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＝12(k＋1)(k－2) ＝12(k＋1)[(k＋1)－3] 故当 n＝k＋1 时命题成立． 由(1)(2)知，对任意 n≥4，n∈N*，命题成立．
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用数学归纳法证明几何问题，关键在于分析由n＝k到n ＝k＋1的变化情况，即分点(或顶点)增加了多少，直线的条数(或 划分区域)增加了几部分等，或先用f(k＋1)－f(k)得出结果，再结合 图形给予严谨的说明，几何问题的证明：一要注意数形结合；二 要注意要有必要的文字说明．
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(2)证明 a1＋1 b1＝16＜152. n≥2 时，由(1)知 an＋bn＝(n＋1)(2n＋1)＞2(n＋1)n. 故a1＋1 b1＋a2＋1 b2＋…＋an＋1 bn ＜16＋122×1 3＋3×1 4＋…＋nn1＋1 ＝16＋1212－13＋13－14＋…＋1n－n＋1 1 ＝16＋1212－n＋1 1＜16＋14＝152. 综上，原不等式成立．(12 分)
(2)假设 n＝k(k≥2，k∈N*)时，不等式成立，
即212＋312＋412＋…＋k12<1－1k，
则当 n＝k＋1 时，
212＋312＋412＋…＋k12＋k＋1 12<1－1k＋k＋1 12
＝1－kk＋k＋121－2k＝1－kk2＋k＋k＋112 <1－kkkk＋＋112＝1－k＋1 1，
所以当 n＝k＋1 时，不等式也成立．
开面对面会议、远程会议或在网上给观众展
示演示文稿。
Microsoft Office
PowerPoint做出来的东西叫演示文稿，其格
式后缀名为：ppt、pptx；或者也可以保存为：
pdf、图片格式等
卡盟 卡盟
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应用数学归纳法证明整除性问题时，关键是“凑项”， 采用增项、减项、拆项和因式分解等方法，也可以说将式子“硬 提公因式”，即将n＝k时的项从n＝k＋1时的项中“硬提出来”， 构成n＝k的项，后面的式子相对变形，使之与n＝k＋1时的项相同， 从而达到利用假设的目的．
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题型二 用数学归纳法证明整除性问题 【例 2】 用数学归纳法证明：f(n)＝(2n＋7)·3n＋9 能被 36 整除．
[思路探索] 验证n＝1时能被36整除 → 假设n＝kk≥1，k∈N＋时命题成立 → 推证n＝k＋1时也能被36整除 → 得出结论
Hale Waihona Puke 课前探究学习课堂讲练互动
212＋312＋412＋…＋n12<1－1n(n≥2，n∈N*)． [思路探索] 应用数学归纳法证题时，第一个步骤中的初始值 n0 是使命题成立的最小自然数，这个自然数不一定是 1.
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证明 (1)当 n＝2 时，左式＝212＝14，右式＝1－12＝12.
因为14<12，所以不等式成立．
综上所述，对任意 n≥2 的正整数，不等式都成立．
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用数学归纳法证明不等式时常要用到放缩法，即在归纳 假设的基础上，通过放大或缩小等技巧变换出要证明的目标不等 式．
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【变式 1】 用数学归纳法证明：对一切大于 1 的自然数 n，不等 式1＋131＋15…1＋2n1－1> 2n2＋1成立． 证明 (1)当 n＝2 时，左＝1＋13＝43，右＝ 25，左>右， ∴不等式成立． (2)假设 n＝k(k≥2 且 k∈N*)时，不等式成立，即 1＋131＋15…1＋2k－1 1> 2k2＋1， 那么当 n＝k＋1 时，
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则当 n＝k＋1 时，凸(k＋1)边形的对角线的条数 f(k)＝12k(k－ 3)(k≥4)， 当 n＝k＋1 时，凸(k＋1)边形是在 k 边形基础上增加了一边，增加 了一个顶点，设为 Ak＋1，增加的对角线是顶点 Ak＋1 与不相邻顶点 的连线再加上原 k 边形一边 A1Ak，共增加了对角线的条数为 k－2 ＋1＝k－1. ∴f(k＋1)＝12k(k－3)＋k－1 ＝12(k2－k－2)
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证明 ①当n＝1时，f(1)＝(2×1＋7)×3＋9＝36，能被36整除． ②假设n＝k时，f(k)能被36整除，即(2k＋7)·3k＋9能被36整除，则 当n＝k＋1时， f(k＋1)＝[2(k＋1)＋7]·3k＋1＋9 ＝3[(2k＋7)·3k＋9]＋18(3k－1－1)， 由归纳假设3[(2k＋7)·3k＋9]能被36整除， 而3k－1－1是偶数，所以18(3k－1－1)能被36整除， 所以f(k＋1)能被36整除． 由①②可知，对任意的n∈N＋，f(n)能被36整除．
