n (2) 记AX = β的解集为 V 是 { X F |AX }, V A , A ,
n 否也是 F n 的一个字空间？这里 F ,0
证明 （1）首先，
0 0 0 0 F
n
，且A0 = 0，所以，VA,0 。
对于W 中任意两个向量α ，β ，它们的和α +β 是V中
一个向量. 一般说来，α +β 不一定在W 内.如果W中任 意两个向量的和仍在W内，那么就说，W对于V的加 法是封闭的. 同样，如果对于W中任意向量α 和数域F 中任意数a，aα仍在W内，那么就说，W 对于标量与
向量的乘法是封闭的.
定理6.2.1
子空间？ W { A M ( F ) |A | 0 } 是不是 M n (F ) 的子空间？ n
解
U中的矩阵是上三角形矩阵，显然U为向量空间
M n (F) 的非空子集。又中 M n (F)的运算是矩阵的加 法及数与矩阵的乘法，而两个上三角形的和仍是一 个上三角形矩阵，一个数与一个上三角形矩阵的乘 积仍是上三角形矩阵，所以，由子空间的定义 ，U 是 M n (F ) 的 一个子空间。
如同上面一样可以证明，也是V的一个子空间.
作为子集的二个子空间W1与W2 的并集，一般说来 不是子空间，现在考虑V的子集。
i
W W { |1 W ,2 W } 1 2 1 2 1 2

由于0∈W1，0∈W2，所以0=0+0∈W1+W2，因此
W1+W2≠ф。设a, b∈F, α ,β ∈W1+W2, 那么, W1,W2都是子空间,所以 a b W 1 1 1, ,于是 a 间V总是它自身的一个子空间。另一方面，单 独一个零向量所成的集合{0}显然对于V的加法和标 量与向量的乘法是封闭，因而也是V的一个子空间， 称为零空间。 一个向量空间V本身和零空间叫做V的平凡子空间。 V的非平凡子空间叫做V的真子空间。
例2
是不是 M n (F ) 的 U { A ( a ) M ( F ) | a 0 , i j 时 } ij n ij
这就证明了W1+W2是V的子空间,这个子空间叫做 W1与W2 的和.
例8 在 V 3 中，终点位于过原点的同一条直线l上的所
设W是数域F上向量空间V的一个非空子集.如果W 对 于V 的加法以及标量与向量乘法是封闭的，那么W 本身也作成F上一个向量空间.
定义1
令W是数域F上向量空间V的一个非空子集.如果W 对 于V 的加法以及标量与向量的乘法来说是封闭的， 那么就称W是V 的一个子空间. 由定理6.2.1，V的一个子空间也是F上一个向量空间， 并且一定含有V的零向量。
+AY =β+β≠β，故
n 对 V A , 的加法不封闭。 F
定理6.2.2
向量空间V的一个非空子集W是V的一个子空间，要
且只要对于任意a,b∈F和任意α ,β ∈W，都有
aα+bβ∈W
6.2.2子空间的交与和
设W1，W2是向量空间V的二个子空间，那么它们的 交W1∩W2也是V的一个子空间. 一般，设 {Wi }是向量空间V的一组子空间（个数可以 有限，也可以无限）.令 W i 表示这些子空间的交。
6.2 子空间
一、内容分布 6.2.1 子空间的概念 6.2.2子空间的交与和. 二、教学目的 1．理解并掌握子空间的概念. 2．掌握子空间的判别方法，熟悉几种常见的 子空间. 3．掌握子空间的交与和的概念.
三、重点、难点 子空间的判别，子空间的交与和．
6.2.1 子空间的概念
设V是数域F上一个向量空间. W是V 的一个非空子集.
12
因为 , , , W , , W
12 1 11 2 22
a b a ( ) b ( ) 1 2 1 2
( a b ) ( a b ) W W 1 1 2 2 1 2
n , X V , 即 X , X F , 其次，如果 X 1 2 A , 0 1 2
且 AX 0 , AX 0 ,那么 A ( X X ) AX AX 0 , 1 2 1 2 1 2
所以 X ，对于任何 a F ,X V , X V A , 0 1 2 A ,0
n 的两种 。故 对于 有 A ( aX ) a ( AX ), 即 aX V V F A , 0 A ,0
运算封闭， V A , 0 是向量空间 F n 的一个子空间。
n （2）可以知道，在β≠0 的时候， V A 不一定是 的 F , 子空间。因为对任何 X,Y ，都有 A (X + Y) = AX V A ,
例4 n F 中一切形如
n
( , , , , 0 ), F 1 2 n 1 i
的向量作成 F 的一个子空间。
例5
F [x]中次数不超过一个给定的整数n的多项式全体连 同零多项式一起作成F [x]的一个子空间。
例6
闭区间[a,b]上一切可微分函数作成C [a,b]的一个子空间。
例7
( a ),a F 设A m n ij ij
x1 x2 (1) 把满足AX = 0的解X表示为 X ， x n n { X F |AX 0 } 显然 X Fn。并记AX = 0的解集为 V A , 0
证明 V A , 0 是向量空间 F n 的一个子空间。
W { A M ( F ) || A | 0 } 不是 M n (F) 的子空间，因 n
为n阶单位矩阵I及 – I ∈W，但 I ( I ) O W
例3
在空间V2里，平行于一条固定直线的一切 向量空间作成V2的一个子空间。在间间V3里，平 行于一条固定直线或一张固定平面的一切向量分别 作成V3的子空间(6.1,例1)。