平行线的判定三只钟的故事一只小钟被主人放在了两只旧钟当中，两只旧钟滴答、滴答的走着。

一只旧钟对小钟说：“来吧，你也该工作了。

可是我有点担心，你走完三千两百万次以后，恐怕会吃不消的。

”“天哪！三千两百万次。

”小钟吃惊不已，“要我做这么大的事？办不到，办不到！”另一支旧钟说：“别听他胡说八道，不用害怕，你只要每秒滴答摆一下就行了。

”“天下哪有这么简单的事情？”小钟将信将疑，“如果这样，我就试试吧。

”小钟很轻松地每秒滴答摆一下，不知不觉中，一年过去了，它摆了三千两百万次。

成功就是这样，把简单的事做到极致，就能成功。

1．如图，已知B，E分别是线段AC，DF上的点，AF交BD于G，交EC于H，∠1=∠2，∠D=∠C，求证：DF∥AC．2．如图，四边形ABCD中，∠A=∠C=90°，BF、DE分别平分∠ABC、∠ADC．判断DE、BF是否平行，并说明理由．3．如图，已知AD平分∠BAC，且AD⊥BC于D，点E、A、C在同一直线上，∠DAC=∠EFA，延长EF交BC于G，说明为什么EG⊥BC．4．如图，已知B、C、D三点在同一条直线上，∠B=∠1，2=∠E，根据这些条件你能判断AC∥ED吗？请说明你的理由．1．如图，①、②、③的图形中能肯定∠1＞∠2的序号是_________．2．如图所示，与∠C构成同旁内角的有_________个．3．如图，在直线DE与∠O的两边相交，则∠O的同位角是_________，∠8的内错角是_________，∠1的同旁内角是_________．4．观察图中角的位置关系，∠1和∠2是_________角，∠3和∠1是_________角，∠1和∠4是_________角，∠3和∠4是_________角，∠3和∠5是_________角．5．如图填空．（1）若ED，BC被AB所截，则∠1与_________是同位角．（2）若ED，BC被AF所截，则∠3与_________是内错角．（3）∠1 与∠3是AB和AF被_________所截构成的_________角．（4）∠2与∠4是_________和_________被BC所截构成的_________角．6．一个四边形的四个内角一共能形成_________对同旁内角．7．如图所示，同位角一共有_________对，内错角一共有_________对，同旁内角一共有有_________对．8．8条直线两两相交，且任3条直线不交于同一点，则共可形成_________对内错角．9．下列说法：①两条直线被第三条直线所截，内错角相等；②相等的角是对顶角；③同角的余角相等；④互补的两个角一定有一个为钝角，另一个角为锐角．⑤已知∠AOB=80°，∠BOC=20°，那么∠AOC=60°．其中正确的有_________（填序号）10．下列说法正确的有（填序号）：_________．①同位角相等；②一条直线有无数条平行线；③在同一平面内，两条不相交的线段是平行线；④在同一平面内，如果a∥b，b∥c，则a∥c；⑤过一点有且只有一条直线与已知直线平行．11．如图，两只手的食指和拇指在同一个平面内，它们构成的一对角可看成是_________．12．已知a，b，c为平面内三条不同直线，若a⊥b，c⊥b，则a与c的位置关系是_________．13．如图所示，用直尺和三角尺作直线AB，CD，从图中可知，直线AB与直线CD的位置关系为_________．14．如图所示，当_________时，有CE∥AB成立．（只需要写出一个条件即可）15．如图，∠1=∠2，要判断AB∥DF，需要增加条件_________．16．两条平行直线被第三条直线所截，则：①一对同位角的角平分线互相平行；②一对内错角的角平分线互相平行；③一对同旁内角的角平分线互相平行；④一对同旁内角的角平分线互相垂直．其中正确的结论是_________．（注：请把你认为所有正确的结论的序号都填上）17．如图是一条街道的两个拐角，∠ABC与∠BCD均为140°，则街道AB与CD的关系是_________，这是因为_________．18．如图所示的方格纸中，每小方格的边长都为1cm．请在方格纸上画图并回答问题．已知点A．