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Microsoft Office PowerPoint，是微软
公司的演示文稿软件。用户可以在投影仪或
者计算机上进行演示，也可以将演示文稿打
印出来，制作成胶片，以便应用到更广泛的
领域中。利用Microsoft Office PowerPoint不
仅可以创建演示文稿，还可以在互联网上召
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任取一条直线 l，除 l 以外其他 k 条直线的交点个数为 f(k)＝12k(k－1)， l 与其他 k 条直线交点个数为 k， 从而 k＋1 条直线共有 f(k)＋k 个交点， 即 f(k＋1)＝f(k)＋k＝12k(k－1)＋k ＝12k(k－1＋2)＝12k(k＋1)
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即 ak＝k(k＋1)，bk＝(k＋1)2， 那么当 n＝k＋1 时， ak＋1＝2bk－ak＝2(k＋1)2－k(k＋1) ＝(k＋1)(k＋2)，bk＋1＝ab2k＋k 1＝(k＋2)2， 所以当 n＝k＋1 时，结论也成立． 由①②，可知 an＝n(n＋1)， bn＝(n＋1)2 对一切正整数都成立．(8 分)
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1＋131＋15…1＋2k－1 11＋2k＋11－1>
2k2＋1·22kk＋＋21＝2 2k2＋k＋2 1＝
4k2＋8k＋4 2 2k＋1 >
42k2＋2k8＋k＋1 3＝ 2k2＋·32·k＋2k1＋1＝ 2k＋2 1＋1，
∴n＝k＋1 时，不等式也成立．
由①②知，对一切大于 1 的自然数 n，不等式都成立．
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【变式2】 用数学归纳法证明62n－1＋1(n∈N*)能被7整除． 证明 (1)当n＝1时，62－1＋1＝7能被7整除． (2)假设当n＝k(k∈N*，且k≥1)时，62k－1＋1能被7整除． 那么当n＝k＋1时，62(k＋1)－1＋1＝62k－1＋2＋1 ＝36(62k－1＋1)－35. ∵62k－1＋1能被7整除，35也能被7整除， ∴当n＝k＋1时，62(k＋1)－1＋1能被7整除． 由(1)，(2)知命题成立．
等差数列，bn，an＋1，bn＋1 成等比数列{n∈N＋}． (1)求 a2，a3，a4 及 b2，b3，b4，由此猜测{an}，{bn}的通项公 式，并证明你的结论； (2)证明：a1＋1 b1＋a2＋1 b2＋…＋an＋1 bn＜152. 审题指导 (1)根据已知条件求出{an}，{bn}的前几项，由此猜 测{an}，{bn}的通项公式．然后根据递推关系式用数学归纳法 加以证明．(2)用放缩法证明不等式．
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(1)当 n＝1 时，左边＝S1＝14，右边＝3nn＋1＝3×11＋1＝14， 猜想成立． (2)假设当 n＝k(k∈N*)时猜想成立，即 1×1 4＋4×1 7＋7×110＋…＋3k－213k＋1＝3k＋k 1，那么， 1×1 4＋4×1 7＋7×110＋…＋3k－213k＋1
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【变式 3】 平面内有 n(n∈N*，n≥2)条直线，其中任何两条不平 行，任何三条不过同一点，求证交点的个数 f(n)＝nn－2 1. 证明 (1)当 n＝2 时，两条直线的交点只有一个，又 f(2)＝12 ×2×(2－1)＝1， ∴当 n＝2 时，命题成立． (2)假设当 n＝k(k∈N*，k≥2)时命题成立，即平面内满足题设 的任何 k 条直线的交点个数 f(k)＝12k(k－1)， 那么，当 n＝k＋1 时，
数学归纳法的应用
【课标要求】 1．掌握数学归纳法的实质及归纳与猜想的关系． 2．能运用数学归纳法解决实际问题． 【核心扫描】 1．数学归纳法与函数、数列、不等式及几何问题相结合．(重点) 2．能通过“归纳—猜想—证明”解决一些数学问题．(难点)
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自学导引 数学归纳法用框图表示就是：
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【题后反思】 探索性命题是近几年高考试题中经常出现的一种题 型，此种问题未给出问题的结论，往往需要由特殊情况入手，归 纳、猜想、探索出结论，然后再对探索出的结论进行证明，而证 明往往用到数学归纳法．这类题型是高考的热点之一，它对培养 创造性思维具有很好的训练作用．
(1)归纳、猜想和证明是人们探索事物发展规律的常用方法，在 数学中是我们分析问题、解决问题的一个重要的数学思想方 法． (2)在归纳、猜想阶段体现的是一般与特殊的相互转化关系． (3)在数学归纳法证明阶段体现的是有限和无限的转化，是一种 极限的思想．
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题型一 用数学归纳法证明不等式问题 【例 1】 用数学归纳法证明：