绝对值与平方的非负性专题练习
一、选择题
1、有理数的绝对值一定是（）．
A. 正数
B. 整数
C. 自然数
D. 正数或零答案：D
解答：有理数的绝对值一定是非负数，即正数或零．
2、下列代数式中，值一定是正数的是（）．
A. x2
B. |-x+1|
C. （-x）2+2
D. -x2+1
答案：C
解答：x2为非负数，故A错；
|-x+1|为非负数，故B错；
-x2+1可正可负，可为0，故D错；
故答案为C．
3、设a是有理数，则下列各式的值一定为正数的是（）．
A. a2
B. |a|
C. a+1
D. a2+1
答案：D
解答：A选项，当a=0时，a2=0，故A选项错误；
B选项，当a=0时，|a|=0，故B选项错误；
C选项，当a≤-1时，a+1≤0，故C选项错误；
D选项，无论a为何实数a2≥0，故a2+1＞0．
4、若（a-2）2+|b+3|=0，则（a+b）2014的值是（）．
A. 0
B. 1
C. -1
D. 2014
答案：B
解答：由题意得，a=2，b=-3，∴（a+b）2014=（-1）2014=1．
5、若|a-2013|+（b+1）2012=0，则b4的值为（）．
A. -1
B. 1
C. -2013
D. 2013
答案：B
解答：∵|a-2013|+（b+1）2012=0，
∴
20130
10
a
b
-=
⎧
⎨
+=
⎩
，
解得
2013
1
a
b
=
⎧
⎨
=-
⎩
，
∴b4=（-1）4=1．
选B．
6、若|m+3|+（n-2）2=0，则m n的值为（）．
A. 6
B. -6
C. 9
D. -9答案：C
解答：∵|m+3|+（n-2）2=0，
∴m=-3，n=2，
∴m n=（-3）2=9．
7、a为任何有理数，则下列代数式中，正确的有（）．
①-a＜a；②a2≥0；③a≤a2；④a＞1
a
；⑤|a|≥a．
A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个答案：B
解答：若a为负数时，-a＞a，①错误；
a2≥0，②正确；
若0＜a＜1时，a＞frac12，a≤a2不成立，③错误；
若-1＜a＜1时，a＞1
a
不成立，④错误；
|a|≥a成立，⑤正确，选B．
8、当式子（2x-1）2+2取最小值时，x等于（）．
A. 2
B. -2
C. 0.5
D. -0.5答案：C
解答：∵式子（2x-1）2+2取最小值，
∴2x-1=0，
∴x=0.5．
二、填空题
9、整式（2x-4）2-1的最小值是______．
答案：-1
解答：∵（2x-4）2≥0
∴（2x-4）2-1≥-1
∴最小值为-1．
10、若|m|=-|n-7|，则m+n=______．
答案：7
解答：|m|+|n-7|=0，
∴m=0，n-7=0，n=7，
∴m+n=7．
11、已知（a-3）2与|b-1|互为相反数，则式子a2+b2的值为______．
答案：10
解答：∵（a-3）2与|b-1|互为相反数，
∴（a-3）2+|b-1|=0，
又∵（a-3）2≥0，|b-1|≥0，
∴（a-3）2=0，|b-1|=0，
∴a=3，b=1，
∴a2+b2=32+12=10．
12、已知z-|y+2|的最大值为8，y+z=______．
答案：6
解答：当|y+2|=0时，
即y=-2时，
原式有最大值，
∴z=8，
因此y+z=6．
13、-（a-b）2的最大值是______；当其取最大值时，a与b的关系是______．
答案：0；a=b
解答：当a=b时，-（a-b）2的最大值0．
14、代数式15-|x+y|的最大值是______，当此代数式取最大值时，x与y的关系是______．答案：15；x=-y
解答：∵|x+y|≥0，∴当x+y=0时，15-|x+y|取得最大值，即当x=y时，最大值是15．15、已知|a+2|+（b-3）2=0，则a-b=______．
答案：-5
解答：由|a +2|+（b -3）2=0可得：
2030a b +=⎧⎨-=⎩解得2
3
a b =-⎧⎨
=⎩， ∴a -b =-2-3=-5．
16、已知5|3a +4|+|4b +3|=-|c +1|，a -b +c 的值为______． 答案：-
19
12
解答：由于绝对值具有非负性，∴原式是0+0=0型问题，则a =-43，b =-3