（1）在点A的正东方向取一点B，使A、B两点间的距离为4cm；（2）过点A画直线AB的垂线；（3）在点A的正北方向取一点C，使AC=AB；（4）以点A为端点，画A点的北偏东45°方向的射线交BC于D点；（5）过点D画直线AB的平行线交AC于点E；（6）在线段AB上取一点F，使得AF=3FB，并画射线EF．（7）写出图中∠ACD的一个同位角：_________；点B到直线AC的距离_________；用数字1在图上标出∠CDE的对顶角．19．如图所示，指出下列各组角是由哪两条直线被哪一条直线所截得的，并说出它们是什么角？∠1和∠2；∠2和∠6；∠6和∠A；∠3和∠5；∠3和∠4；∠4和∠7．20．如图所示，①∠C与∠D是同位角；②∠A与∠D是内错角；③∠CFB与∠A，∠D 都是同位角；④∠D与∠CAB是同位角．你认为哪些判断是对的，哪些是错误的．21．如图所示，已知BE平分∠ABC，CF平分∠BCD，图中内错角有多少对？22．如图所示，同位角一共有_________对，分别是__________________；内错角一共有_________对，分别是_________；同旁内角一共有_________对，分别是_________．_________．23．已知：如图，∠A=∠F，∠C=∠D．求证：BD∥CE．24．将一副三角板拼成如图所示的图形，过点C作CF平分∠DCE交DE于点F．（1）求证：CF∥AB；（2）求∠DFC的度数．25．将一副三角尺按如图方式叠在一起，保持三角尺ACD不动，将三角尺BCE的CE边与CA边重合，然后绕点C按顺时针或逆时针．方向任意转动一个角度，当∠ACE（∠ACE＜180°）等于多少度时，这两块三角尺各有一条边互相平行，写出∠ACE角度所有可能的值，并画图．26．已知：E是AB、CD外一点，∠D=∠B+∠E，求证：AB∥CD．27．已知：如图，AB∥CD，∠ABE=∠DCF，请说明∠E=∠F的理由．28．如图，已知∠BED=∠B+∠D，求证：AB∥CD．29．四边形ABCD中，∠B=∠D=90°，AE、CF分别是∠BAD和∠DCB的内角平分线和外角平分线，（1）分别在图1、图2、图3下面的横线上写出AE与CF的位置关系；（2）选择其中一个图形，证明你得出的结论．30．如图，某湖上风景区有两个观望点A，C和两个度假村B，D．度假村D在C正西方向，度假村B在C的南偏东30°方向，度假村B到两个观望点的距离都等于2km．（1）在图中标出A，B，C，D的位置，并求道路CD与CB的夹角；（2）如果度假村D到C是直公路，长为1km，D到A是环湖路，度假村B到两个观望点的总路程等于度假村D到两个观望点的总路程．求出环湖路的长；（3）根据题目中的条件，能够判定DC∥AB吗？若能，请写出判断过程；若不能，请你加上一个条件，判定DC∥AB．平行线的判定答案典题探究1. 证明：∵∠1=∠2，∠1=∠3（对顶角相等），∴∠2=∠3，∴BD∥EC，∴∠DBC+∠C=180°（两直线平行，同旁内角互补）；又∵∠D=∠C，∵∠DBC+∠D=180°，∴DF∥AC（同旁内角互补，两直线平行）．2.解：ED∥BF；证明如下：∵四边形ABCD中，∠A=∠C=90°，∴∠ADC+∠ABC=180°，∵BF、DE分别平分∠ABC、∠ADC，∴∠ADC+∠ABC=2∠ADE+2∠ABF=180°，∴∠ADE+∠ABF=90°，又∵∠A=90°，∠ADE+∠AED=90°，∴∠AED=∠ABF，∴ED∥BF（同位角相等，两直线平行）3. 解：∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠DAC，∵∠DAC=∠EFA，∴∠BAD=∠DAC=∠EFA，∴EG∥AD，∵AD⊥BC，∴EG⊥BC．4. 解：∵∠B=∠1，2=∠E，∴∠BCA=180°﹣∠B﹣∠2，∠BDE=180°﹣∠E﹣∠1，∴∠BCA=∠BDE，∴AC∥ED．演练方阵1．解：①中∠1与∠2为对顶角，∴∠1=∠2；②中不知道直线的位置关系，无法判断∠1与∠2的大小；③中根据三角形任意一个外角大于与之不相邻的任意一内角，∴∠1＞∠2．故答案为③．2．解：AC与EB、DC相截，与∠C构成同旁内角的有∠EBC；AC与BD、DC相截，与∠C构成同旁内角的有∠DBC；DC与BD、BC相截，与∠C构成同旁内角的有∠BDC；共3个．故填3．3．