABCD中,∠A=∠C=90°,∴∠ADC+∠ABC=180°,∵BF、DE分别平分∠ABC、∠ADC,∴∠ADC+∠ABC=2∠ADE+2∠ABF=180°,∴∠ADE+∠ABF=90°,又∵∠A=90°,∠ADE+∠AED=90°,∴∠AED=∠ABF,∴ED∥BF(同位角相等,两直线平行)3. 解:∵AD平分∠BAC,∴∠BAD=∠DAC,∵∠DAC=∠EFA,∴∠BAD=∠DAC=∠EFA,∴EG∥AD,∵AD⊥BC,∴EG⊥BC.4. 解:∵∠B=∠1,2=∠E,∴∠BCA=180°﹣∠B﹣∠2,∠BDE=180°﹣∠E﹣∠1,∴∠BCA=∠BDE,∴AC∥ED.演练方阵1.解:①中∠1与∠2为对顶角,∴∠1=∠2;②中不知道直线的位置关系,无法判断∠1与∠2的大小;③中根据三角形任意一个外角大于与之不相邻的任意一内角,∴∠1>∠2.故答案为③.2.解:AC与EB、DC相截,与∠C构成同旁内角的有∠EBC;AC与BD、DC相截,与∠C构成同旁内角的有∠DBC;DC与BD、BC相截,与∠C构成同旁内角的有∠BDC;共3个.故填3.3.解:∠O与∠2在被截线OB和ED的同一方,在截线OA的同侧,∠O与∠5在被截线OA和ED的同一方,在截线OB的同侧,故∠O的同位角是∠2和∠5;∠8与∠2在被截线OA和OB之间,分别在截线DE的两侧,故∠8与∠2是内错角;∠1与∠8在被截线OA和OB之间,在截线DE的同旁,故∠1与∠8是同旁内角,∠1与∠O在被截线DE和OB之间,在截线OA的同旁,故∠1与∠O是同旁内角.故∠O的同位角是∠2和∠5;∠8的内错角是∠2;∠1的同旁内角是∠8和∠O.4.解:∵∠1+∠2=180°,∴∠1和∠2是邻补角,∠3和∠1是对顶角,∠1和∠4是同位角,∠3和∠4是内错角,∠3和∠5是同旁内角;故答案为:邻补,对顶,同位,内错,同旁内角互补.5.解:(1)如图:若ED,BC被AB所截,则∠1与∠2是同位角,(2)若ED,BC被AF所截,则∠3与∠4是内错角,(3)∠1 与∠3是AB和AF被ED所截构成的内错角,(4)∠2与∠4是AB和AF被BC所截构成的同位角.故答案为∠2;∠4;ED,内错;AB,AF,同位.6.解:如图,∴∠A和∠B是同旁内角,∠A和∠D是同旁内角,∠B和∠C是同旁内角,∠C和∠D是同旁内角;故答案为:4.7.解:同位角一共有6对,分别是∠1和∠5,∠2和∠6,∠3和∠7,∠4和∠8,∠7和∠9,∠4和∠9;内错角一共有4对,分别是∠1和∠7,∠4和∠6,∠5和∠9,∠2和∠9;同旁内角一共有4对,分别是∠1和∠6,∠1和∠9,∠4和∠7,∠6和∠9.故答案为:6,4,4.8.解:∵任意三条直线两两相交可组成6对内错角,8条直线可分成56组,故共有56×6=336(对)故答案为:336.9.解:①两直线平行,内错角相等;故本选项错误;②有一个公共顶点,并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线,具有这种位置关系的两个角,互为对顶角;故本选项错误;③根据余角的性质:等角的余角相等;故本选项正确;④互补的两角和等于180°,两个角可能都等于90°;故本选项错误;⑤如图:∠AOB=80°,∠BOC=20°,那么,∠AOC=100°;故本选项错误;故答案为:③.10.解:①应是两直线平行,同位角相等,故本小题错误;②一条直线有无数条平行线,正确;③因为线段有端点,所以有长短,不相交也不一定平行,故在同一平面内,两条不相交的线段不一定是平行线,故本小题错误;④在同一平面内,如果a∥b,b∥c,则a∥c,符合平行公理,正确;⑤应为过直线外一点可以而且只可以画一条直线与已知直线平行,故本小题错误,故答案为:②④.11.解:两只手的食指和拇指在同一个平面内,它们构成的一对角可看成是内错角.故答案为:内错角.12.解:∵a⊥b,c⊥b,∴a∥c,故答案为:平行.13.解:根据题意,∠1与∠2是三角尺的同一个角,所以∠1=∠2,所以,AB∥CD(同位角相等,两直线平行).故答案为:平行.14.解:假设CE∥AB,则∠1=∠2.故答案为:∠1=∠2.15.解:若∠ABD=∠FDB,则AB∥DF.∵∠1=∠2,∴当∠CBD=∠EDB时,有∠ABD=∠FDB;或当BC∥DE时可推出∠ABD=∠FDB.故填∠CBD=∠EDB或BC∥DE.16.解:①两直线平行,同位角相等,其角平分线分得的角也相等.根据同位角相等,两直线平行可判断角平分线平行;②两直线平行,内错角相等,其角平分线分得的角也相等.根据内错角相等,两直线平行可判断角平分线平行;③显然不对;④两直线平行,同旁内角互补,其角平分线分得的不同的两角互余,从而推出两条角平分线相交成90°角,即互相垂直.故正确的结论是①②④.17.解:平行.理由:∵∠ABC=∠BCD=140°,∴AB∥CD.