4
，c =-1， 则a -b +c =-
19
12
． 17、如果m 、n 为整数，且|m -2|+|m -n |=1，那么m +n 的值为______． 答案：3或5或6或2 解答：当|m -2|=0时，|m -n |=1， ∴m =2，n =1或n =3，∴m +n =3或5， 当|m -2|=1时，|m -n |=0，
∴m =3或m =1，n =m ，∴m +n =6或2． 综上，m +n =3，或5，或6，或2．
18、用字母a 表示一个有理数，则|a |一定是非负数，也就是它为正数或0，∴|a |的最小值为0，而-|a |一定是非正数，即它的值为负数或0，∴-|a |有最大值0，根据这个结论完成下列问题：
（1）|a |+1有最______值______． （2）5-|a |有最______值______．
（3）当a 的值为______时，-3|a -1|+2有最______值______． 答案：（1）小；1 （2）大；5 （3）1；大；2
解答：（1）|a |的最小值为0，那么|a |+1有最小值为1． （2）-|a |有最大值0，那么5-|a |有最大值为5．
（3）当a =1时，-3|a -1|有最大值0，那么此时-3|a -1|+2有最大值2． 三、解答题
19、若（a+6）2+|11
2
b
-|+（a+2c）2=0，求（a+b+c）2017的值．
答案：-1．
解答：a=-6，b=2，c=3，a+b+c=-1，（a+b+c）2017=-1．
选做
20、对于任意有理数a．
（1）求|-1-a|+5的最小值．
（2）求4-|a+1|的最大值．
答案：（1）5．
（2）4．
解答：（1）由绝对值的非负性得|-1-a|≥0，∴当|-1-a|=0时，|-1-a|+5有最小值5．（2）有绝对值的非负性得|a+1|≥0，∴当|a+1|=0时，4-|a+1|有最大值4．
21、若2|a+1|+|b|+3（c-2）2=b，求
ac
a c
-
的值．
答案：2 3
解答：∵2|a+1|+|b|+3（c-2）2=b，∴2|a+1|+3（c-2）2=0，
则a+1=0，c-2=0，
解得：a=-1，c=2，
则原式=2
3
．
22、若x、y满足2011|x-1|+2012|y+1|=0．求x+y+2012的值．
答案：2012．
解答：由非负性知|x-1|=0，|y+1|=0，∴x=1，y=-1，∴x+y+2012=1+（-1）+2012=2012．23、已知|x+7|与|y-3|的值互为相反数，求|x-2y|-|x+y|的值．
答案：9．
解答：∵|x+7|与|y-3|的值互为相反数，
∴|x+7|+|y-3|=0，
故x+7=0，解得x=-7，
y-3=0，解得y=3，
故|x-2y|-|x+y|
=|-7-2×3|-|-7+3|
=13-4
=9．
24、回答下列问题：
（1）若3|x-2|+|y+3|=0，求y
x
的值．
（2）若（a+1）2+|b-2|=0，分别求a，b的值．
（3）若|m+3|+|n-7
2
|+2|2p-1|=0，则p+2n+3m=______．
（4）已知a、b、c都是负数，并且|x-a|+|y-b|+|z-c|=0，则xyz______0．
答案：（1）y
x
=-
3
2
．
（2）a=-1，b=2．
（3）-3 2
（4）＜
解答：（1）∵3|x-2|+|y+3|=0，且|x-2|≥0，|y+3|≥0，∴|x-2|=0，|y+3|=0，
∴x=2，，y=-3，
∴y
x
=-
3
2
．
（2）∵（a+1）2+|b-2|=0，且（a+1）2≥0，|b-2|≥0，∴a+1=0，b-2=0，
∴a=-1，b=2．
（3）∵|m+3|+|n-7
2
|+2|2p-1|=0，
且|m+3|≥0，|n-7
2
|≥0，|2p-1|≥0，
∴|m+3|=0，|n-7
2
|=0，|2p-1|=0，
∴m=-3，n=7
2
，p=
1
2
，
∴p+2n+3m=1
2
+2×
7
2
+3×（-3）=-
3
2
．
（4）∵|x-a|+|y-b|+|z-c|=0，且|x-a|≥0，|y-b|≥0，|z-c|≥0
∴|x-a|=0，|y-b|=0，|z-c|=0，∴x=a，y=b，z=c，
∵a、b、c都是负数，
∴xyz=abc＜0．。