22
lg 6
32
3 lg6
2
lg6
3
18
1 3
lg6
2
=
lg 6
22
lg 6
32
3
lg6
2
1 3
lg6
18
1 3
lg6
2
= lg6 22 lg6 32 lg6 2 lg6 9
= lg6 22 lg6 32 2lg6 2 lg6 3 =lg6 2 lg6 32
=1
3
1 log4 8 2 ;log2 4 2 ;log2 8 3 .
x=
3
2
log9
27
3 2
设 loga 1 x 例析4： 设 loga a x
a x =1 即a x =a0 x=0 loga 1 0
1的对数恒为0 a x =a x=1 loga a 1
底数的对数恒为1
1.常用对数： 特殊对数 我们通常将以10为底的对数叫做常用对数。
为了简便,N的常用对数 log10 N 简记作lgN。 例如：log10 5 简记作lg5；log10 3.5 简记作lg3.5. 2.自然对数： 在科学技术中常常使用以无理数e=2.71828…… 为底的对数，以e为底的对数叫自然对数。
0
.
猜一猜：loga M n ?
例2.计算
பைடு நூலகம்
1 lg 52 3 lg 2 2 lg 5 lg 2 lg 5;
2 lg 8 lg125 lg 2 lg 5 ;
1g 10 lg 0.1
3 lg6
22
lg 6
32
3 lg6
2
lg 6
3
18
1 3
lg 6
2
.
例解析析：：21lglg8 5lg2 1253lglg222lglg55 lg 2 lg 5
为了简便，N的自然对数 log e N 简记作lnN。
例如：log e 3 简记作ln3 ; log e 10 简记作ln10 3.底数a的取值范围： (0,1) (1,)
真数N的取值范围 : (0,)
1
例11 对数式 log2a1 6 2a 有意义的条件是
( ,1) U(1, 3) 2
；
2 若a
指数
真数
ab N loga N b
底数 幂
底数 对数
将下列指数式化为对数式
42 =16 log4 16 2 ；102 =100 log10 100 2 ；
1
1
4 2 =2 log4 2 2 ；102 =0.01 log10 0.01 2；
将下列对数式化为指数式
log3 27 3 log10 1000 3
102
ab 2
102ab
10a
2 10b 4
3
解析：3 log7 log3 log2 x 0 log3 log2 x =1
log2 x=3 x 8
二、对数的运算性质
loga M loga N loga MN a 0,a 1; M 0, N 0
计1l算l观o你 证 og即 lg猜 设ll即 察 oa能 明ooagggMMl一MNl2上 ol证 ：22oo3gN84gg猜n2述 a明aaalM： Moa结 MN吗lngaxNoa果 lgx？o532Naagxa，lMaloy,yolgM你 golaagoaMa发 lgaaM;oxaxaNg现yMayNl0N了loo,gyaga什 aaN?2lN么则o10g;l,？oaaMalllgoxxMoogagg3NM1N3320M;937,MN,axxyy0021y,3yNN
学习目标
1.理解对数的含义，能正确地进行指对数的互化. 2.理解掌握对数的运算性质，能正确地进行对数 的运算. 3.理解掌握换底公式，能正确应用换底公式进行 对数变形.
问题导入
1.截止到1999年底，我国人口约13亿.如果今后能 将人口年平均增长率控制在1%，到哪一年我国的人 口数将达到18亿？
33 27
；log2
1 2
103 1000 ；log
= 1 14
2
21
1 2
1 2 2
4
； ；
2
ab N loga N b
对数的存在性 Q a 0 ab 0 即N 0 只有正数才有对数 0和负数没有对数
式子loga N a 0,a 1有意义的条件是N 0
对数恒等式
a Q abloga NN NlogaaN0b, a 1 aloga N N
lg 2, b
lg
3,
则100 a
b 2
4 3
;
3已知log7
log3
log 2
x
0,
则x
1 2
2 4
.
2a 1 0
解析：1 依题意得
2a
1
1
6 2a 0
解得 1 a 3且a 1 2
解析：2 a lg 2 10a 2,b lg 3 10b 3
ab
100 2
例1.计算
1.log3 9; 2.log9 27; 3.loga 1; 4.loga a;
5.log4 3 81; 例析1：
6.log2 3 2 3
设 log3 9 x 则3x =9 即3x =32 x=2 log3 9 2
例析2：
设 log9 27 x 则9x =27 即32x =33 例析3：
（1）由2，4得到数16的运算是 乘方运算。
记为：24＝16
（2）由16，4得到数2的运算是 开方运算。
记为：4 16 2
（3）由2，16得到数4的运算是 对数运算！
记为：log216 4
一、对数的定义
一般地，若ab N a 0,a 1,则称b是以a为底N的对数.
记作：loga N a叫作底数，N叫作真数.
131 1 00x 18
2.假设2006年我国国民生产总值为a亿元，如果 每年的平均增长率为8% ，那么经过多少年我国的 国民生产总值是2006年的2倍？
1 8 00 x 2
3.上面的实际问题归结为一个什么数学问题？
已知底数和幂，求指数.
知识探究
在式子24＝16中，
有三个数2(底),4(指数）和16（幂）
2
2 log27 9 3 ;log3 27 3 ;log3 9 2 .
观三 察、 上换 述底 各公 组式 对数，你发现了什么？能提出什么猜想？
=
=
3lglg251g32
10 lg 0.1
lg 5lg2lg2lg
5lg5
3
lg
2
2
lg
5
=lg5lg12lg15 2lg 2 lg5 lg 2
2
= lg45lg 2lg2lg52
= 34
例2.计算
3l
o g6
22
l
o g6
32
3l
o g6
2
l
o g6
3
18
1 3
l
og6
2
.
解析： 3 lg6