(内错角相等,两直线平行)故答案为:平行,内错角相等,两直线平行18.解:(1)(2)(3)(4)(5)(6)如图:(7)由图可知:∠ACD的一个同位角是∠AEF,点B到直线AC的距离是4cm,∠CDE 的对顶角如图.19.解:∠1和∠2是直线ED和直线BD被直线AB所截所产生的同位角;∠2和∠6是直线AB和直线AC被直线BD所截所产生的内错角;∠6和∠A是直线AB和直线BD被直线AC所截所产生的同位角;∠3和∠5是直线ED和直线CD被直线EC所截所产生的同旁内角;∠3和∠4是直线ED和直线BC黑直线EC所截产生的内错角;∠4和∠7是直线BE和直线BC被直线EC所截产生的同旁内角.20.解:①∠C与∠D是内错角,故原说法错误;②∠A与∠D不是内错角,故原说法错误;③∠CFB与∠A,∠D都是同位角,故原说法正确;④∠D与∠CAB不是同位角,故原说法错误.21.解:图中的内错角有:∠ABC与∠BCD,∠EBC与∠BCF,∠ABC与∠BCF,∠EBC 与∠BCD.共4对.22.解:同位角一共有6对,分别是∠1和∠5,∠2和∠6,∠3和∠7,∠4和∠8,∠7和∠9,∠4和∠9;内错角一共有4对,分别是∠1和∠7,∠4和∠6,∠5和∠9,∠2和∠9;同旁内角一共有4对,分别是∠1和∠6,∠1和∠9,∠4和∠7,∠6和∠9.故答案为:6,∠1和∠5,∠2和∠6,∠3和∠7,∠4和∠8,∠7和∠9,∠4和∠9;4,∠1和∠7,∠4和∠6,∠5和∠9,∠2和∠9;4,∠1和∠6,∠1和∠9,∠4和∠7,∠6和∠923.证明:∵∠A=∠F,∴AC∥DF,∴∠C=∠FEC,∵∠C=∠D,∴∠D=∠FEC,∴BD∥CE.24.(1)证明:∵CF平分∠DCE,∴∠1=∠2=∠DCE,∵∠DCE=90°,∴∠1=45°,∵∠3=45°,∴∠1=∠3,∴AB∥CF(内错角相等,两直线平行);(2)∵∠D=30°,∠1=45°,∴∠DFC=180°﹣30°﹣45°=105°.25.解:①当∠ACE=45°时,EB∥AC,∵∠E=45°,∠ACE=45°,∴EB∥AC.②同理,当∠ACE=30°时,AD∥BC.26.证明:∵∠D=∠B+∠E(已知),∠BFD=∠B+∠E(三角形的一个外角等于与它不相留邻的两个内角的和),∴∠D=∠BFD(等式的性质).∴AB∥CD(内错角相等,两直线平行)27.解:∵AB∥CD(已知),∴∠ABC=∠BCD(两直线平行内错角相等),∵∠ABE=∠DCF(已知),∴∠EBC=∠FCB,∴BE∥CF(内错角相等,两直线平行),∴∠E=∠F(两直线平行内错角相等).28.证明:延长BE交CD于F.∵∠BED是△DEF的外角,∴∠BED=∠D+∠EFD(三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和),又∠BED=∠B+∠D,∴∠B=∠EFD(等量代换),∴AB∥CD(内错角相等,两直线平行).29.解:(1)图1中AE∥FC;图2中AE∥FC;图3中AE⊥FC.(2)选择图1证明.如图:∵∠BAD+∠BCD=∠1+∠2+∠3+∠4=360°﹣(∠B+∠D)=360°﹣180°=180°,又∵AE、CF分别是∠BAD和∠DCB的内角平分线,∴∠1+∠3=∠BAD+∠BCD=(∠BAD+∠BCD)=×180°=90°.又∵∠B=90°,∴∠1+∠5=90°,∴∠3=∠5,∴AE∥FC;选择图2证明,如图,∵∠B=∠D=90°,∴∠BAD+∠BCD=360°﹣2×90°=180°,∴∠BAD+∠BCD=90°,∴∠GAD=∠BCD,∵AE是∠GAD的角平分线,∴∠1=∠GAD=∠BCD,同理可得:∠2=∠BAD,∴∠1+∠BAD=90°,延长CD交AE于点P,∠ADC=90°,∴∠1+∠P=90°,∴∠P=∠BAD,即∠P=∠2,∴AE∥FC(同位角相等,两直线平行);选择图3证明.如图:∵∠B+∠BAD+∠D+∠DCB=360°,又∵∠B=∠D=90°,∴∠BAD+∠DCB=180°,∵∠DCB+∠BCE=180°,∴∠BAD=∠BCE,∵AE、AF分别是∠BAD和∠DCB的内角平分线和外角平分线,∴∠1=∠BAD,∠2=∠BCE,∴∠1=∠2,∵∠3=∠4,∠1+∠B+∠4=180°,∠2+∠CMA+∠3=180°,∵∠B=90°∠1+∠4=∠2+∠3,∴∠CMA=∠B=90°,∴AE⊥CF.30.解:(1)如图所示,过C作CM⊥CD交AB与M,则∠DCM=90°,∠MCB=30°,∴CD与CB的夹角为90°+30°=120°;(2)环湖路的长=AB+BC﹣CD=3km;(3)不能判定DC∥AB.加上的条件可以是:CA平分∠DCB.证明:∵AB=AC,∴∠ABC=∠ACB,∵CA平分∠DCB,∴∠DCA=∠ACB,∴∠DCA=∠CAB,∴DC∥AB.。