解：∠O与∠2在被截线OB和ED的同一方，在截线OA的同侧，∠O与∠5在被截线OA和ED的同一方，在截线OB的同侧，故∠O的同位角是∠2和∠5；∠8与∠2在被截线OA和OB之间，分别在截线DE的两侧，故∠8与∠2是内错角；∠1与∠8在被截线OA和OB之间，在截线DE的同旁，故∠1与∠8是同旁内角，∠1与∠O在被截线DE和OB之间，在截线OA的同旁，故∠1与∠O是同旁内角．故∠O的同位角是∠2和∠5；∠8的内错角是∠2；∠1的同旁内角是∠8和∠O．4．解：∵∠1+∠2=180°，∴∠1和∠2是邻补角，∠3和∠1是对顶角，∠1和∠4是同位角，∠3和∠4是内错角，∠3和∠5是同旁内角；故答案为：邻补，对顶，同位，内错，同旁内角互补．5．解：（1）如图：若ED，BC被AB所截，则∠1与∠2是同位角，（2）若ED，BC被AF所截，则∠3与∠4是内错角，（3）∠1 与∠3是AB和AF被ED所截构成的内错角，（4）∠2与∠4是AB和AF被BC所截构成的同位角．故答案为∠2；∠4；ED，内错；AB，AF，同位．6．解：如图，∴∠A和∠B是同旁内角，∠A和∠D是同旁内角，∠B和∠C是同旁内角，∠C和∠D是同旁内角；故答案为：4．7．解：同位角一共有6对，分别是∠1和∠5，∠2和∠6，∠3和∠7，∠4和∠8，∠7和∠9，∠4和∠9；内错角一共有4对，分别是∠1和∠7，∠4和∠6，∠5和∠9，∠2和∠9；同旁内角一共有4对，分别是∠1和∠6，∠1和∠9，∠4和∠7，∠6和∠9．故答案为：6，4，4．8．解：∵任意三条直线两两相交可组成6对内错角，8条直线可分成56组，故共有56×6=336（对）故答案为：336．9．解：①两直线平行，内错角相等；故本选项错误；②有一个公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为对顶角；故本选项错误；③根据余角的性质：等角的余角相等；故本选项正确；④互补的两角和等于180°，两个角可能都等于90°；故本选项错误；⑤如图：∠AOB=80°，∠BOC=20°，那么，∠AOC=100°；故本选项错误；故答案为：③．10．解：①应是两直线平行，同位角相等，故本小题错误；②一条直线有无数条平行线，正确；③因为线段有端点，所以有长短，不相交也不一定平行，故在同一平面内，两条不相交的线段不一定是平行线，故本小题错误；④在同一平面内，如果a∥b，b∥c，则a∥c，符合平行公理，正确；⑤应为过直线外一点可以而且只可以画一条直线与已知直线平行，故本小题错误，故答案为：②④．11．解：两只手的食指和拇指在同一个平面内，它们构成的一对角可看成是内错角．故答案为：内错角．12．解：∵a⊥b，c⊥b，∴a∥c，故答案为：平行．13．解：根据题意，∠1与∠2是三角尺的同一个角，所以∠1=∠2，所以，AB∥CD（同位角相等，两直线平行）．故答案为：平行．14．解：假设CE∥AB，则∠1=∠2．故答案为：∠1=∠2．15．解：若∠ABD=∠FDB，则AB∥DF．∵∠1=∠2，∴当∠CBD=∠EDB时，有∠ABD=∠FDB；或当BC∥DE时可推出∠ABD=∠FDB．故填∠CBD=∠EDB或BC∥DE．16．解：①两直线平行，同位角相等，其角平分线分得的角也相等．根据同位角相等，两直线平行可判断角平分线平行；②两直线平行，内错角相等，其角平分线分得的角也相等．根据内错角相等，两直线平行可判断角平分线平行；③显然不对；④两直线平行，同旁内角互补，其角平分线分得的不同的两角互余，从而推出两条角平分线相交成90°角，即互相垂直．故正确的结论是①②④．17．解：平行．理由：∵∠ABC=∠BCD=140°，∴AB∥CD．（内错角相等，两直线平行）故答案为：平行，内错角相等，两直线平行18．解：（1）（2）（3）（4）（5）（6）如图：（7）由图可知：∠ACD的一个同位角是∠AEF，点B到直线AC的距离是4cm，∠CDE 的对顶角如图．19．解：∠1和∠2是直线ED和直线BD被直线AB所截所产生的同位角；∠2和∠6是直线AB和直线AC被直线BD所截所产生的内错角；∠6和∠A是直线AB和直线BD被直线AC所截所产生的同位角；∠3和∠5是直线ED和直线CD被直线EC所截所产生的同旁内角；∠3和∠4是直线ED和直线BC黑直线EC所截产生的内错角；∠4和∠7是直线BE和直线BC被直线EC所截产生的同旁内角．20．解：①∠C与∠D是内错角，故原说法错误；②∠A与∠D不是内错角，故原说法错误；③∠CFB与∠A，∠D都是同位角，故原说法正确；④∠D与∠CAB不是同位角，故原说法错误．21．解：图中的内错角有：∠ABC与∠BCD，∠EBC与∠BCF，∠ABC与∠BCF，∠EBC 与∠BCD．共4对．22．解：同位角一共有6对，分别是∠1和∠5，∠2和∠6，∠3和∠7，∠4和∠8，∠7和∠9，∠4和∠9；内错角一共有4对，分别是∠1和∠7，∠4和∠6，∠5和∠9，∠2和∠9；同旁内角一共有4对，分别是∠1和∠6，∠1和∠9，∠4和∠7，∠6和∠9．故答案为：6，∠1和∠5，∠2和∠6，∠3和∠7，∠4和∠8，∠7和∠9，∠4和∠9；4，∠1和∠7，∠4和∠6，∠5和∠9，∠2和∠9；4，∠1和∠6，∠1和∠9，∠4和∠7，∠6和∠923．证明：∵∠A=∠F，∴AC∥DF，∴∠C=∠FEC，∵∠C=∠D，∴∠D=∠FEC，∴BD∥CE．24．（1）证明：∵CF平分∠DCE，∴∠1=∠2=∠DCE，∵∠DCE=90°，∴∠1=45°，∵∠3=45°，∴∠1=∠3，∴AB∥CF（内错角相等，两直线平行）；（2）∵∠D=30°，∠1=45°，∴∠DFC=180°﹣30°﹣45°=105°．25．解：①当∠ACE=45°时，EB∥AC，∵∠E=45°，∠ACE=45°，∴EB∥AC．②同理，当∠ACE=30°时，AD∥BC．26．证明：∵∠D=∠B+∠E（已知），∠BFD=∠B+∠E（三角形的一个外角等于与它不相留邻的两个内角的和），∴∠D=∠BFD（等式的性质）．∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行）27．解：∵AB∥CD（已知），∴∠ABC=∠BCD（两直线平行内错角相等），∵∠ABE=∠DCF（已知），∴∠EBC=∠FCB，∴BE∥CF（内错角相等，两直线平行），∴∠E=∠F（两直线平行内错角相等）．28．证明：延长BE交CD于F．∵∠BED是△DEF的外角，∴∠BED=∠D+∠EFD（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和），又∠BED=∠B+∠D，∴∠B=∠EFD（等量代换），∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行）．29．解：（1）图1中AE∥FC；图2中AE∥FC；图3中AE⊥FC．（2）选择图1证明．如图：∵∠BAD+∠BCD=∠1+∠2+∠3+∠4=360°﹣（∠B+∠D）=360°﹣180°=180°，又∵AE、CF分别是∠BAD和∠DCB的内角平分线，∴∠1+∠3=∠BAD+∠BCD=（∠BAD+∠BCD）=×180°=90°．又∵∠B=90°，∴∠1+∠5=90°，∴∠3=∠5，∴AE∥FC；选择图2证明，如图，∵∠B=∠D=90°，∴∠BAD+∠BCD=360°﹣2×90°=180°，∴∠BAD+∠BCD=90°，∴∠GAD=∠BCD，∵AE是∠GAD的角平分线，∴∠1=∠GAD=∠BCD，同理可得：∠2=∠BAD，∴∠1+∠BAD=90°，延长CD交AE于点P，∠ADC=90°，∴∠1+∠P=90°，∴∠P=∠BAD，即∠P=∠2，∴AE∥FC（同位角相等，两直线平行）；选择图3证明．如图：∵∠B+∠BAD+∠D+∠DCB=360°，又∵∠B=∠D=90°，∴∠BAD+∠DCB=180°，∵∠DCB+∠BCE=180°，∴∠BAD=∠BCE，∵AE、AF分别是∠BAD和∠DCB的内角平分线和外角平分线，∴∠1=∠BAD，∠2=∠BCE，∴∠1=∠2，∵∠3=∠4，∠1+∠B+∠4=180°，∠2+∠CMA+∠3=180°，∵∠B=90°∠1+∠4=∠2+∠3，∴∠CMA=∠B=90°，∴AE⊥CF．30．解：（1）如图所示，过C作CM⊥CD交AB与M，则∠DCM=90°，∠MCB=30°，∴CD与CB的夹角为90°+30°=120°；（2）环湖路的长=AB+BC﹣CD=3km；（3）不能判定DC∥AB．加上的条件可以是：CA平分∠DCB．证明：∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，∵CA平分∠DCB，∴∠DCA=∠ACB，∴∠DCA=∠CAB，∴DC∥AB．。